Если прямые скрещиваются, то выполняются условия

1.Оси координат являются осями симметрии гиперболы.

2.Точки пересечения гиперболы с осями координат. Она пересекает ось Ох в двух точках, а ось Оу не пересекает. Обозначим их А₁ и А₂. Точки пересечения гипер­болы с осью симметрии называются ее вершинами, а сама ось и отрезок А₁А₂ называются действительной осью гиперболы. Ось симметрии, которую гипербола на пересекает, называет­ся мнимой осью гиперболы. Мнимой осью называется также

отрезок В₁В₂, где В₁ и В₂расположены на мнимой оси по обе стороны от ее центра симметрии О на расстоянии b.

3. Покажите, что все точки гиперболы лежат вне полосы, ог­раниченной прямыми х=±а и, следовательно, гипербола со­стоит из двух отдельных ветвей.

4. Можно доказать, что при неограниченном удалении точек гиперболы от начала координат они неограниченно приближа­ются к прямым, проходящим через диагонали прямоугольникасо сторонами х = ±а и у = ±b, т. е. к прямым У = ±(b/a)*x, кото­рые являются асимптотами гиперболы.

5. Теперь сделайте чертеж. Постройте прямоугольник со сто­ронами х = ±а, у = ±b, проведите его диагонали и продолжите их за вершины прямоугольника, постройте вершины гиперболы, а затем всю гиперболу (рис. 5).

Эксцентриситет гиперболы ε=| F₁F₂|/| А₁А₂|, т.е. ε=с/a=(1+(b/a)^2)^0.5 > 1.

Парабола

В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.

Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса F опустим перпендикуляр FD на директрису l. Начало координат O расположим на середине отрезка FD, ось Ox направим вдоль отрезка FD так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора DF. Ось Oy проведем перпендикулярно оси Ox.

ТеоремаПусть расстояние между фокусом F и директрисой l параболы равно P. Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение y²=2px

Доказательство. В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка F(p/2,0), а директриса имеет уравнение x=-p/2. Пусть M(x,y) -- текущая точка параболы. Тогда по формуле (10.4) для плоского случая находим

Расстоянием от точки M до директрисы l служит длина перпендикуляра MK, опущенного на директрису из точки M. Из рисунка очевидно, что M=x+p/2 . Тогда по определению параболы MK=FM, то есть

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат: откуда

После приведения подобных членов получим каноническое уравнение.

Свойства:

1. Имеет одну ось симметрии Ox.
2. Ось симметрии параболы называют ее осью. Точку пересечения параболы с осью симметрии называют вершиной параболы.
3. Если ось Ох направить от фокуса к директрисе, то уравнение примет вид у²=-2рх.

Если фокус перпендикулярно директрисе провести ось Оу, то уравнение параболы примет вид x²=-2рy.

Cмещенные кривые второго порядка:

Тип кривой	Каноническое уравнение	Чертеж	Случай вырождения
Эллипти- ческий AC>0
Гиперболи-ческий AC<0
Параболи- ческий AC=0

Матрицей типа (или размера) m x n называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из mn чисел, которые расположены в m строках и n столбцах. Составляющие матрицу числа называют элементами матрицы. a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца.

Типы матриц: 1)матрица размером 1 x n. (a₁₁ a₁₂ … a_1n) матрица – строка, число n – длина строки. 2)матрица размером m x 1 – матрица – столбец. Число m – высота матрицы.

3)квадратная матрица. Если m=n.У квадратной матрицы выделяют последовательности элементов a₁₁ a _{22 …} a_nn - главную диагональ, и a_n1 a_{n-1,2 …} a_1n – побочную диагональ_. 4)прямоугольная матрица. Если m<>n. 5)Если в квадратной матрице порядка n все элементы кроме главной диагонали равны нулю, то её называют Диагональной матрицей.

6) Если в диагональной матрице порядка n на диагонали стоят единицы, то её называют единичной. Для обозначения единичной матрицы обычно используется буква . Порядок матрицы при этом обычно ясен из контекста. Например,

7)Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Например, верхние треугольные матрицы:

Нижние треугольные матрицы:

Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная - левой треугольной. 8) Матрица называется ступенчатой, если для любой её строки выполнено следующее её условие: под первым слева нулевым элементом строки предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.

Две матрицы называются равными, если они имеют один и тот же тип и если у них совпадают соответствующие элементы.

Сложение. Сложение определено только для матриц одинаковых размеров.

Суммой матриц и размеров является матрица таких же размеров, у которой , , . Другими словами, при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

Произведениемматрицы размеров на число называется матрица таких же размеров, у которой , , . Другими словами, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число. Например, .

Операциювычитания матриц можно определить следующим способом:

что соответствует вычитанию элементов, стоящих на одинаковых местах.

Используя операции сложения и умножения, мы можем находить линейные комбинации матриц, то есть выражения вида , где -- числа, - матрицы одинаковых размеров.

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемые линейными операциями, обладают следующими свойствами:

1. -- свойство коммутативности;

2. -- свойство ассоциативности;

3. ;

4. ;

5. -- свойство дистрибутивности;

6. ;

7. ;

8. .

Здесь -- матрицы, -- числа, 0 -- нулевая матрица.

Транспонирование матрицы.

Пусть -- матрица размеров . Тогда транспонированной матрицей называется такая матрица размеров , что , , .

Транспонированная матрица обозначается или . Операция транспонирования заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями. В транспонированной матрице первым столбцом служит первая строка исходной матрицы, вторым столбцом -- вторая строка исходной матрицы и т.д. Например,

Если A^T = A то матрицу А называют симметрической, а если А^T = -А то кососимметрической. И в том и в другом случае матрицы должны быть квадратными.

Свойства транспонированной матрицы: 1) (А^T)^T = A, 2) (А + B)^T = A^T + B^T. 3) (λA)^T = λ + A^T.

Линейная зависимость строк и столбцов:

Строки и столбцы матрицы можно рассматривать как матрицы – строки и матрицы – столбцы, соответственно над ними тоже можно выполнять линейные операции. Ограничение на операцию сложения состоит лишь в том, что строки (столбцы) должны быть одинаковой длины (высоты), но это условие всегда выполняется для строк (столбцов) одной матрицы.

Строки (столбцы) a_{1 …} a_s называют линейно зависимыми, если равенство λ₁a₁ + … + λ₂a_s =0

Где 0 в правой части – нулевая строка (столбец), возможно лишь при λ₁ = … = λ_s = 0. В противном случае, когда существуют такие действительные числа λ₁ … λ_s, не равные нулю одновременно, что выполняется равенство (λ₁a₁ + … + λ₂a_s =0), эти строки (столбцы) называют линейно зависимыми.

Th1Строки (столбцы) линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна (один) из них является линейной комбинацией остальных. Док-во: Если строки a₁, … a_s линейно зависимы, то согласно определению линейно независимых строк, существуют такие действительные числа λ₁, … λ_s, не равные нулю одновременно, что λ₁a₁ + … + λ_sa_s = 0. Выберем ненулевой коэффициент λ_i. Для простоты пусть это будет λ₁. Тогда:

λ₁a₁ = (-λ₂)a₂ + … + (-λ_s)a_s, и следовательно a₁ = (-λ₂/λ₁)a₂ + … + (-λ_s/λ₁)as, т.е строка a₁ представляется в виде линейной комбинации остальных строк.

Th.2Пусть строки (столбцы) a₁, … a_s а каждая из строк (столбцов) b₁, … b_l являются их линейной комбинацией. Тогда все строки (столбцы) a₁, … a_{s ,} b₁, … b_l линейно зависимы.

Док-во. По условию b₁ есть линейная комбинация a₁, … a_s т.е b₁ = λ₁a₁ + … + λ₂a_{s .} В эту линейную комбинацию добавим строки (столбцы) b₂ … b_l (при l>1) с нулевыми коэффициентами. b₁ = λ₁a₁ + … + λ₂a_s + 0 b₂ + … + 0 b_l. Согласно Th1 строки (столбцы)

a₁, … a_{s ,} b₁, … b_l линейно зависимы.

Определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.

Определитель квадратной матрицы будем обозначать или .

Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число . Определителем квадратной матрицы порядка , , называется число

где -- определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .

Свойства определителей:

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a_{i j} = b_j + c_j (j= ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Разложение определителя по произвольной строке: Для определителя матрицы справедлива формула

Доказательство. Если , положим . Пусть . Тогда -ую строку поменяем местами со строкой с номером . Определитель сменит знак. Затем строку с номером поменяем местами со строкой с номером . Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока -ая строка матрицы не станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим . Отметим, что в матрице , начиная со второй строки, стоят строки матрицы , причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы к матрице определитель сменит знак раз (проверьте для случая ). Таким образом

(14.11)

Это соотношение верно и при . По определению определителя,

где -- определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и k-ого столбца. Первая строка матрицы совпадает с -ой строкой матрицы , поэтому . Результат вычеркивания в матрице первой строки и k-ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице -ой строки и -ого столбца. Поэтому , где -- определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице -ой строки и -ого столбца. Следовательно,

В силу равенства (14.11) получим

По определению алгебраического дополнения получим . Тогда из предыдущего равенства вытекает

что и требовалось доказать.

Определитель построенной матрицы обозначают М_ij и называют минором, соответствующим элементу a_ij . Число А_ij = (-1)^i+jМ_ij называют алгебраическим дополнением, соответствующим этому же элементу a_ij

Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение

Доказательство. Пусть -- матрица, полученная из матрицы , в которой -ая строка заменена -ой строкой этой же матрицы, а сама -ая строка осталась без изменения. Таким образом, в матрице есть две одинаковые строки и в силу предложения 14.9 .

С другой стороны, используя разложение определителя по -ой строке , получим

где -- алгебраическое дополнение к элементу . Так как все строки матрицы , кроме -ой, совпадают со строками матрицы , то . Так как по построению матрицы , то

Так как , то равенство (14.12) доказано.

Все свойства определителя, сформулированные для строк , справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по -ому столбцу

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку матрицы. Для :

утверждение верно. Предположим, что доказываемое утверждение верно для матриц порядка . Покажем, что оно верно для матрицы порядка .

Если -- верхняя треугольная матрица, то используем разложение по первому столбцу (равенство (14.13) при ):

Справа стоит определитель треугольной марицы порядка . По предположению индукции этот определитель равен . Поэтому .

Если -- нижняя треугольная матрицы, то нужно воспользоваться разложением по первой строке. В остальном рассуждения аналогичны.

Итак, утверждение верно для матрицы порядка . Предложение доказано

Определитель единичной матрицы равен единице, .

Определитель n –ого порядка.

A = ,в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Решение. Разложим определитель А по первой строке:

A = a₁₁ A₁₁ = .

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

A = .И так далее. После n шагов придем к равенству A = а₁₁ а_22... a_nn.

С помощью элементарных преобразований строк любая матрица приводится к ступенчатому виду. Квадратная матрица ступенчатого вида является частным случаем верхней треугольной матрицы, у которой диагональные элементы, начиная с некоторого, могут быть равны нулю. Определитель такой матрицы считается как определитель треугольной матрицы.

Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если

Произведением матрицы размеров на матрицу размеров называется матрица размеров , элементы которой вычисляются по формуле

где , .

Во-первых, в этом определении нужно обратить внимание на то, что важен порядок сомножителей, нужно знать, какой сомножитель первый, а какой второй.

Во-вторых, нужно отметить, что произведение определено только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Если это условие не выполняется, то произведение не определено.

В-третьих, размеры результата умножения определяются следующим образом: число строк результата равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов результата равно числу столбцов второго сомножителя.

Правило вычисления элементов произведения можно сформулировать следующим образом:Для того, чтобы вычислить элемент произведения, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, нужно взять -ую строку первого сомножителя и j-ый столбец второго сомножителя, попарно перемножить их элементы, стоящие на одинаковых местах, и результаты сложить.

Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

-- ассоциативность умножения; , где -- число; , -- дистрибутивность умножения; , , где -- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .

Если матрица имеет обратную, то и .

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство. Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

и

Следовательно, .

Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула.

Присоединенной матрицей называют матрицу A^* , транспонированную к матрице (A_ij) алгебраических дополнений.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: