Сделай Сам Свою Работу на 5

К каждому из пунктов а) – в) решения сделать рисунки в системе координат. На рисунках обозначить соответствующие пунктам задачи линии и точки.





Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

И В ПРОСТРАНСТВЕ

 

В раздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»: составление различных уравнений прямых на плоскости и в пространстве; определение взаимного расположения прямых на плоскости, прямых, прямой и плоскости, плоскостей в пространстве; изображение кривых второго порядка. Необходимо отметить, что в данном разделе представлены задачи экономического содержания, при решении которых применяются сведения из аналитической геометрии на плоскости.

При решении задач аналитической геометрии целесообразно воспользоваться учебными пособиями следующих авторов: Д.В. Клетеника, Н. Ш. Кремера, Д.Т. Письменного В.И. Малыхина, т.к. в данной литературе рассматривается более широкий круг задач, которые можно использовать для самостоятельной подготовки по данной теме. Применение анали­тической геометрии к решению экономических задач изложено в учебных изда­ниях М.С. Красса и В.И. Ермакова.

 

 

Задача 5.1. Даны координаты вершин треугольника АВС. Необходимо



а) написать уравнения сторон треугольника;

б) написать уравнение высоты треугольника проведенной из вершины С к стороне АВ и найти ее длину;

в) написать уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины В к стороне АС;

г) найти углы треугольника и установить его вид (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный);

д) найти длины сторон треугольника и определить его тип (разносторонний, равнобедренный, равносторонний);

е) найти координаты центра тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС;

ж) найти координаты ортоцентра (точка пересечения высот) треугольника АВС.

К каждому из пунктов а) – в) решения сделать рисунки в системе координат. На рисунках обозначить соответствующие пунктам задачи линии и точки.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) ; 2) ; 3) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 4) ; 5) ; 6) ; 19) ; 20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30) .

Пример 5.1

Даны координаты вершин треугольника АВС: . Необходимо а) написать уравнения сторон треугольника; б) написать уравнение высоты треугольника проведенной из вершины С к стороне АВ и найти ее длину; в) написать уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины В к стороне АС; г) найти длины сторон треугольника и определить его тип (разносторонний, равнобедренный, равносторонний); д) найти углы треугольника и установить его вид (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный); е) найти координаты центра тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС; ж) найти координаты ортоцентра (точка пересечения высот) треугольника АВС.



Решение

а) Для каждой стороны треугольника известны координаты двух точек, которые лежат на искомых линиях, значит уравнения сторон треугольника – уравнения прямых, проходящих через две заданные точки

, (5.1)

где и соответствующие координаты точек.

Таким образом, подставляя в формулу (5.1) координаты соответствующих прямым точек получаем

, , ,

откуда после преобразований записываем уравнения сторон

, , .

На рис. 7 изобразим соответствующие сторонам треугольника прямые.

Ответ:

, , .

    Рис. 7

б) Пусть – высота, проведенная из вершины к стороне . Поскольку проходит через точку перпендикулярно вектору , то составим уравнение прямой по следующей формуле

, (5.2)

где – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой, – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Найдем координаты вектора, перпендикулярного прямой , и подставим в формулу (5.2)

, ,

,

,

.

Найдем длину высоты CH как расстояние от точки до прямой

, (5.3)

где – уравнение прямой , – координаты точки .



В предыдущем пункте было найдено

.

Подставив данные в формулу (5.3), получим

,

На рис. 8 изобразим треугольник и найденную высоту СН.

Ответ: .

Рис. 8

в) медиана треугольника делит сторону на две равные части, т.е. точка является серединой отрезка . Исходя из этого, можно найти координаты точки

, , (5.4)

где и – координаты соответственно точек и , подставив которые в формулы (5.4), получим

; .

Уравнение медианы треугольника составим как уравнение прямой, проходящей через точки и по формуле (5.1)

,

.

Ответ: (рис. 9).

Рис. 9

г) Длины сторон треугольника найдем как длины соответствующих векторов, т.е.

, , .

Стороны и треугольника равны, значит, треугольник является равнобедренным с основанием .

Ответ: треугольник равнобедренный с основанием ;

, .

д) Углы треугольника найдем как углы между векторами, исходящими из соответствующих вершин данного треугольника, т.е.

, , .

Поскольку треугольник равнобедренный с основанием , то

,

Углы между векторами вычислим по формуле (4.4), для которой потребуются скалярные произведения векторов , .

Найдем координаты и модули векторов, необходимых для вычисления углов

, ;

, , .

Подставляя найденные данные в формулу (4.4), получим

,

,

Поскольку значения косинусов всех найденных углов положительны, то треугольник является остроугольным.

Ответ: треугольник остроугольный;

, , .

е) Пусть – центр тяжести треугольника , тогда координаты точки можно найти, по формулам (5.5)

, , (5.5)

где , и – координаты соответственно точек , и , следовательно,

, .

Ответ: – центр тяжести треугольника .

ж)Пусть – ортоцентр треугольника . Найдем координаты точки как координаты точки пересечения высот треугольника. Уравнение высоты было найдено в пункте б). Найдем уравнение высоты :

, ,

,

.

Поскольку , то решение системы

является координатами точки , откуда находим .

Ответ: – ортоцентр треугольника .

 

Задача 5.2. Фиксированные издержки на предприятии при выпуске некоторой продукции составляют F руб. в месяц, переменные издержки – V0 руб. за единицу продукции, при этом выручка составляет R0 руб. за единицу изготовленной продукции. Составить функцию прибыли P(q) (q – количество произведенной продукции); построить ее график и определить точку безубыточности.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) .

Пример 5.2

Фиксированные издержки на предприятии при выпуске некоторой продукции составляют руб. в месяц, переменные издержки – руб. за единицу продукции, при этом выручка составляет руб. за единицу изготовленной продукции. Составить функцию прибыли P(q) (q – количество произведенной продукции); построить ее график и определить точку безубыточности.

Решение

Вычислим совокупные издержки на производстве при выпуске q единиц некоторой продукции

.

Если будет продано q единиц продукции, то совокупный доход составит

.

Исходя из полученных функций совокупного дохода и совокупных издержек, найдем функцию прибыли

,

,

.

Точка безубыточности – точка, в которой прибыль равна нулю, или точка, в которой совокупные издержки равны совокупному доходу

,

,

откуда находим

– точка безубыточности.

Для построения графика (рис. 10) функции прибыли найдем еще одну точку

.

Рис. 10

Ответ: функция прибыли , точка безубыточности .

 

Задача 5.3. Законы спроса и предложения на некоторый товар соответственно определяются уравнениями p=pD(q), p=pS(q), где p – цена на товар, q – количество товара. Предполагается, что спрос определяется только ценой товара на рынке pС, а предложение – только ценой pS, получаемой поставщиками. Необходимо

а) определить точку рыночного равновесия;

б) точку равновесия после введения налога, равного t. Определить увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж;

в) найти субсидию s, которая приведет к увеличению объема продаж на q0 ед. относительно изначального (определенного в пункте а));

г) найти новую точку равновесия и доход правительства при введении налога, пропорционального цене и равного N%;

д) определить, сколько денег будет израсходовано правительством на скупку излишка при установлении минимальной цены, равной p0.

К каждому пункту решения сделать рисунок в системе координат. На рисунке обозначить соответствующие пункту задачи линии и точки.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) .

 

Пример 5.3

Законы спроса и предложения на некоторый товар соответственно определяются уравнениями , , где p – цена на товар, q – количество товара. Предполагается, что спрос определяется только ценой товара на рынке pС, а предложение – только ценой pS, полу­чаемой поставщиками. Необходимо

а) определить точку рыночного равновесия;

б) точку равновесия после введения налога . Определить увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж;

в) найти субсидию s, которая приведет к увеличению объема продаж на ед. относительно изначального (определенного в пункте а));

г) найти новую точку равновесия и доход правительства при введении налога, пропорционального цене и равного ;

д) определить, сколько денег будет израсходовано правительством на скупку излишка при установлении минимальной цены, .

Решение

а) Находим точку рыночного равновесия из условия (рис. 11):

,

,

; .

Ответ: – точка рыночного равновесия.

б) Если введен налог , то система уравнений для определения точки равновесия примет вид

.

Используя соотношение между ценой на рынке и ценой , получаемой поставщиками, имеем следующие выражения для определения точки рыночного равновесия

,

.

Откуда находим новую точку рыночного равновесия

(рис. 12).

Следовательно, после введения налога равновесная цена увеличилась на ден. ед., а равновесный объем уменьшился на ед.

Ответ: – точка равновесия после введения налога , равновесная цена увеличилась на ден. ед., равновесный объем уменьшился на ед.

  Рис. 11   Рис. 12

в) Если предоставляется субсидия, то система для определения точки равновесия имеет вид

.

Новый объем продаж равен единицы, подставляем в систему, находим

.

Ответ: субсидия, которая приведет к увеличению объема продаж на 2 ед. относительно изначального, должна быть равна 6 ден. ед. (рис. 13).

г) Если налог составляет 15%, то вся рыночная цена составляет 115%, из них 100% получают поставщики товара, 15% – государство. Итак, поставщики получают

.

Таким образом, система для определения новой точки рыночного равновесия имеет вид

Решая эту систему, находим новую точку рыночного равновесия

,

при этом доход правительства R будет равен

.

На рис. 14 доход правительства соответствует площади заштрихованного прямоугольника.

 

    Рис. 13     Рис. 14

 

Ответ: – точка равновесия, ден. ед. – доход правительства при введении налога, пропорционального цене и равного 15%.

д) Если установлена минимальная цена, то из уравнений спроса и предложения можно найти объемы спроса и предложения, соответствующие данной цене. Если минимальная цена выше равновесной цены, то объем предложения превышает объем спроса, тогда разницу между ними скупает правительство.

При находим

.

Таким образом, затраты правительства составят

.

На рис. 15 затраты правительства соответствуют площади заштрихованного прямоугольника.

Ответ: правительством будет израсходовано 9 ден. ед. на скупку излишка при установлении минимальной цены, равной 6.

Рис. 15

Задача 5.4. Даны четыре точки A, B, С, D. Необходимо

а) написать уравнения плоскостей ABC и ВCD;

б) написать уравнения прямых BC и AD;

в) найти расстояние от точки А до плоскости ВCD.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30) .

Пример 5.4

Даны четыре точки , , , . Необходимо

а) написать уравнения плоскостей ABC и ВCD;

б) написать уравнения прямых BC и AD;

в) найти расстояние от точки А до плоскости ВCD.

Решение

а) Для плоскостей, уравнения которых необходимо написать, известны координаты точек, принадлежащих этим плоскостям, значит, для составления уравнений воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки

, (5.6)

где , , – координаты точек, принадлежащих искомой плоскости.

Подставляя координаты соответствующих каждой плоскости точек в формулу (5.6), получаем

, .

Раскрывая определитель и упрощая полученные выражения, приводим уравнения плоскостей к общему виду

,

,

.

,

,

,

.

Ответ: ,

.

б) Уравнения и составим как уравнения прямых, проходящих через две заданные точки

, (5.7)

где , – координаты точек, принадлежащих искомым прямым.

Таким образом, подставляя координаты соответствующих прямым точек в формулу (5.7), получаем

,

.

,

.

Ответ: ,

.

в) Расстояние от точки до плоскости найдем по следующей формуле

, (5.8)

где – уравнение плоскости , – координаты точки .

Уравнение плоскости было найдено ранее в пункте а), координаты точки даны в условии задачи

, ,

подставляем эти данные в формулу (5.8)

.

Ответ: .

 

Задача 5.5. Даны уравнения плоскостей и , а также уравнения прямых и . Определить

а) взаимное расположение плоскостей и и найти угол между ними;

б) взаимное расположение прямых и , найти угол между ними;

в) взаимное расположение прямой и плоскости , найти угол между прямой и плоскостью . В том случае, если прямая и плоскость параллельны, найти расстояние между ними; в случае, если прямая и плоскость пересекаются (в частности перпендикулярны) – найти точку их пересечения.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.