Случайные события. Вероятность

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ

Случайные события. Вероятность

Событие - всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Вероятность события - это число, которое является мерой возможности реализации события. Вероятность P(A) случайного события A заключена в пределах

Достоверное событие U такое, что

Невозможное событие V такое, что

Суммой или объединением событий называется событие A, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит, по крайней мере, одно из этих событий. Сумма обозначается

Произведением или пересечением событий называется такое событие A, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события вместе. Произведение обозначается

События образуют полную группу событий, если в результате опыта появляется хотя бы одно из них:

События A и B называются несовместными, если их совместное появление невозможно:

Два события называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу. Событие, противоположное событию A, обозначается .

Когда рассматриваемый опыт имеет N равновозможных исходов, которые несовместны и составляют полную группу, вероятность события А можно рассчитать по формуле:

где m - число исходов, которые приводят к наступлению события A.

Частотой или статистической вероятностью P*(A) события A в данной серии испытаний называется отношение числа опытов n, в которых появилось событие, к общему числу N произведенных опытов:

По теореме Бернулли при большом числе опытов частота сходится по вероятности к вероятности события.

Расчеты вероятности сложного события A через вероятности более простых событий базируются на использовании основных теорем теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей.Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Теорема умножения вероятностей.Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое имело место:

где - условная вероятность события B, т.е. вероятность события B, вычисленная в предположении, что имело место событие A.

Во многих ситуациях событие A может появиться лишь как случайное следствие одного из несовместных событий образующих полную группу. В этих случаях безусловная вероятность P(A) события A при известных вероятностях и определяется по формуле полной вероятности:

При этих же данных можно найти значения вероятностей событий если предположить, что событие A уже произошло. Задачи такого типа решаются с помощью формулы Байеса:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.В последовательности из N двоичных символов имеется M единиц. При передаче данной последовательности сохраняется n символов, остальные теряются. Какова вероятность того, что среди них будет не более m единиц?

Решение.Пусть A - событие, состоящее в том, что среди двоичных символов будет не более m единиц. Событие A произойдет тогда, когда среди n двоичных символов не будет ни одной единицы (событие ) или одна единица (событие ), или две (событие ), . . ., или окажется m единиц (событие ), т.е.

Вероятность события можно рассчитать следующим образом. Общее число возможных выборов n символов из N равно числу сочетаний из N по n, т.е. . Благоприятствующими событию являются случаи, когда из общего числа M единиц сохранено ровно K, что возможно в случаях. На каждый из этих случаев в сохраненной последовательности символов может быть различных комбинаций ( ) нулей. Общее число случаев, благоприятствующих событию , равно . Поэтому

По теореме сложения

Пример 2. По каналу связи с помехами передается одна из двух команд управления управления в виде кодовых комбинаций 11111 и 00000, вероятности передачи этих команд равны соответственно 0,7 и 0,3. Вероятность правильного приема каждого из символов 0 и 1 равна 0,6. Символы искажаются помехами независимо друг от друга. На выходе канала имеем кодовую комбинацию 10110. Оценить, какая команда была передана.

Решение.Пусть A - событие, состоящее в приеме комбинации 10110. Это событие может произойти только в совокупности с одним из событий: - передавалась команда 11111, - передавалась команда 00000. При этом