Сделай Сам Свою Работу на 5

I. Сжимающий (растягивающий) удар





Рассмотрим упругий стержень малой гибкости, на который с высоты свободно падает груз весом (рис.5). В момент контакта груза со стержнем скорость груза составляет v1, а компоненты напряженно-деформированного состояния стержня равны нулю (нормальное усилие – N, перемещение верхнего торца стержня (укорочение) – Δ, напряжение – σ, деформация – ε). Далее, движение груза приведет к перемещению верхнего торца стержня и возникновению в нем нормального усилия (напряжения), которые будут увеличиваться до момента остановки груза (v2=0). Очевидно, что в момент остановки груза компоненты НДС достигнут своих максимальных значений, которые будем называть динамическими характеристиками НДС и обозначать нижними индексами «дин». После остановки груза под действием упругих сил стержня начнется обратное его движение и, по прошествии определенного времени (времени переходных процессов), груз окончательно остановится. При этом перемещение верхнего торца стержня будет соответствовать его укорочению при статическом приложении осевой сжимающей силы, равной весу ударяющего груза. Все компоненты НДС стержня также будут соответствовать указанному статическому нагружению. Будем называть их статическими характеристиками НДС и обозначать нижними индексами «ст».



Рис. 5 Считая заданными характеристики стержня: длину – l, площадь поперечного сечения – A, модуль упругости материала – E, а также вес ударяющего груза – F и высоту его свободного падения – h, определим динамические (максимальные) характеристики напряженного и деформированного состояния стержня при сжимающем ударе: – динамическое перемещение торца, – динамическое нормальное усилие, – динамическое напряжение, – динамическую деформацию.

В соответствии с законом сохранения энергии, пренебрегая тепловыми и электромагнитными явлениями, изменение кинетической энергии ударяющего груза равно работе всех сил системы, на перемещении

. (9)

Рассмотрим левую часть уравнения (9), представляющую собой изменение кинетической энергии груза. Здесь: – масса груза; v1 и v2 – скорости груза в момент контакта и при перемещении (v2=0). Таким образом, изменение кинетической энергии груза будет равно



. (10)

Работа всех сил системы «груз-стержень» (U) состоит из двух слагаемых: U1 – работы внешней силы , равной весу ударяющего груза, и U2 – работы внутренней силы – нормального усилия , возникающего в стержне при его деформации.

Поскольку на всем пути внешняя сила не изменяет своей величины, работа этой силы определяется выражением

. (11)

Рис.6 Нормальное усилие на перемещении изменяется, согласно закону Гука, по линейной зависимости от нуля до (рис.6, заштрихованная площадь численно равна работе усилия на перемещении ). Кроме того, в отличие от внешней силы, внутреннее усилие направлено противоположно перемещению (по сути, внутреннее усилие является силой сопротивления), поэтому работа внутреннего усилия будет отрицательной и запишется в виде

. (12)

Согласно закону Гука

,

откуда

. (13)

Подставляя (13) в (12), будем иметь

. (14)

Складывая (11) и (14), получим работу всех сил на перемещении

. (15)

Подставляя (10), (15) в закон сохранения энергии (9), будем иметь

.

Умножим полученное уравнение на и выделим в нем структуру

.

Очевидно, что физическим смыслом выражения является укорочение стержня (перемещение верхнего торца), обусловленное статически приложенной силой, равной весу ударяющего груза, которое было названо выше статическим перемещением . С учетом обозначения

,

перенеся все члены в левую часть уравнения, окончательно получим

. (16)

Полученное уравнение (16) относительно является квадратным уравнением типа , корни которого определяются по формуле

.

Согласно этой формуле, решение уравнения (16) запишется в виде



.

Второе решение (со знаком «-» перед радикалом) отбрасываем, как противоречащее физическому смыслу задач (величина будет получаться со знаком, противоположным перемещению ).

Вынесем за скобку в правой части и опустим для упрощения записи индекс «1» у скорости груза в момент контакта со стержнем (v1=v). В результате получим

. (17)

По аналогии с рассмотренными ранее задачами, выражение, стоящее в скобках, можно рассматривать как безразмерный коэффициент динамичности kдин, который показывает во сколько раз динамические перемещения при ударе превышают статические перемещения при нагружении стержня силой, равной весу ударяющего груза. С учетом обозначения коэффициента динамичности при ударе

(18)

формула (17) примет вид:

. (19)

Заметим, что формула (18) представляет коэффициент динамичности при ударе в наиболее общем его виде. Широко используются и другие формы его записи.

 

Частные случаи kдин при ударе

1. Свободное падение груза с высоты

В данном случае скорость груза в момент контакта со стержнем равна

.

С учетом этого коэффициент динамичности принимает вид

. (20)

2. Свободное падение груза с большой высоты ( )

В этом случае и «единицей» под радикалом можно пренебречь, в результате чего получим

. (21)

3. Падение груза с нулевой высоты (внезапное приложение нагрузки, )

В этом случае:

. (22)

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.