Разностью отношений r и s называется множество кортежей, принадлежащих r, но не принадлежащих s. Для этой операции также требуется одинаковая арность отношений.

Пусть r и s – отношения арности k1 и k2 соответственно. Декартовым произведением r´s называется множество кортежей длины k1+k2, первые k1 компонентов которых образуют кортежи, принадлежащие r, а последние k2 – кортежи, принадлежащие s.

r ´ s

Проекция

Проекция есть множество кортежей, получаемых из кортежей отношения r выбором столбцов с именами A_i1, A_i2, …, A_im.

Другими словами, это операция построения «вертикального» подмножества, получаемого путем выбора определенных атрибутов и исключения остальных. Повторяющиеся кортежи исключаются.

Выбор (селекция) s_F(r)

Пусть F – формула, образованная: операндами, являющимися константами или именами атрибутов, арифметическими операторами сравнения, логическими операторами (и, или, не), тогда выбором (селекцией) s_F называется множество кортежей, компоненты которого удовлетворяют условию, заданному формулой F.

Здесь F:(1)=(3) – содержимое первого столбца равно содержимому третьего столбца.

Приведем ряд примеров представления запросов с помощью формальных операций для реляционной модели (СТУДЕНТ, ФАКУЛЬТЕТ, СПЕЦИАЛЬНОСТЬ), рассмотренной выше.

Пример 1.

Сформировать список студентов (фамилия).

Рассмотрим схему отношения СТУДЕНТ.

Атрибут «Фамилия» обозначен здесь А₁ Для ответа на запрос необходимо взять проекцию отношения r1 на столбец А₁.

.

Пример 2.

Выдать список фамилий и дат рождений студентов, которым на текущую дату (tek_date) больше 35 лет.

Рассмотрим то же отношение r1 . Сначала выбираем студентов, которым больше 35 лет:

.

Затем берем проекцию полученного отношения на столбцы

.

.

Заметим, что можно было бы выполнить эти две операции в другой последовательности – сначала проекция, а затем селекция. Предлагается оценить, какой из этих вариантов лучше по оценке числа выполняемых элементарных действий и объему требуемой памяти.

Пример 3.

Выдать список фамилий студентов, обучающихся по специальности «Информационные технологии». Название специальности является атрибутом отношения r3. Если бы в этом отношении присутствовал атрибут «фамилия», то задача решалась бы аналогично примеру 2. В отношении r3 присутствует атрибут «код студента», а «фамилия» присутствует в отношении r1. Для ответа на этот запрос необходимо связывать по «код студента»отношение r3и отношение r1.

Сначала выберем из отношения r3кортежи с названием специальности «Информационные технологии». Обозначим полученное отношение rp1 . (Дальнейшие промежуточные отношения будем обозначать последовательно rp1, rp2, rp3и т.д.).

.

Далее нас будет интересовать только атрибуты A₁ – «код студента»

. Поэтому возьмем проекцию на эти столбцы.

.

Далее необходимо связать отношения отношения r1 и rp2(склеить таблицы). Для склейки таблиц используется операция «декартово произведение»:

.

В отношении Rr3 присутствуют два одинаковых столбца: A₁ из отношенийя r1 и A₁ из отношения rp2 . Выбирая из отношения rp3строки, в которых значения в соответствующих столбцах совпадают, получим сведения о студентов, обучающихся по специальности «Информационные технологии»

,

R4 = s_{entrant. entrant_id = R2. entrant_id} (R3),

где A₁ × r1 и A₁ × rp2

обозначают соответственно столбец A₁ соответствующей первой и второй составной части декартова произведения. Теперь осталось только выбрать фамилии соответствующих студентов

.

Получаем требуемый результат. Заметим, что для экономии действий и памяти, перед тем как склеивать таблицы, целесообразно было сделать операцию проекции отношения отношения r1 на столбцы столбцы A₁, A₂.

(чтобы не включать в декартово произведение лишние столбцы).

Введенные пять основных операций реляционной алгебры позволяют реализовать любой запрос к реляционной базе данных. Однако наряду с основными операциями достаточно часто удобно использовать так называемые дополнительные операции реляционной алгебры (которые могут быть выражены через основные).

Пересечение r Ç s

Пересечением отношений r и s называется множество кортежей, принадлежащих как r, так и s. Пересечение может быть выражено через операции разности

r Ç s = r – (r – s).