Условие равновесия сходящейся системы сил

Основные определения

Абсолютно твердое тело – это такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается постоянным.

Сила – есть количественная мера механического взаимодействия тел.

Сила – величина векторная, она определяется тремя параметрами: линией действия, направлением вдоль линии и величиной (модулем). Сила – это скользящий вектор, который можно перемещать вдоль линии действия.

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

Вся совокупность сил, действующих на твердое тело, называется системой сил.

Равнодействующая сила – это такая сила, которая заменяет действие системы сил на твердое тело (сила эквивалентна системе).

Уравновешенной называется система сил, под действием которой тело находится в состоянии равновесия.

Под состоянием равновесия в механике понимают состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения.

Сила равная по модулю равнодействующей, противоположно ей направленная вдоль той же линии действия называется уравновешивающей силой.

Аксиомы статики

Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без доказательств и называемых аксиомами или принципами статики.

Аксиома 1. Если тело находится в равновесии под действием двух сил, то эти силы имеют общую линию действия, противоположны по направлению и равны по величине.

,

Аксиома 2. Действие системы сил на тело не изменится, если к этой системе добавить или то нее отнять уравновешенную систему сил.

,

Следствие (из аксиом 1 и 2): Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если силу перенести в любую точку тела по линии действия.

Пусть есть сила F в точке A. В точку B на линии действия силы F помещаем уравновешенную систему сил F₁ и F₂, так чтобы . Но тогда - также уравновешенная система, ее можно убрать. В итоге остается в точке B.

Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.

,

Пользуясь аксиомой 3 можно не только складывать любое количество сил, но и раскладывать на любое число направлений.

Аксиома 4. Всякому действию одного тела на другое существует равное по величине, но противоположное по направлению противодействие.

Силы, возникающие при взаимодействии, не образуют уравновешенную систему, так как приложены к разным телам.

Аксиома 5. Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать мгновенно отвердевшим (абсолютно твердым).

Аналитическое задание и сложение сил

Проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора силы.

, .

Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Пусть сила F задана через свои проекции на координатные оси F_x, F_y, F_z. По приведенному выше определению проекции определяются выражениями

(1)

Углы в (1) удовлетворяют уравнению

. (2)

Возводя в квадрат (1) и складывая, с учетом (2) получим модуль силы

(3)

и направляющие косинусы

. (4)

Направляющие косинусы указывают положение вектора силы в пространстве по отношению к координатным осям.

Зная проекции сил на координатные оси, их можно складывать аналитически.

Проекция вектора суммы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось

. (5)

Модуль равнодействующей и направляющие косинусы определяются по (3) и (4)

, (6)

. (7)

Связи и реакции связей

Связями будем называть все тела, которые ограничивают перемещение данного тела.

Сила, с которой данная связь действует на тело, называется реакцией связи.

Направлена реакция связи всегда в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

Типы связей

1. Гладкая поверхность.

Реакция гладкой поверхности перпендикулярна этой поверхности.

2. Невесомый стержень.

Реакция стержня всегда направлена вдоль его оси. Стержень может работать и на сжатие и на растяжение.

3. Неподвижный цилиндрический шарнир.

Как правило, направление реакции R_A заранее не известно, поэтому ее раскладывают на две составляющие по двум известным направлениям, например, по направлению координатных осей.

4. Подвижный цилиндрический шарнир.

Реакция перпендикулярна плоскости возможного перемещения шарнира.

5. Жесткая заделка.

Реакция в данном случае состоит из трех компонентов: двух составляющих силы X_A, Y_A и реактивного момента M неизвестного направления (понятие момента силы будет рассмотрено позже).

6. Скользящая заделка.

Реакция включает силу, перпендикулярную оси заделки, и реактивный момент.

Система сходящихся сил

Если линии действия сил пересекаются в одной точке, то такая система называется сходящейся системой сил.

Эту систему можно заменить равнодействующей, построив силовой многоугольник или вычислив ее аналитически по выражениям (5)-(7).

Условие равновесия сходящейся системы сил

1. В геометрической форме.

Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым.

. (8)

2. В аналитической форме.

Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из координатных осей были равны нулю

. (9)

При решении задач на равновесие сходящейся системы сил иногда удобно пользоваться следующей теоремой о трех силах.

Теорема: Если тело находится в равновесии под действием трех сил, расположенных в одной плоскости, то линии действия этих сил параллельны или пересекаются в одной точке.

Произвольная плоская система сил

 

 

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.