МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В ПСИХОАОГО-ПЕЛАГОГИЧЕСКОМ ИССАЕДОВАНИИ

Применение математики к другим нау­кам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления. Об этом важно помнить, чтобы не сби­ваться на простую игру в формулы, за ко­торой не стоит никакого реального содер­жания.

Академик Ю. А. Митропольский

Теоретические методы исследования в психологии и педагогике дают возможность раскрыть качественные характеристики изуча­емых явлений. Эти характеристики будут полнее и глубже, если на­копленный эмпирический материал подвергнуть количественной об­работке. Однако проблема количественных измерений в рамках пси­холого-педагогических исследований очень сложна. Эта сложность заключается прежде всего в субъективно-причинном многообразии педагогической деятельности и ее результатов, в самом объекте из­мерения, находящемся в состоянии непрерывного движения и изме­нения. Вместе с тем введение в исследование количественных пока­зателей стало сегодня необходимым и обязательным компонентом получения объективных данных о результатах педагогического тру­да. Как правило, эти данные могут быть получены путем прямого или опосредованного измерения различных составляющих педагоги­ческого процесса либо посредством количественной оценки соответ­ствующих параметров адекватно построенной математической мо­дели педагогического процесса. С этой целью при исследовании проблем психологии и педагогики применяются методы математиче­ской статистики. С их помощью решаются различные задачи: обра­ботка фактического материала, получение новых, дополнительных данных, обоснование научной организации исследования и др.

Основные понятия математической статистики

Исключительно важную роль в анализе многих психолого-педагоги­ческих явлений играют средние величины, представляющие собой обобщенную характеристику качественно однородной совокупности по определенному количественному признаку. Нельзя, например, вы­числить среднюю специальность или среднюю национальность сту­дентов вуза, так как специальность и национальность — качественно разнородные явления. Зато можно и нужно определить среднюю ко­личественную характеристику их успеваемости (средний балл), эф­фективности методических систем и приемов и т. д.

В психолого-педагогических исследованиях обычно применяют­ся различные виды средних величин: средняя арифметическая, сред­няя геометрическая, медиана, мода и др. Наиболее распространены средняя арифметическая, медиана и мода.

Средняя арифметическаяприменяется в тех случаях, когда меж­ду определяющим свойством и данным признаком имеется прямо пропорциональная зависимость (например, при улучшении показа­телей работы учебной группы улучшаются показатели работы каж­дого ее члена).

Средняя арифметическая представляет собой частное от деления суммы величин на их число и вычисляется по формуле:

где X — средняя арифметическая; Х_и Х₂, Х_ъ... X_N — результаты отдель­ных наблюдений (приемов, действий), N— количество наблюдений (приемов, действий), 2 — сумма результатов всех наблюдений (приемов, действий).

Медианой (Me)называется мера среднего положения, характе­ризующая значение признака на упорядоченной (построенной по признаку возрастания или убывания) шкале, которое соответствует середине исследуемой совокупности. Медиана может быть определе­на для порядковых и количественных признаков. Место расположе­ния этого значения определяется по формуле

Например, по результатам исследования установлено, что:

♦ на «отлично» учатся 5 человек из участвующих в эксперименте;

♦ на «хорошо» — 18 человек;

♦ на «удовлетворительно» — 22 человека;

♦ на «неудовлетворительно» — 6 человек.

Так как всего в эксперименте принимало участие N = 54 человека, то середина выборки равна 0,5 х N = 27 человек. Отсюда делается вы­вод, что больше половины обучающихся учатся ниже оценки «хоро­шо», т. е. медиана больше «удовлетворительно», но меньше «хоро­шо» (рис. 6.1).

Мода (Мо)— наиболее часто встречающееся типичное значение признака среди других значений. Она соответствует классу с макси­мальной частотой. Этот класс называется модальным значением.

Например, если ответы на вопрос анкеты «Укажите степень вла­дения иностранным языком» распределились таким образом:

1 — владею свободно — 25;

2 — владею в степени, достаточной для общения — 54;

3 — владею, но испытываю трудности при общении — 253;

4 — понимаю с трудом — 173;

5 — не владею — 28,

то очевидно, что наиболее типичным значением здесь является «Владею, но испытываю трудности при общении», которое и будет модальным. Таким образом, мода равна 253.

Важное значение при использовании в психолого-педагогиче­ском исследовании математических методов уделяется расчету дис­персии и среднеквадратических (стандартных) отклонений.

Дисперсияравна среднему квадрату отклонений значения иссле­дуемой переменной от среднего значения. Она выступает как одна из характеристик индивидуальных результатов разброса значений ис­следуемой переменной (например, оценок учащихся) вокруг средне­го значения. Вычисление дисперсии осуществляется путем опреде­ления:

♦ отклонения от среднего значения;

♦ квадрата указанного отклонения;

♦ суммы квадратов отклонения и среднего значения квадрата от­клонения (табл. 6.1)¹.

Значение дисперсии используется в различных статистических расчетах, но не имеет непосредственного наблюдаемого характера. Величиной, непосредственно связанной с содержанием наблюдаемой переменной, является среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение подтверждает типичность и показательность средней арифметической, отражает меру колебания численных значений признаков, из которых выводится средняя ве­личина. Оно равно корню квадратному из дисперсии и определяется по формуле

где а — средняя квадратическая. При малом числе наблюдения (дей­ствий) — менее 100 — в значении формулы следует ставить не N, aN-1.

Средняя арифметическая и средняя квадратическая являются ос­новными характеристиками полученных результатов в ходе исследо­вания. Они позволяют обобщить данные, сравнить их, установить преимущества одной психолого-педагогической системы (програм­мы) над другой.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение широко при­меняется как мера разброса для различных характеристик. На рис. 6.2 приведен пример распределения частот значений двух переменных с одинаковыми средними, но различным разбросом.

Значение переменной

Оценивая результаты исследования, важно определить рассеива­ние случайной величины около среднего значения. Это рассеивание описывается с помощью закона Гауса (закона нормального распреде­ления вероятности случайной величины). Суть закона заключается в том, что при измерении некоторого признака в данной совокупности элементов всегда имеют место отклонения в обе стороны от нормы

вследствие множества неконтролируемых причин, при этом чем больше отклонения, тем реже они встречаются.

При дальнейшей обработке данных могут быть выявлены: коэф­фициент вариации (устойчивости) исследуемого явления, представ­ляющий собой процентное отношение среднеквадратического от­клонения к средней арифметической; мера косости, показывающая, в какую сторону направлено преимущественное число отклонений; мера крутости, которая показывает степень скопления значений случайной величины около среднего и др. Все эти статистические данные помогают более полно выявить признаки изучаемых явле­ний.

Меры связи между переменными.Связи (зависимости) между двумя и более переменными в статистике называют корреляцией.Она оценивается с помощью значения коэффициента корреляции, который является мерой степени и величины этой связи.

Коэффициентов корреляции много. Рассмотрим лишь часть из них, которые учитывают наличие линейной связи между переменны­ми. Их выбор зависит от шкал измерения переменных, зависимость между которыми необходимо оценить. Наиболее часто в психологии и педагогике применяются коэффициенты Пирсона и Спирмена.

Рассмотрим вычисление значений коэффициентов корреляции на конкретных примерах.

Пример 1.Пусть две сравниваемые переменные X (семейное по­ложение) и Y (исключение из университета) измеряются в дихото­мической шкале (частный случай шкалы наименований). Для опре­деления связи используем коэффициент Пирсона.

В тех случаях, когда нет необходимости подсчитывать частоту по­явления различных значений переменных X и Y, удобно проводить вычисления коэффициента корреляции с помощью таблицы сопря­женности (табл. 6.2-6.4)¹, показывающей количество совместных появлений пар значений по двум переменным (признакам). А — ко­личество случаев, когда переменная X имеет значение, равное нулю, и одновременно переменная Y имеет значение, равное единице; В — количество случаев, когда переменные X и Y имеют одновременно значения, равные единице; С — количество случаев, когда перемен-

ные X и Y имеют одновременно значения, равные нулю; D — количе­ство случаев, когда переменная X имеет значение, равное единице, и одновременно переменная У имеет значение, равное нулю.

где R_s — коэффициент ранговой корреляции Спирмена; Д — раз­ность рангов сравниваемых объектов; N — количество сравниваемых объектов.

Значение коэффициента Спирмена изменяется в пределах от -1 до +1. В первом случае между анализируемыми переменными суще­ствует однозначная, но противоположено направленная связь (с уве­личением значений одной уменьшается значения другой). Во втором с ростом значений одной переменной пропорционально возрастает значение второй переменной. Если величина R_s равна нулю или име­ет значение, близкое к нему, то значимая связь между переменными отсутствует.

В качестве примера вычисления коэффициента Спирмена исполь­зуем данные из табл. 6.5¹.

Результаты вычисления позволяют говорить о наличии достаточ­но выраженной связи между рассматриваемыми переменными.

Статистическая проверка научной гипотезы.Доказательство статистической достоверности экспериментального влияния суще­ственно отличается от доказательства в математике и формальной логике, где выводы носят более универсальный характер: статисти­ческие доказательства не являются столь строгими и окончательны­ми—в них всегда допускается риск ошибиться в выводах, и потому

статистическими методами не доказывается окончательно правомер­ность того или иного вывода, а показывается мера правдоподобности принятия той или иной гипотезы.

Педагогическая гипотеза (научное предположение о преимущест­ве того или иного метода и т. п.) в процессе статистического анализа переводится на язык статистической науки и заново формулируется, по меньшей мере, в виде двух статистических гипотез. Первая (основ­ная) называется нулевой гипотезой(#₀), в которой исследователь говорит о своей исходной позиции. Он априори как бы декларирует, что новый метод (предполагаемый им, его коллегами или оппонента­ми) не обладает какими-либо преимуществами, и потому с самого начала исследователь психологически готов занять честную научную позицию: различия между новым и старым методами объявляются равными нулю. В другой, альтернативной гипотезе(Я,) делается предположение о преимуществе нового метода. Иногда выдвигается несколько альтернативных гипотез с соответствующими обозначе­ниями.

Например, гипотеза о преимуществе старого метода обозначается как (Н₂). Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только то­гда, когда опровергается нулевая гипотеза. Это бывает в случаях, когда различия, скажем, в средних арифметических эксперименталь­ной и контрольной групп настолько значимы (статистически досто­верны), что риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимостистатистического вывода:

♦ первый уровень — 5 % (в научных текстах пишут иногда р = 5 % или а < 0,05, если представлено в долях), где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе испыту­емых для каждого эксперимента;

♦ второй уровень — 1 %, т. е. соответственно допускается риск оши­биться только в одном случае из ста (а < 0,01, при тех же требова­ниях);

♦ третий уровень — 0,1 %, т. е. допускается риск ошибиться только в одном случае из тысячи (а < 0,001).

Последний уровень значимости предъявляет очень высокие тре­бования к обоснованию достоверности результатов эксперимента и потому редко используется.

При сравнении средних арифметических экспериментальной и контрольной групп важно определить, какая средняя не только боль­ше, но и насколько больше. Чем меньше разница между ними, тем более приемлемой окажется нулевая гипотеза об отсутствии стати­стически значимых (достоверных) различий. В отличие от мышле­ния на уровне обыденного сознания, склонного воспринимать полу­ченную в результате опыта разность средних как факт и основание для вывода, педагог-исследователь, знакомый с логикой статистиче­ского вывода, не будет торопиться в таких случаях. Он, скорее всего, сделает предположение о случайности различий, выдвинет нулевую гипотезу об отсутствии достоверных различий в результатах экспе­риментальной и контрольной групп и лишь после опровержения ну­левой гипотезы примет альтернативную.

Таким образом, вопрос о различиях в рамках научного мышления переводится в другую плоскость. Дело не только в различиях (они почти всегда есть), а в величине этих различий и отсюда — в опреде­лении разницы и границы, после которого можно сказать: да, раз­личия неслучайны, они статистически достоверны, а значит, испы­туемые этих двух групп принадлежат после эксперимента уже не к одной (как раньше), а к двум различным генеральным совокупно­стям, и уровень подготовленности учащихся, потенциально принад­лежащих этим совокупностям, будет существенно отличаться. Для того чтобы показать границы этих различий, используются так назы­ваемые оценки генеральных параметров.

Рассмотрим на конкретном примере (табл. 6.6), как с помощью математической статистики можно опровергнуть или подтвердить ну­левую гипотезу.

Допустим, необходимо определить, зависит ли эффективность групповой деятельности студентов от уровня развития межличност­ных отношений в их учебной группе. В качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение, что такой зависимости не существует, а в качестве альтернативной — зависимость существует. Для этих це­лей сравниваются результаты эффективности деятельности в двух группах, одна из которых в этом случае выступает в качестве экспе­риментальной, а вторая — контрольной. Чтобы определить, является ли разность между средними значениями показателей эффективно­сти в первой и во второй группах существенной (значимой), необхо­димо вычислить статистическую достоверность этой разницы. Для

этого можно использовать t-критерий Стъюдента. Он вычисляется по формуле

Вычислив величину ^-критерия, по специальной таблице опреде­ляют уровень статистической значимости различий между средними показателями эффективности деятельности в экспериментальной и контрольной группах. Чем выше значение ^-критерия, тем выше зна­чимость различий.

Для этого t расчетное сравниваем с t табличным. Табличное зна­чение выбирается с учетом выбранного уровня достоверности (р = = 0,05 или р = 0,01), а также в зависимости от числа степеней свобо­ды, которое находится по формуле

Для таблицы t-критерия находим, что значение t_Ta6jl = 3,055 для однопроцентного уровня (р < 0,01) при 12 степенях свободы. Таким образом, величина £_та6л < t _асч. Следовательно, можно сделать стати­стически обоснованный вывод о том, что эффективность деятель­ности в экспериментальной группе выше, чем в контрольной, при уровне значимости 0,01 (риск ошибки составляет одна из ста теоре­тически возможных).

Однако педагогу-исследователю следует помнить, что существо­вание статистической значимости разности средних значений может быть важным, но не единственным аргументом в пользу наличия или отсутствия связи (зависимости) между явлениями или переменны­ми. Поэтому необходимо привлекать и другие аргументы количест­венного или содержательного обоснования возможной связи.

Многомерные методы анализа данных.Анализ взаимосвязи ме­жду большим количеством переменных осуществляется путем ис­пользования многомерных методов статистической обработки. Цель применения подобных методов — обнаружить скрытые закономер­ности, выделить наиболее существенные взаимосвязи между пере­менными. Примерами таких многомерных статистических методов являются:

♦ факторный анализ;

♦ кластерный анализ;

♦ дисперсионный анализ;

♦ регрессионный анализ;

♦ латентно-структурный анализ;

♦ многомерное шкалирование и др.

Факторный анализзаключается в выявлении и интерпретации факторов. Фактор — обобщенная переменная, которая позволяет свернуть часть информации, т. е. представить ее в удобообозримом виде. Например, факторная теория личности выделяет ряд обобщен­ных характеристик поведения, которые в данном случае называются чертами личности.

Кластерный анализпозволяет выделить ведущий признак и ие­рархию взаимосвязей признаков.

Дисперсионный анализ— статистический метод, используемый для изучения одной или нескольких одновременно действующих и независимых переменных на изменчивость наблюдаемого признака. Его особенность состоит в том, что наблюдаемый признак может быть только количественным, в то же время объясняющие признаки могут быть как количественными, так и качественными.

Регрессионный анализпозволяет выявить количественную (чи­сленную) зависимость среднего значения изменений результативно­го признака (объясняемой) от изменений одного или нескольких признаков (объясняющих переменных). Как правило, данный вид анализа применяется в том случае, когда требуется выяснить, на­сколько изменяется средняя величина одного признака при измене­нии на единицу другого признака.

Латентно-структурный анализпредставляет собой совокупность аналитико-статистических процедур выявления скрытых перемен­ных (признаков), а также внутренней структуры связей между ними.

Он дает возможность исследовать проявления сложных взаимосвя­зей непосредственно ненаблюдаемых характеристик социально-пси­хологических и педагогических феноменов. Латентный анализ мо­жет стать основой для моделирования указанных взаимосвязей.

Многомерное шкалированиеобеспечивает наглядную оценку сходства или различия между некоторыми объектами, описываемы­ми большим количеством разнообразных переменных. Эти различия представляются в виде расстояния между оцениваемыми объектами в многомерном пространстве.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: