Сделай Сам Свою Работу на 5

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 4





Задача. Минимизировать

при ограничении

Решение. Соответствующая задача безусловной оптимизации записывается в следующем виде:

минимизировать

Приравняв две компоненты градиента L к нулю, получим

Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка x0 минимуму, вычислим элементы матрицы Гессе функции L(x; v), рассматриваемой как функция х,

которая оказывается положительно определенной. Это означает, что L(x; v) – выпуклая функция х. Следовательно, координаты определяют точку глобального минимума. Оптимальное значение v находится путем подстановки значений в уравнение 5х + 3y =9, откуда 5×2.5v +3×1.5v = 9 или v0 = 9/17. Таким образом, условный минимум достигается при x0 ≈ 1,3235, y0 ≈ 0,7941 и равен min f(x) = 2,3823.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 3

Задача 1.

Вариант 1-8. Распределите оптимальным образом денежные средства величиной Х между N предприятиями. В результате выделения средств k-му предприятию в размере u оно дает доход Jk(u).

Вариант 1. X = 5 млн. р., N = 4. Средства предприятиям распределяются в количествах, кратных 1 млн. р. Функции Jk(u), k = 1, …, 4, заданы табл. 38.

Таблица 38

u (млн. р.) 0 1 2 3 4 5
J1(u) 0 2 3 5,5 6,5 8
J2(u) 0 4 5,5 7 9 10,5
J3(u) 0 1 1,5 3 4 5
J4(u) 0 4,5 5,5 7 8 9,5

 



Вариант 2. X = 5 млн. р., N = 5. Средства предприятиям распределяются в количествах, кратных 1 млн. р. Функции Jk(u), k = 1, …, 4, заданы табл. 39.

Таблица 39

u (млн. р.) 0 1 2 3 4 5
J1(u) 0 1.5 2 3.5 5.5 9
J2(u) 0 3 4.5 5.5 6.5 7.5
J3(u) 0 4 5 5.5 6 9
J4(u) 0 2 3 4 6.5 8
J5(u) 0 3 4.5 6 7.5 3.5

Вариант 3. X = 100 тыс. р., N = 4. Средства предприятиям распределяются в количествах, кратных 25 тыс. р., но не могут превосходить 50 тыс. р. Функции Jk(u), k = 1, …, 4, заданы табл. 40.

Таблица 40

u (млн. р.) 0 25 50 75 100
J1(u) 0 12 14 20 28
J2(u) 0 12 18 24 30
J3(u) 0 12 16 24 30
J4(u) 0 8 12 16 24

Вариант 4. X = 400 тыс. р., N = 4. Средства предприятиям распределяются в количествах, кратных 20 тыс. р., но не могут превосходить 200 тыс. р. Функции Jk(u), k = 1, …, 4, заданы табл. 41.

Таблица 41

u (млн. р.) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
J1(u) 0 10 20 40 100 160 180 190 200 210 215
J2(u) 0 20 40 60 80 95 101 102 103 104 105
J3(u) 0 5 10 15 25 37 69 140 225 280 300
J4(u) 0 30 68 95 140 160 170 175 176 177 178

Вариант 5. X = 5 млн. р., N = 4. Средства предприятиям распределяются в количествах, кратных 1 млн. р. Функции Jk(u), k = 1, …, 4, заданы табл. 42.



 

Таблица 42

u (млн. р.) 0 1 2 3 4 5
J1(u) 0 3.5 4 5.5 7.5 11
J2(u) 0 5 6.5 7.5 8.5 9.5
J3(u) 0 6 7 7.5 8 11
J4(u) 0 4 5 6 8.5 10

 

Вариант 6. X = 5 млн. р., N = 5. Средства предприятиям распределяются в количествах, кратных 1 млн. р. Функции Jk(u), k = 1, …, 4, заданы табл. 43.

 

Таблица 43

u (млн. р.) 0 1 2 3 4 5
J1(u) 0 4.5 6 7.5 9.5 13
J2(u) 0 7 8.5 9.5 10.5 11.5
J3(u) 0 4 9 9.5 10 13
J4(u) 0 6 7 8 10.5 12
J5(u) 0 7 8.5 10 11.5 7.5

Вариант 7. X = 100 тыс. р., N = 4. Средства предприятиям распределяются в количествах, кратных 25 тыс. р., но не могут превосходить 50 тыс. р. Функции Jk(u), k = 1, …, 4, заданы табл. 44.

Таблица 44

u (млн. р.) 0 25 50 75 100
J1(u) 0 18 20 26 34
J2(u) 0 18 24 30 36
J3(u) 0 18 22 30 36
J4(u) 0 14 18 22 30

 

Вариант 8. X = 400 тыс. р., N = 4. Средства предприятиям распределяются в количествах, кратных 20 тыс. р., но не могут превосходить 200 тыс. р. Функции Jk(u), k = 1, …, 4, заданы табл. 45.

Таблица 45

u (млн. р.) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
J1(u) 0 20 30 50 110 170 190 200 210 220 225
J2(u) 0 30 50 70 90 105 111 112 113 114 115
J3(u) 0 15 20 25 35 47 79 150 235 290 310
J4(u) 0 40 78 105 150 170 180 185 186 187 188

Вариант 9-11. Распределите оптимальным образом денежные средства инвестора величиной Х между четырьмя предприятиями. От выделенной суммы зависит прирост выпуска продукции на предприятиях, значения которых приведены в табл. 46, 47, 48.



Вариант 9.

Таблица 46

Денежные средства, Х Прирост выпуска продукции на предприятиях
1 2 3 4
20 9 11 13 12
40 17 33 29 35
60 28 45 38 40
80 38 51 49 54
100 46 68 61 73
120 68 80 81 92
                 

 

Вариант 10.

Таблица 47

Денежные средства, Х Прирост выпуска продукции на предприятиях
1 2 3 4
20 13 15 17 16
40 21 37 33 39
60 32 49 42 44
80 42 55 53 58
100 50 72 65 77
120 72 84 85 96

Вариант 11.

Таблица 48

Денежные средства, Х Прирост выпуска продукции на предприятиях
1 2 3 4
40 8 6 3 4
80 10 9 4 6
120 11 11 7 8
160 12 13 11 13
200 18 15 18 16

Вариант 12-13. На развитие трех предприятий выделено 5 млн. р. Известна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, заданная значением нелинейной функции gi(xi) представленной в табл. 49. Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход. Распределение средств осуществляется в целых числах.

 

Вариант 12.

Таблица 49

х g1 g2 g3
0 0 0 0
1 5.2 5 5.8
2 6 6.2 8.4
3 7.1 7.8 9.4
4 8.2 9.2 9.6
5 8.9 9.4 9.9

Вариант 13.

Таблица 50

х g1 g2 g3
0 0 0 0
1 4.6 4.4 5.2
2 5.4 5.6 7.8
3 6.5 7.2 8.8
4 7.6 8.6 9
5 8.3 8.8 9.3

 

Вариант 14-20. Планируется деятельность двух предприятий в течение n лет. Начальные средства составляют s0. Средства х, вложенные в предприятие 1, приносят к концу года доход f1(x) и возвращаются в размере j1(х); аналогично, средства х, вложенные в предприятие 2, дают доход f2(x) и возвращаются в размере j2(х). По истечении года все оставшиеся средства заново перераспределяются между предприятиями 1 и 2, новых средств не поступает и доход в производство не вкладывается.

Требуется найти оптимальный способ распределения имеющихся средств.

Таблица 51

номер варианта s0 n f1(x) j1(х) f2(x) j2(х)
14. 300 4 0.6x 0.4x 0.3x 0.7x
15. 300 3 0.7x 0.8x 0.2x 0.3x
16. 200 4 0.3x 0.8x 0.4x 0.5x
17. 10000 4 0.4x 0.5x 0.3x 0.8x
18. 10000 4 0.5x 0.8x 0.6x 0.7x
19. 600 3 0.4x 0.5x 0.3x 0.8x
20. 600 4 0.6x 0.4x 0.3x 0.7x

 

Задача 2. На заданной сети дорог имеется несколько маршрутов по доставке груза из пункта 1 в пункт 10. Стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами сети проставлена у соответствующих ребер. Необходимо определить оптимальный маршрут доставки груза из пункта 1 в пункт 10, который обеспечил бы минимальные транспортные расходы.

Вариант 1.

 

 

Вариант 2.

 

Вариант 3.

 


 

 

Вариант 4.

 

Вариант 5.

 

Вариант 6.

 

 

Вариант 7.

 

 

Вариант 8.

 

 


 

Вариант 9.

 

 

 

Вариант 10.

 

 

Вариант 11.

 

 

Вариант 12.

 

Вариант 13.

 


Вариант 14.

Вариант 15.

Вариант 16.

Вариант 17.

Вариант 18.


Вариант 19.

Вариант 20.

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 1

Задача 1.1. Планируется деятельность двух предприятий в течение 4 лет. Начальные средства составляют s0 = 700. Средства х, вложенные в предприятие 1, приносят к концу года доход f1(x)=0,7х и возвращаются в размере j1(х)=0,4х; аналогично, средства х, вложенные в предприятие 2, дают доход f2(x)=0,8х и возвращаются в размере j2(х)=0,5х. По истечении года все оставшиеся средства заново перераспределяются между предприятиями 1 и 2, новых средств не поступает и доход в производство не вкладывается.

Требуется найти оптимальный способ распределения имеющихся средств.

Решение. Уравнение состояний sk = j1(xk) + j2(sk-1 – xk) примет вид: sk = 0.4xk+0.5(sk-1-xk) или sk = 0.5sk-1-0.1xk.

Целевая функция k-го шага: 0.7xk+0.8(sk-1-xk)=-0.1xk+0.8sk-1.

Целевая функция задачи:

Функциональные уравнения (уравнения Беллмана):

Далее проводим условную оптимизацию.

 
 

 

 

4-й шаг. Используем уравнение (*). Обозначим через Z4 функцию, стоящую в скобках, Z4 = -0.1x4+0.8s3; функция Z4 – линейная убывающая, так как угловой коэффициент -0,1 меньше нуля. Поэтому максимум достигается на конце интервала [0, s3] (см. рисунок).

Следовательно, Z4* = 0.8s3 при X4* =0.

3-й шаг. Уравнение

Находим s3 из уравнений состояний: s3 = 0.5s2-0.1x3 и, подставив его выражение в правую часть уравнения, получаем:

Как и в предыдущем случае, максимум достигается при x3 = 0; т. е. Z3*=1.2s2 при X3*=0.

2-й шаг. Из уравнения состояний: s2 = 0.5s1-0.1x2, поэтому первое функциональное уравнение при k=2 примет вид:

Линейная относительно x2 функция Z2* = 1.4s1-0.22x2 убывает на отрезке [0, s1], и поэтому ее максимум достигается при х2 = 0.

При этом: Z2* = 1.4s1, при X2* = 0.

1-й шаг. s1 = 0.5 s0-0.1x1. Первое функциональное уравнение при k=1 имеет вид:

Как и в предыдущем случае, максимум достигается в начале отрезка, т. е.: Z1*=1.5s0 при X1*=0.

На этом условная оптимизация заканчивается. Используя ее результат и исходные данные, получаем:

Zmax = Z1*(700), Zmax =1050.

Далее:

X1* = 0, Y1* = s0 = 700

(все средства выделяются второй отрасли) ®

® s1* = 0.5×700-0.1×0 = 350 Þ X2* = 0, Y2* = s1 = 350

(все средства выделяются второй отрасли) ®

® s2* = 0.5×350-0.1×0 = 175 Þ X3* =0 , Y3* = 175 ®

(все средства выделяются второй отрасли) ®

® s3* = 0.5×6400-0.1×0 = 87,5 Þ X4* = 0, Y4* = 87,5

(все средства выделяются второй отрасли).

Оптимальная прибыль за 4 года, полученная от двух отраслей производства при начальных средствах 700 ед., равна 1050 ед. при условии, что первая отрасль получает по годам (0; 0; 0; 0), а вторая отрасль соответственно (700; 350; 175; 87,5).

Задача 1.2. Распределите оптимальным образом денежные средства величиной 5 млн. р. между 4 предприятиями. В результате выделения средств k-му предприятию в размере u оно дает доход Jk(u).

Таблица 52

u (млн. р.) 0 1 2 3 4 5
J1(u) 0 1.5 2 3.5 5.5 9
J2(u) 0 3 4.5 5.5 6.5 7.5
J3(u) 0 4 5 5.5 6 9
J4(u) 0 2 3 4 6.5 8

Решение. Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах ui = {0, 1, 2, 3, 4, 5} млн. р.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.