Двумерная модель распределения ресурсов

Рассмотрим работу схемы на примере. В качестве примера приведем задачу об оптимальном распределении ресурсов между двумя отраслями (между фирмами, хозяйствующими субъектами) на n лет.

Предположим, что планируется деятельность двух отраслей производства на n лет. Начальные ресурсы s₀. Средства х, вложенные в первую отрасль в начале года, дают в конце года прибыль f₁(x) и возвращаются в размере q₁(x)<x; аналогично для второй отрасли: функция прибыли равна f₂(x), а возврата – q₂(x) (q₂(x)<x).

В конце года все возвращенные средства заново перераспределяются между первой и второй отраслями, новые средства не поступают, прибыль в производство не вкладывается

(последние условия приняты с целью упрощения метода, в случае, если поступают новые средства или часть прибыли вкладывается в производство, задача усложняется, однако, алгоритм метода ДП не изменяется).

Требуется распределить имеющиеся средства s₀ между двумя отраслями производства на n лет так, чтобы суммарная прибыль от обеих отраслей за n лет оказалась максимальной.

Пример 72. Приведем решение задачи методом ДП при условии, что s₀ = 10000 ед., n = 4, f₁(x)= 0.6x, q₁(x) = 0.7x, f₂(x) = 0.5x, q₂(x) = 0.8x.

Решение. Процесс распределения средств между двумя отраслями производства разворачивается во времени, решения принимаются в начале каждого года, следовательно, деление на шаги можно сделать следующим образом: номер шага – номер года. Управляемая система – две отрасли производства, а управление состоит в выделении средств каждой отрасли в очередном году.

Параметры состояния к началу k-го года – s_k-1 (k = 1, 2, …, n) – количество средств, подлежащих распределению. Переменных управления на каждом шаге две: x_k – количество средств, выделенных первой отрасли. Но так как все средства s_k-1 распределяются, то y_k = s_k-1-x_k, и поэтому управление на k-м шаге зависит от одной переменной x_k, т.е. X_k(x_k, s_k-1-x_k).

1) Уравнения состояний: s_k = q₁(x_k) + q₂(s_k-1 – x_k) выражают остаток средств, возвращенных в конце k-го года.

2) Показатель эффективности k-го шага – прибыль, полученная в конце k-го года от обеих отраслей: f₁(x_k) + f₂(s_k-1 – x_k).

1) Суммарный показатель эффективности – целевая функция задачи – прибыль за n лет:

4) Пусть Z_k^*(s_k-1) – условная оптимальная прибыль за n-k+1 лет, начиная с k-го года включительно, при условии, что имеющиеся на начало k-го года средства s_k-1 в дальнейшем распределялись оптимально. Тогда оптимальная прибыль за n лет:

Z_max = Z₁^*(s₀).

5) Уравнения Беллмана имеют вид:

Проведем расчет для конкретных данных.

Уравнение состояний примет вид: s_k = 0.7x_k+0.8(s_k-1-x_k) или s_k = 0.8s_k-1-0.1x_k.

Целевая функция k-го шага: 0.6x_k+0.5(s_k-1-x_k)=0.1x_k+0.5s_k-1.

Целевая функция задачи:

Функциональные уравнения (уравнения Беллмана):

Далее проводим условную оптимизацию.

4-й шаг. Используем уравнение (*). Обозначим через Z₄ функцию, стоящую в скобках, Z₄ = 0.1x₄+0.5s₃; функция Z₄ – линейная возрастающая, так как угловой коэффициент 0,1 больше нуля. Поэтому максимум достигается на конце интервала [0, s₃] (рис. 42).

Следовательно, Z₄^*(s₃) = 0.6s₃ при X₄^*(s₃) = s₃.

3-й шаг. Уравнение

Находим s₃ из уравнений состояний: s₃ = 0.8s₂-0.1x₃ и, подставив его выражение в правую часть уравнения, получаем:

Как и в предыдущем случае, максимум достигается при x₃ = s₂; т. е. Z₃^*(s₂)=1.02s₂ при X₃^*(s₂) = s₂.

2-й шаг. Из уравнения состояний: s₂ = 0.8s₁-0.1x₂, поэтому первое функциональное уравнение при k=2 примет вид:

Линейная относительно x₂ функция Z₂^* = 1.31s₁-0.002x₂ убывает на отрезке [0, s₁], и поэтому ее максимум достигается при х₂ = 0 (рис. 43).

При этом: Z₂^*(s₁) = 1.316s₁, при X₂^*(s₁) = 0.

1-й шаг. s₁ = 0.8s₀-0.1x₁. Первое функциональное уравнение при k=1 имеет вид:

Как и в предыдущем случае, максимум достигается в начале отрезка, т.е.: Z₁^*(s₀)=1.5528s₀ при X₁^*(s₁)=0.

На этом условная оптимизация заканчивается. Используя ее результат и исходные данные, получаем:

Z_max = Z₁^*(10000), Z_max = 15528.

Далее:

X₁^* = 0, Y₁^* = s₀ = 10000

(все средства выделяются второй отрасли) ®

® s₁^* = 0.8×10000-0.1×0 = 8000 Þ X₂^* = 0, Y₂^* = s₁ = 8000

(все средства выделяются второй отрасли) ®

® s₂^* = 0.8×8000-0.1×0 = 6400 Þ X₃^* = 6400, Y₃^* = 0 ®

(все средства выделяются первой отрасли) ®

® s₃^* = 0.8×6400-0.1×6400 = 4480 Þ X₄^* = 4480, Y₄^* = 0

(все средства выделяются первой отрасли).

Оптимальная прибыль за 4 года, полученная от двух отраслей производства при начальных средствах 10000 ед., равна 15528 ед. при условии, что первая отрасль получает по годам (0; 0; 6400; 4480), а вторая отрасль соответственно (10000; 8000; 0; 0).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: