Сделай Сам Свою Работу на 5

Экономическая интерпретация множителей Лагранжа





Множители Лагранжа рассматривались выше как параметры, значения которых выбираются таким образом, чтобы выполнялись ограничения задачи. С экономической точки зрения множители Лагранжа интерпретируются как неявные (теневые) цены ресурсов, определяемых ограничениями; оптимальные значения множителей Лагранжа играют важную роль в анализе чувствительности решений. Для того, чтобы пояснить эту интерпретационную схему, рассмотрим следующую оптимизационную задачу с двумя переменными и одним ограничением в виде равенства:

минимизировать

при ограничении

где постоянная величина b1 характеризует наличие некоторого ресурса.

Предположим, что стационарная точка функции L соответствует глобальному минимуму.

Пусть - оптимальное значения множителя Лагранжа, а - оптимальное решение задачи. Далее, пусть минимум функции L(x; v1) при достигается в точке , причем и . Очевидно, что оптимальные значения связаны функциональной зависимостью с величиной b1, задающей границу наличия дефицитного ресурса.

Изменения f0 (оптимального значения f), обусловлены изменениями b1, описываются частной производной . По правилу дифференцирования сложной функции имеем



. (14)

Дифференцируя обе части ограничений , получаем

. (15)

Умножим обе части равенства (15) на и вычтем из (14):

. (16)

Так как х0 и удовлетворяют уравнениям (12) и (13), равенство (16) приводится к виду

. (17)

Таким образом, из формулы (17) следует, что скорость изменения оптимального значения f, вызываемого изменением b1, определяется оптимальным значением множителя Лагранжа . Другими словами, величина изменения оптимального значения целевой функции,

обусловленного единичным увеличением правой части ограничения. В зависимости от знака значения f0 при изменении b1 могут увеличиваться или уменьшаться.

 

Условия Куна - Таккера

 

До этого было установлено, что множители Лагранжа можно использовать при построении критериев оптимальности для задач оптимизации с ограничениями в виде равенств. Кун и Таккер обобщили этот подход на случай общей задачи нелинейного программирования с ограничениями, как в виде равенств, так и виде неравенств. Рассмотрим следующую общую задачу нелинейного программирования:



минимизировать f(x) (18)

при ограничениях

Определение. Ограничение в виде неравенства называется активным, или связывающим, в точке , если и неактивным, или несвязывающим, если .

Если существует возможность обнаружить ограничения, которые неактивны в точке оптимума, до непосредственного решения задачи, то эти ограничения можно исключить из модели и тем самым уменьшить ее размеры. Основная трудность заключается при этом в идентификации неактивных ограничений, предшествующей решению задачи.

Кун и Таккер построили необходимые и достаточные условия оптимальности для задач нелинейного программирования, исходя из предположения о дифференцируемости функций f, gj, hk. Эти условия оптимальности, широко известны как условия Куна - Таккера, можно сформулировать в виде задачи нахождения решения некоторой системы нелинейных уравнений и неравенств, или, как иногда говорят, задачи Куна – Таккера.

Условия Куна – Таккера и задача Куна - Таккера

 

Найти векторы , удовлетворяющие следующим условиям:

(21)

Прежде всего, проиллюстрируем условия Куна – Таккера на примере.

Пример 68. Минимизировать

при ограничениях

Решение. Записав данную задачу в виде задачи нелинейного программирования (18) – (20), получим

Уравнение (21), входящее в состав условий Куна – Таккера, принимает следующий вид:

Неравенства (22) и уравнения (23) задачи Куна – Таккера в данном случае записываются в виде

Уравнения (24), известные как условие дополняющей нежесткости принимают вид



Заметим, что на переменные u1, u2 накладывается требование неотрицательности, тогда как ограничение на знак v1 отсутствует.

Таким образом, для данной задачи условия Куна – Таккера записываются в следующем виде:

 

Теоремы Куна - Таккера

 

До этого были построены условия Куна – Таккера для задач условной оптимизации. С помощью метода множителей Лагранжа получено интуитивное представление о том, что условия Куна – Таккера тесно связаны с необходимыми условиями оптимальности. В данном разделе рассматриваются строгие формулировки необходимых и достаточных условий оптимальности решения задачи нелинейного программирования.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.