Исследование функции на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба графика функции.

Возрастание и убывание функции

Определение: функция y=f(x) называется неубывающей на [a,b] (невозрастающей) если для любых x1,x2 принадлежащих [a,b] , таких что x1<x2 будет выполняться f(x1)≤f(x2)) ( f(x1) ≥ f(x2) )

Определение: функция y=f(x) называется убывающей на [a,b] (возрастающей) если для любых x1,x2 принадлежащих [a,b] , таких что x1<x2 будет выполняться f(x1)>f(x2)) ( f(x1) < f(x2) )

Только возрастающая и убывающая функции являются монотонными

Теорема: для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция y=f(x) неубывала на (a,b) (невозрастала) необходимо и достаточно: f ' (x)≥0 для любого x из (a,b) ( f ' (x)≤0 для любого x из (a,b)).

Замечание: Условия теоремы для возрастающей и убывающей функций являются только достаточными, но не необходимыми,

т.е. если f '(x) > 0 для любого x1,x2 из интервала (a,b), то функция y = f(x) возрастает на интервале (a,b)

если f ' (x)<0 для любого x1,x2 из интервала (a,b), то функция y = f(x) убывает на интервале (a,b)

Геометрический смысл: касательная к графику неубывающей на (a,b) функции составляет острый угол с осью Ox (k _кас=f ' (x)≥0).

Касательная к графику невозрастающей на (a,b) функции образует тупой угол с осью Ox.

Если функция f(x) на (a,b) постоянна, то очевидно, что f'(x)=0, а касательная на всём интервале параллельна ось Ox.

Две параллельные прямые на графиках – это касательные

Изогнутая линия – график функции y=f(x)

Экстремумы функции.

Особую роль в исследовании поведения функции на множестве играют точки, разделяющие интервалы возрастания и убывания функции.

Везде далее будем считать, что y=f(x) непрерывна на [a,b].

Определение:точка x₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции y=f(x), если существует такая δ -окрестность т. x₀, что для всех

x Є (x₀ - δ; x₀+ δ) за исключением x₀ выполняется неравенство f(x)<f(x₀) (для минимума f(x)>f(x₀) ) и записывается

При этом очевидно, что x₀-внутренняя точка (a;b), т.е. x₀Є(a;b).

Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Теорема: необходимое условие существование экстремума:

Если в точке x₀ функция y=f(x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке или равна нулю, или не существует.

В точках экстремумов функции y=f(x) касательная к ее графику или параллельна оси OX, когда существует f '(x₀)=0, или перпендикулярна оси OX, когда f '(x₀) не существует

Точки, в которых производная y=f(x) не существует или равна нулю называют критическими точками. В частном случае, когда f ' (x)=0 критические точки называются стационарными.

Замечание: не всякая критическая точка функции y= f(x) является точкой ее локального экстремума. Этот момент поясняют следующие теоремы.

Теорема 1: Первое достаточное условие существование экстремума.

Точка x₀ - критическая точка непрерывной функции y=f(x) является точкой ее экстремума, если при переходе через x₀ функция f ' (x) меняет знак. При этом если знак производной меняется с "+" на "-", то точка x₀ - точка локального максимума, если с "-" на "+", то точка x₀ - точка локального минимума. Если смены знаков производной не происходит, то x₀ не является точкой экстремума.

Теорема 2: Второй достаточный признак существования экстремума.

Стационарная точка x₀ функции y=f(x) дважды дифференцируемой в δ -окрестности точки x₀ является точкой ее локального минимума (максимума), если f '' (x₀)>0 ( f ''(x₀)<0 ).

Абсолютными (глобальными ) экстремумами функции y=f(x) на [a;b] является её наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке.

Если x₁,x₂,...x_n - критические точки непрерывной функции y=f(x), принадлежащие [a;b], то абсолютные экстремумы обозначаются и находятся следующим образом:

max f(x)= max { f(a) ; f(b) ; f(x₁) ; f(x₂) ... f(x_n)}.

min f(x)= min {f(a) ; f(b) ; f(x₁) ; f(x₂) ... f(x_n)}.

Исследование функции на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба графика функции.

График дифференцируемой функции y=f(x) называется выпуклым на (a;b), если дуга кривой этого графика для любых x из (a;b) расположена ниже любой касательной, проведенной к графику функции.

График дифференцируемой функции y=f(x) называется вогнутым на (a;b), если дуга кривой этого графика для любых x из (a;b) расположена выше любой касательной, проведенной к графику функции.

Выпуклость Вогнутость

Точка M( x₀ ; f (x₀) ) графика дифференцируемой функции y=f(x), в которой направление выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

График дифференцируемой функции лежит по обе стороны касательной, проведенной в точке перегиба.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: