Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ (ОДА) является достаточно информативным метрическим методом оценки влияния. Используется в тех случаях, когда требуется изучить однократное или повторное действие одного фактора. Говоря о повторном действии фактора, имеется в виду, что фактор представлен несколькими градациями, т. е. имеет 1, 2, 3, ..., J уровней (например, повторный курс лечения психотропным препаратом, повторные сеансы психокоррекции и т. д.).

Для проведения дисперсионного анализа не обязательно проводить измерения на одной и той же выборке, т. е. нет необходимости подвергать одних и тех же субъектов влиянию всех исследуемых градаций фактора. Напротив, для каждого из J уровней (градаций фактора) берется n независимых наблюдений. Естественно, что при таком подходе принимается целый ряд допущений, иногда достаточно произвольных. Предполагается, в частности, что n наблюдений на каждом уровне независимы друг от друга и взяты из нормальной совокупности с дисперсией s². Предполагается также, что дисперсия s² одинакова на всех J уровнях (гипотеза однородности, или гомоскедактичности).

Однофакторный дисперсионный анализ включает в себя ряд этапов.

1. Результаты эксперимента представляются в виде следующей таблицы (двумерного массива) (табл. 10.3):

Таблица 10.3

2. Для каждой выборки испытуемых определяется случайная (внутригрупповая) дисперсия SS_W, связанная с вариабельностью переменной внутри каждой градации фактора:

. (10.2)

3. Вычисляется факториальная (межгрупповая) дисперсия SS_b, связанная с влиянием градаций фактора:

. (10.3)

4. Вычисляется общая дисперсия SS_c, которая соответствует сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий: SS_c = SS_b + SS_W. Общую дисперсию можно также вычислить по следующей формуле:

. (10.4)

5. Вычисляется показатель силы влияния как отношение межгрупповой дисперсии к общей:

(10.5)

6. Определяется число степеней свободы:

а) число степеней свободы, связанное с межгрупповой дисперсией: n₁ = J - 1;

б) число степеней свободы, связанное с внутригрупповой дисперсией: n₂ = J (n - 1).

7. Вычисляется показатель достоверности влияния:

(10.6)

Достоверность определяется по критерию Фишера для определенного уровня значимости по соответствующей таблице. Стандартное значение F_ст. определяется на перекресте столбца, соответствующего значению n₁ и строки, соответствующей значению n₂. Вывод о том, что влияние фактора статистически значимо, принимается, если F ³ F_ст.

Для удобства работы с переменными рекомендуется пользоваться рабочей таблицей представления данных (табл. 10.4):

Таблица 10.4

Для вычисления промежуточных значений удобно пользоваться таблицей следующего вида (табл. 10.5):

Таблица 10.5

№№	Вычисляемый параметр	Последовательность вычислений
		xi (левая часть рабочей таблицы) суммируются по каждому столбцу и возводятся в квадрат: (x11 + x21 + ... + xn1)2 (x12 + x22 + ... + xn2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x1J + x2J + ... + xnJ)2 Полученные квадраты суммируются и делятся на n.
		Суммируются по столбцам квадраты чисел в правой части таблицы; полученные суммы квадратов суммируются построчно: + + . . . . . . . . . . . . . +
	SSW = (2) – (1)	Из результата (2) вычитается результат (1), получается внутригрупповая дисперсия SSW.
		Суммируются все варианты по столбцам и по строкам, возводятся в квадрат и делятся на общее число значений Jn.
	SSb = (1) – (4)	Из результата (1) вычитается результат (4), получается межгрупповая дисперсия SSb
	SSC = (2) – (4) = (3) + (5)	Общую дисперсию SSCможно получить двумя путями - либо вычитанием результата (4) из результата (2), либо суммированием результатов (3) и (5), т. е. межгрупповой и внутригрупповой дисперсией.
	= (5)/(6)	Показатель силы влияния вычисляется как отношение результатов (5) и (6), т.е. как отношение межгрупповой дисперсии к общей.
		Вычисляется отношение (5)/(3) и умножается на J(n-1)/(J-1), получается показатель достоверности влияния.

Рассмотрим алгоритм вычислений на примере конкретной задачи.

Условие задачи

Исследовалось влияние возраста как фактора на уровень нейротизма, определяемого по тесту Айзенка. Тестирование проводилось в 4-х группах испытуемых разного возраста (соответственно, 7-й, 8-й, 9-й и 10-й классы) по 10 человек в каждой группе.

Получены следующие результаты (табл. 10.6):

Таблица 10.6

Задание

С помощью однофакторного дисперсионного анализа определить, является ли влияние возраста как фактора на уровень нейротизма статистически значимым.

Алгоритм решения

1.

2.

3. SS_w = (2) – (1) = 9724 – 9041 = 683;

4.

5. SS_b = (1) – (4) = 9041 – 9000 = 41;

6. SS_c = (2) – (4) = (3) + (5) = 9724 – 9000 = 683 + 41 = 724;

7.

8.

Ответ

F = 0,720 < F_кр. = 2,86. Влияние возраста как фактора на уровень нейротизма не является статистически значимым.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: