Сделай Сам Свою Работу на 5

Критерий Стьюдента (t-критерий)





Анализ двух выборок

 

Следующей задачей статистического анализа, решаемой после определения основных (выборочных) характеристик и анализа одной выборки, является совместный анализ нескольких выборок. Важнейшим вопросом, возникающем при анализе двух выборок, является вопрос о наличии различий между выборками. Обычно для этого проводят проверку статистических гипотез о принадлежности обеих выборок одной генеральной совокупности или о равенстве средних.

Если вид распределения или функция распределения выборки нам заданы, то в этом случае задача оценки различий двух групп независимых наблюдений может решаться с использованием параметрических критериев статистики: либо критерия Стьюдента (t), если сравнение выборок ведется по средним значениям (X и У), либо с использованием критерия Фишера (F), если сравнение выборок ведется по их дисперсиям.

Использование параметрических критериев статистики без предварительной проверки вида распределения может привести к определенным ошибкам в ходе проверки рабочей гипотезы.

Для преодоления указанных трудностей в практике педагогических исследований следует использовать непараметрические критерии статистики, такие, как критерий знаков, двухвыборочный критерий Вилкоксона, критерий Ван дер Вардена, критерий Спирмена, выбор которых, хотя и не требует большого числа членов выборки и знаний, вида распределения, но все же зависит от целого ряда условий.



Непараметрические критерии статистики - свободны от допущения о законе распределения выборок и базируются на предположении о независимости наблюдений.

Параметрические критерии

В группу параметрических критериев методов математической статистики входят методы для вычисления описательных статистик, построения графиков на нормальность распределения, проверка гипотез о при­надлежности двух выборок одной совокупности. Эти методы основываются на предположении о том, что распределение выборок подчиняется нормальному (гауссовому) закону распределения. Среди параметрических критериев статистики нами будут рассмотрены критерий Стьюдента и Фишера.

Методы проверки выборки на нормальность



Чтобы определить, имеем ли мы дело с нормальным распределением, можно применять следующие методы:

1) в пределах осей можно нарисовать полигон частоты (эмпирическую функцию распределения) и кривую нормального распределения на основе данных исследования. Исследуя формы кривой нормального распределения и графика эмпирической функции распределения, можно выяснить те параметры, которыми последняя кривая отличается от первой;

2) вычисляется среднее, медиана и мода и на основе этого определяется отклонение от нормального распределения. Если мода, медиана и среднее арифметическое друг от друга значительно не отличаются, мы имеем дело с нормальным распределением. Если медиана значительно отличается от среднего, то мы имеем дело с асимметричной выборкой.

3) эксцесс кривой распределения должен быть равен 0. Кривые с положительным эксцессом значительно вертикальнее кривой нормального распределения. Кривые с отрицательным эксцессом являются более покатистыми по сравнению с кривой нормального распределения;

4) после определения среднего значения распределения частоты и стандартного oтклонения находят следующие четыре интервала распределения сравнивают их с действительными данными ряда:

а) — к интервалу должно относиться около 25% частоты совокупности,

б) — к интервалу должно относиться около 50% частоты совокупности,

в) — к интервалу должно относиться около 75% частоты совокупности,

г) — к интервалу должно относиться около 100% частоты совокупности.

Критерий Стьюдента (t-критерий)

Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборке относятся к одной и той же совокупности. Данный критерий наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности».



При использовании критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и экспериментальная (опытная) группа, количество испытуемых в группах может быть различно.

Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными.

а) случай независимых выборок

Статистика критерия для случая несвязанных, независимых выборок равна:

(1)

 

где , — средние арифметические в экспериментальной и контрольной группах,

 

- стандартная ошибка разности средних арифметических. Находится из формулы:

 

(2)

 

где n1 и n2 -соответственно величины первой и второй выборки.

 

Если n1=n2, то стандартная ошибка разности средних арифметических будет считаться по формуле:

 

(3)

 

где n -величина выборки.

 

Подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:

 

k = n1 + n2 – 2. (4)

При численном равенстве выборок k = 2n - 2.

Далее необходимо сравнить полученное значение tэмп с теоретическим значением t—распределения Стьюдента (см. приложение к учебникам статистики). Если tэмп<tкрит, то гипотеза H0 принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.

Рассмотрим пример использования t-критерия Стьюдента для несвязных и неравных по численности выборок.

Пример 1. В двух группах учащихся — экспериментальной и контрольной — получены следующие результаты по учебному предмету (тестовые баллы; см. табл. 1)

Таблица 1. Результаты эксперимента

Первая группа (экспериментальная) N1=11 человек

Вторая группа (контрольная)

N2=9 человек

12 14 13 16 11 9 13 15 15 18 14

13 9 11 10 7 6 8 10 11

Общее количество членов выборки: n1=11, n2=9.

Расчет средних арифметических: Хср=13,636; Yср=9,444

Стандартное отклонение: sx=2,460; sy=2,186

 

По формуле (2) рассчитываем стандартную ошибку разности арифметических средних:

Считаем статистику критерия:

Сравниваем полученное в эксперименте значение t с табличным значением с учетом степеней свободы, равных по формуле (4) числу испытуемых минус два (18).

Табличное значение tкрит равняется 2,1 при допущении возможности риска сделать ошибочное суждение в пяти случаях из ста (уровень значимости=5 % или 0,05).

Если полученное в эксперименте эмпирическое значение t превышает табличное, то есть основания принять альтернативную гипотезу (H1) о том, что учащиеся экспериментальной группы показывают в среднем более высокий уровень знаний. В эксперименте t=3,981, табличное t=2,10, 3,981>2,10, откуда следует вывод о преимуществе экспериментального обучения.

Здесь могут возникнуть такие вопросы:

 

1. Что если полученное в опыте значение t окажется меньше табличного? Тогда надо принять нулевую гипотезу.

2. Доказано ли преимущество экспериментального метода? Не столько доказано, сколько показано, потому что с самого начала допускается риск ошибиться в пяти случаях из ста (р=0,05). Наш эксперимент мог быть одним из этих пяти случаев. Но 95% возможных случаев говорит в пользу альтернативной гипотезы, а это достаточно убедительный аргумент в статистическом доказательстве.

3. Что если в контрольной группе результаты окажутся выше, чем в экспериментальной? Поменяем, например, местами, сделав средней арифметической экспериментальной группы, a — контрольной:

Отсюда следует вывод, что новый метод пока не проявил себя с хорошей стороны по разным, возможно, причинам. Поскольку абсолютное значение 3,9811>2,1, принимается вторая альтернативная гипотеза (Н2) о пре­имуществе традиционного метода.

б) случай связанных (парных) выборок

В случае связанных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t-критерия Стьюдента.

Вычисление значения t осуществляется по формуле:

(5)

где — разности между соответствующими значениями переменной X и переменной У, а d - среднее этих разностей;

Sd вычисляется по следующей формуле:

(6)

Число степеней свободы k определяется по формуле k=n-1. Рассмотрим пример использования t-критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

Если tэмп<tкрит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух независимых выборок. Для вычисления Fэмп нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая – в знаменателе. Формула вычисления критерия Фишера такова:

(8)

где - дисперсии первой и второй выборки соответственно.

Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение Fэмп всегда будет больше или равно единице.

 

Число степеней свободы определяется также просто:

k1=nl - 1 для первой выборки (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и k2=n2 - 1 для второй выборки.

Если tэмп>tкрит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.