Сделай Сам Свою Работу на 5

Идеального газа. Характеристики. Переменные Римана.





Уравнения одномерных нестационарных движений

Используя в качестве независимых переменных время и эйлерову координату , являющуюся одной из координат прямоугольной декартовой системы в случае движения с плоскими волнами или равную расстоянию от центра или оси симметрии в случае движений со сферическими или цилиндрическими волнами, запишем дифференциальные уравнения одномерных нестационарных движений газа в виде

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Здесь – плотность, – скорость (точнее, ее единственная ненулевая составляющая – проекция на ось ), – давление, – энтропия единицы массы газа, ν – параметр, характеризующий геометрию течения и принимающий значения 1, 2, 3 в случае движений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами соответственно. Уравнение (1.3) выражает условие адиабатичности изучаемых движений, а (1.4) – тот факт, что газ рассматривается как двухпараметрическая среда.

В частном случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями CV, CP энтропия может быть представлена в виде, где - показатель адиабаты Пуассона. Тогда соотношения (1.3), (1.4) заменяются одним уравнением: . Для реальных газов используют также эмпирические зависимости давления от плотности и энтропии вида , где - постоянная величина. В случае , процесс называется политропным, а показатель степени называется показателем политропы.



Отметим также, что при изучении волн давления в жидкостях часто пользуются уравнением состояния в форме Тэта: Например, для воды полагают , а считают постоянной.

Заменяя в уравнении (1.2) производную выражением , перепишем его в виде

(1.5)

Здесь и - это частные производные функции, стоящей в правой части равенства (1.4).

Систему уравнений (1.1), (1.3), (1.5) запишем в матричной форме:

 

(1.6)

где

 

Данная система представляет собой нормальную форму системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка относительно трех функций

Собственные значения матрицы А определяются из характеристического уравнения или

 

(1.7)

 

Раскрывая определитель, получаем

откуда сразу находим

. (1.8)

Умножим обе части равенства (1.6) на левый собственный вектор-строку , отвечающий собственному значению



Поскольку, по определению левого собственного вектора , то из последнего равенства получим

(1.9)

В рассматриваемом случае три собственных вектора отвечают различным собственным значениям, а потому образуют линейно независимую систему векторов. Это означает, что система уравнений (1.9) эквивалентна исходной системе (1.6).

Замечательной особенностью уравнений (1.9) является то, что в каждом из них участвуют производные только по одному направлению в плоскости . Действительно, при фиксированном значении индекса i , выражение

представляет собой производную вектор-функции по переменной t в направлении

(1.10)

Если система квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка относительно функций двух независимых переменных может быть приведена к такому виду, где каждое уравнение содержит производные только по какому-то одному направлению, то эта система называется гиперболической, а соответствующие направления – характеристическими. Интегральные кривые (векторные линии) поля характеристических направлений называются характеристиками рассматриваемой гиперболической системы уравнений.

Как показано выше, уравнения одномерных нестационарных движений идеального газа образуют гиперболическую систему.

Левые собственные векторы, отвечающие собственным значениям (1.8) матрицы A из (1.6), имеют вид

 

(1.11)

 

Подставляя (1.11) в (1.9), получаем характеристическую форму дифференциальных уравнений (1.6) одномерных нестационарных движений газа:

(1.12)

Учитывая тождество



эту систему можно переписать также в виде

(1.13)

Умножив правые и левые части равенств (1.13) на dt , представим их как уравнения в дифференциалaх:

при (1.14)

при

при

Таким образом, через каждую точку плоскости (t; x) проходят три характеристики. Энтропийные (контактные) характеристики описываются уравнением и совпадают с траекториями частиц газа в плоскости (t; x); звуковые (акустические) характеристики описываются уравнением либо . В дальнейшем для краткости будем называть эти характеристики соответственно C0 - , C+ - и C- - характеристиками.

Отметим, что каждому решению уравнений газовой динамики (1.6) отвечает своя сетка характеристик в плоскости (t; x) , поскольку характеристические скорости зависят от .

Рассмотрим частный случай – баротропное движение газа, когда давление представляется в виде функции только плотности: . Этот случай отвечает, например, изоэнтропическому течению, в котором и .

Тогда уравнение для энтропии использовать не нужно, а второе и третье равенства из системы (1.14) можно представить в виде

(1.15)

где

(1.16)

В дальнейшем (предполагая ) будем считать функцией скорости звука : . Введя обозначения , для величин, называемых правой и левой переменными Римана, получаем характеристическую форму уравнений одномерных нестационарных движений газа в переменных Римана:

(1.17)

Роли «неизвестных» функций здесь играют и , а скорость v частиц газа и скорость звука a через них выражаются:

(1.18)

Для изоэнтропического движения совершенного газа с постоянными теплоемкостями имеем

Выбирая аддитивную постоянную , получаем

(1.19)

Если рассматриваются одномерные бaротропные течения газа с плоскими волнами ( ), то правые части уравнений (1.17) обращаются в нуль. Это означает, что в данном случае величины r и l постоянны на C+- и на C-- характеристиках соответственно. Поэтому их называют также инвариантами Римана.

Пусть имеется некоторое решение уравнений одномерных нестационарных движений газа с плоскими волнами, в котором значение энтропии s постоянно. Рассмотрим другое, «возмущенное» решение, отличающееся от заданного в начальный момент t0 на некотором конечном интервале оси x . Тогда, в соответствии с вышесказанным, возмущения инварианта r будут переноситься по частицам вдоль C+ - характеристик (т.е. со скоростью звука - вправо), а возмущения инварианта l будут переноситься вдоль C- - характеристик (т.е. со скоростью звука - влево). Это означает, что интервал оси x , на котором два рассматриваемых решения различаются, с течением времени расширяется одновременно влево и вправо со скоростью звука (относительно частиц газа).

Заметим, что данный вывод справедлив лишь для непрерывных движений. В разрывных решениях уравнений газовой динамики, содержащих ударные волны, т.е. скачкообразные возмущения параметров газа, эти возмущения распространяются по частицам со сверхзвуковой скоростью (см. §4).

Слабые разрывы

 

Использование уравнений (1.1)-(1.4) для описания одномерных движений газа предполагает непрерывную дифференцируемость функций , , , . Вместе с тем, большой интерес представляют обобщенные решения уравнений газовой динамики. Структура этих решений следующая.

Область пространства, занятая движущимся газом, разбита на изменяющиеся со временем (вообще говоря) подобласти, в каждой из которых функции непрерывны вместе со всеми своими первыми частными производными. В то же время на поверхностях раздела этих подобластей либо сами указанные функции, либо какие-то их производные терпят разрыв. В первом случае границы раздела называются поверхностями сильного разрыва, а во втором – слабого разрыва.

Рассмотрим одномерное нестационарное движение газа, содержащее поверхность слабого разрыва Г . Закон движения этой поверхности представим в виде x = X(t) . Поскольку в точках, не принадлежащих Г , частные производные функций , , , удовлетворяют условиям (1.1) - (1.3), то в предположении, что на Г эти производные имеют, возможно, разрывы первого рода, а сами функции – непрерывны, из (1.1) - (1.3) получим

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Здесь квадратные скобки означают скачок заключенной в них величины при переходе через Г :

Воспользуемся характеристической формой (1.13) уравнений одномерных нестационарных движений. Тогда для скачков производных по времени и по координате от скорости v и давления p получим

(2.4)

(2.5)

С другой стороны, поскольку функции v(t, x) , p(t, x) , s(t, x) непрерывны, то их производные по t в направлении непрерывны на Г (приращения этих функций за одинаковые промежутки времени одинаковы в точках, лежащих на Г по разные стороны от этой поверхности ). Это означает, что

(2.6)

Выражая отсюда скачки производных по времени и подставляя их в (2.3)-(2.5), будем иметь

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Очевидно, что, если в левых частях этих равенств равны нулю одновременно все вторые сомножители, то никакого слабого разрыва нет: скачки всех производных равны нулю. Поэтому в одном и только в одном из равенств (так как a ≠ 0 ) должен обращаться в нуль первый сомножитель. В результате получим три возможных случая.

1)

2)

3)

Таким образом скорость слабого разрыва совпадает с одной из характеристических скоростей: v , (v+a) или (v-a). Поэтому в плоскости (t; x) траекторией поверхности слабого разрыва служит одна из характеристик

C0 , C+ или С- .

Слабые разрывы первого типа перемещаются вместе с частицами газа. Слабые разрывы второго и третьего типа движутся относительно газа со скоростью звука a в противоположных направлениях.

На графиках зависимости s, v , p , ρ от координаты x (в какой-нибудь фиксированный момент времени) слабым разрывам соответствуют точки излома: на слабых разрывах первого типа претерпевают скачок производные от s и ρ , а на остальных – производные от v , p и ρ .

Тот факт, что линия слабого разрыва в плоскости (t; x) совпадает с одной из характеристик уравнений газовой динамики, можно пояснить следующим образом.

Пусть известно решение в области по одну сторону от какой-либо характеристики C . Тогда по данным на этой характеристике невозможно однозначно восстановить значения производных от v , p , ρ в направлении нормали к линии C . Это означает, что продолжить решение в область, находящуюся по другую стороны от характеристики можно разными способами. В частности, для «продолженного» решения некоторые его производные могут иметь на линии C разрывы первого рода.

 

§ 3. Волны Римана. Градиентная катастрофа. Теорема о примыкании.

 

Рассмотрим баротропное ( p=p(ρ) ) движение газа с плоскими волнами ( ν=1 ), в котором один из инвариантов Римана, например l , постоянен во всем течении:

(3.1)

Тогда вдоль любой C+ - характеристики сохраняют постоянными свои значения и , то есть остаются постоянными скорость v и плотность ρ . Это означает, что на такой характеристике Поэтому в рассматриваемом течении все характеристики семейства C+ прямолинейны и вдоль каждой из них параметры газа постоянны. Течение такого типа называется простой волной, или волной Римана.

Изучим его подробнее. Будем предполагать, что различным C+ - характеристикам отвечают разные значения плотности ρ , а значит и разные v , a , r . Тогда рассматриваемое решение уравнений одномерного неустановившегося баротропного движения газа с плоскими волнами можно представить в неявном виде:

, , (3.2)

где f - произвольная, вообще говоря, функция.

Здесь в первом равенстве инвариант Римана l выражен в виде функции скорости v частиц и скорости звука a (для изоэнтропического движения совершенного газа с постоянными теплоемкостями соответствующее выражение приведено в (1.19)). Значение f1=f(v1) функции f(v) при любом v1 имеет смысл абсциссы точки пересечения с осью x той С+- характеристики, вдоль которой v ≡ v1 .

Задаваясь конкретным видом зависимости f(v) и разрешая (3.2) относительно v и a , можно получить явный вид решения:

Например, в случае f(v) ≡ 0 из равенств (см. (1.19))

следует

(3.3)

Одномерное изоэнтропическое течение совершенного газа, описываемое формулами (3.3), называется центрированной волной Римана, или центрированной простой волной (с центром в точке O(0;0) на плоскости независимых переменных (t; x) ). В этом решении все прямолинейные C+ - характеристики выходят из начала координат, причем моменту t = 0 отвечает особенность (неоднозначность) при x=0 .

Аналогично (если f(v) ≡ 0 ) можно построить решение в виде центрированной простой волны и в случае любой другой баротропной зависимости p(ρ) .

Выше были рассмотрены простые волны, распространяющиеся по частицам газа слева направо (в сторону растущих значений координаты x ). Таким волнам отвечает условие (3.1). Если же принять условие

(3.4)

то получим решение в виде волны Римана, распространяющейся по газу влево:

, , (3.5)

где g(v) - произвольная функция. Все определения и выводы, относящиеся к волнам Римана, бегущим вправо, переносятся также на волны, распространяющиеся влево.

При прохождении простой волны по частицам газа (а движется эта волна со скоростью звука) плотность и давление могут как увеличиваться, так и уменьшаться. В первом случае волна Римана называется волной сжатия, а во втором – волной разрежения.

Рассмотрим, например, волну сжатия, распространяющуюся по газу вправо. Ограничимся случаем совершенного газа с постоянными теплоемкостями. При переходе с одной C+ - характеристики на другую в сторону растущих значений x плотность ρ должна уменьшаться: ∂ρ/∂x < 0 (слева находится более плотный газ). Поскольку давление и скорость звука пропорциональны соответственно ργ и ρ(γ-1)/2 (причем γ >1 ), то изменения давления и скорости звука имеют такой же знак, как и изменения плотности, т.е. ∂p/∂x < 0 , ∂a/∂x < 0 . Далее, в силу равенства получаем ∂v/∂x < 0 . Таким образом ∂(v+a)/∂x < 0 , т.е. с ростом x (при фиксированном t ) угол между осью x и C+ - характеристиками растет. Это означает, что семейство прямолинейных C+ - характеристик образует сходящийся кверху веер (рис. ).

В случае волны разрежения, распространяющейся по газу вправо, знаки всех неравенств заменяются на противоположные. Получаем расходящийся кверху веер прямолинейных С+ - характеристик (рис. ).

Точно так же, если простая волна разрежения (сжатия) распространяется по газу влево, то прямолинейные С- - характеристики образуют расходящийся (сходящийся) кверху веер.

Отметим, что полученный для совершенного газа вывод переносится и на более общий случай нормального газа (определение нормального газа см., например, в /Черный, Овсянников/):

простая волна сжатия изображается в плоскости (x; t) веером сходящихся прямолинейных характеристик, а простая волна разрежения – расходящимся веером.

Поскольку в простой волне сжатия прямолинейные акустические характеристики, принадлежащие одному семейству, сближаются с ростом времени t , то неизбежно наступает момент пересечения этих характеристик. В таком случае говорят, что простая волна опрокидывается. Факт пересечения характеристик одного семейства означает, что в одной точке пространства одновременно наблюдаются, по меньшей мере, два различных значения плотности, давления и скорости. Действительно, в простой волне вдоль каждой прямолинейной характеристики эти параметры сохраняются, а при переходе с одной характеристики на другую их значения меняются. Если различные характеристики, принадлежащие одному семейству неограниченно сближаются, но градиенты плотности, давления и скорости газа возрастают до бесконечности (при этом сами значения ρ , v , p остаются ограниченными). Такое явление называется градиентной катастрофой. Опрокидывание волны Римана наглядно представлено на рис. , где показанa эволюция во времени графика зависимости давления p от координаты x в волне, распространяющейся по газу вправо. Моменты времени t1 , t2 , t3 , t4 упорядочены в возрастающем порядке, причем t3 как раз отвечает градиентной катастрофе (у графика появляется вертикальная касательная).

 

На самом деле в реальном течении газа неоднозначности в распределении плотности, давления или скорости быть не может. Поэтому градиентная катастрофа свидетельствует о неудовлетворительности принятой математической модели. Выходом из этой ситуации является рассмотрение обобщенных решений уравнений газовой динамики, содержащих поверхности сильного разрыва (см. § 4).

В задачах об одномерных нестационарных движениях газа типичной является ситуация, когда по однородному (покоящемуся либо движущемуся) газу распространяются возмущения, вызванные некоторыми определенными причинами. Рассмотрим случай непрерывного движения (без сильных разрывов).

Теорема о примыкании. Изоэнтропическое движение газа с плоскими волнами, непрерывно граничащее с постоянным течением и не являющееся таковым, есть простая волна.

Сначала докажем следующее утверждение.

Теорема.Если в непрерывном течении газа с плоскими волнами имеется прямолинейная акустическая характеристика с постоянными значениями скорости, плотности и давления вдоль нее, то по любую сторону от этой характеристики вблизи нее течение либо постоянно, либо является простой волной.

Доказательство.Пусть AB - отрезок прямолинейной акустической характеристики с постоянными значениями v , ρ , p , принадлежащей, например, семейству C+ . Поскольку s=s(ρ, p) , то на AB энтропия постоянна и в области Ωs плоскости (x; t), через которую проходят C0 - характеристики, пересекающие отрезок AB , течение является изоэнтропическим. С другой стороны, C- - характеристики, пересекающие отрезок AB , переносят одно и то же значение инварианта l (вдоль AB: l=const). Обозначим Ωl область, занятую такими характеристиками. Тогда в пересечении областей Ωs и Ωl движение газа представляет собой либо простую волну, распространяющуюся по газу вправо, либо однородный поток. Возможен случай, когда с одной стороны от AB находится однородный поток, а с другой – простая волна. В этом случае AB является линией слабого разрыва.

Если AB - прямолинейный отрезок C- - характеристики, рассмотрение проводится аналогично. Теорема доказана.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.