Решение вспомогательной задачи оптимального управления

Чистяков С.В., Ишханова М.В. Математические модели выбора налоговых шкал. СПб., 1998.

Естественно, что нумерация формул другая. Я только исправил те номера, где ссылка на формулы из моей книги. Кроме того, в приводимом фрагменте пособия функция выигрыша обозначена не через T, а через S.

Р.О. Смирнов.

Сергей Владимирович Чистяков,

Марина Владимировна Ишханова

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЫБОРА НАЛОГОВЫХ ШКАЛ

Учебное пособие

Зав. редакцией Г.Чередниченко

Редактор Ф. Бастиан

Техн. редактор Л.Иванова

Лицензия ЛР № 040050 от 15.08.96.

Подписано в печать с оригинала-макета 17.06.98. Ф-т 60 ´ 84 / 16.

Печать офсетная. Усл.печ.л. 3,02. Уч.-изд. л. 2,85.

Тираж 200 экз. Заказ №

Редакция оперативной подготовки

учебно-методических и научных изданий

Издательства Санкт-Петербургского университета.

199034, С.-Петербург, Университетская наб., 7/ 9.

Центр оперативной полиграфии

Санкт-петербургского университета.

199034, С.-Петербург, наб. Макарова, 6 .

Литература

1. Инструкция № 35 по применению закона Российской Федерации о подоходном налоге с физических лиц с изменениями и дополнениями. М.: Изд-во “Ось-89”, 1995. 96 с.

2. Your Federal Income Tax. Publication 17. IRS, 1990.

3. Львов Ю.А. Основы экономики и организации бизнеса. СПб.: ГМП “Формика”, 1992. 383 с.

4. Смирнов Р.О., Чистяков С.В. О ставках налогообложения как инструменте государственного регулирования // Экономика и мат. методы. 1993. Т.29. Вып.2. С. 268–274.

5. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.:Наука, 1969. 392 с.

7. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. 319 c.

8. Зангвил У.И. Нелинейное программирование: Единый подход: Пер.с англ. М.: Сов. радио, 1973. 312 с.

9. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 96 с.

Оглавление

Предисловие............................................................................................................ 3

§ 1. Класс допустимых налоговых шкал................................................... 4

§ 2. Функция распределения доходов и задача об определении суммы налога 8

§ 3. Теоретико-игровая модель выбора шкалы средних ставок налога. 13

§ 4. Вспомогательная задача оптимального управления: условие допустимости. 16

§ 5. Решение вспомогательной задачи оптимального управления.. 21

§ 6. Исследование теоретико-игровой модели....................................... 27

§ 7. Основные ограничения на выбор шкалы маргинальных ставок налога 31

§ 8. Восстановление таблицы налогов по оптимальной модельной шкале. 39

§ 9. Упражнения и задачи для самостоятельных исследований...... 44

Литература........................................................................................................... 50

С целью доказательства того, что в игре Г существует доминирующая стратегия 1-го игрока, запишем формулу (2.1.14) с учетом условий (2.1.17) в следующем виде:

, (2.1.21)

где .

Теперь рассмотрим “усеченную” антагонистическую игру , в которой множество стратегий 1-го (2-го) игрока совпадает с множеством всех функций, каждая их которых представляет собой сужение на промежуток той или иной функции , а функция выигрыша имеет вид

, .

Из определения игр и следует, что если будет доказано существование доминирующей стратегии 1-го игрока в игре , то стратегия такая, что

(2.1.22)

будет доминирующей стратегией 1-го игрока в игре . Эту стратегию естественно считать оптимальной модельной шкалой средних ставок налога при заданных параметрах , , , , .

Для доказательства существования доминирующей стратегии 1-го игрока в игре зафиксируем произвольную стратегию 2-го игрока и рассмотрим задачу на максимум функционала

, (2.1.23)

где .

Очевидно, что если будет доказано, что задача имеет решение, не зависящее от выбранной функции , то это решение будет доминирующей стратегией 1-го игрока в игре . Докажем это сначала в том случае, когда дифференцируема и имеет при почти всех положительную производную . В этом случае интеграл Стилтьеса сводится к обычному интегралу Римана:

.

Поэтому задача на максимум функционала (2.1.23) при ограничениях (2.1.15) – (2.1.17) равносильна следующей задаче оптимального управления:

, (4.6)

, (4.7)

(4.8)

,

, (4.9)

(4.10)

.

Выясним условия существования допустимого управления в этой задаче, а, следовательно, непустоты множества стратегий 1-го игрока в игре .[1] С этой целью сделаем в задаче (4.6) – (4.10) замену

, (4.11)

, (4.12)

, (4.13)

, (4.14)

. (4.15)

В результате этой замены задача (4.6) – (4.10) примет вид

, (4.16)

, (4.17)

, (4.18)

, (4.19)

(4.20)

.

Очевидно, что если будет установлено условие существования допустимого управления в задаче (4.16) – (4.20), то, пользуясь зависимостями (4.11) – (4.15) между функциями и параметрами этой задачи и функциями и параметрами задачи (4.6) – (4.10), будет установлено и условие существования допустимого управления в задаче (4.6) – (4.10).

Проинтегрируем уравнение (4.17) с начальным условием (4.19) для произвольного допустимого управления . В итоге получим

. (4.21)

Рассмотрим два постоянных управления

,

и, соответственно,

, .

Эти управления могут и не быть допустимыми. По формуле (4.21) найдем соответствующие им решения уравнения (4.17) с начальным условием (4.19)

, (4.22)

. (4.23)

Поскольку предполагается, что при почти всех , то для решений (4.21), (4.22) и (4.23) будет справедливо неравенство

.

Отсюда с учетом формул (4.22) и (4.23) при , получим

. (4.24)

Поэтому если здесь управление является допустимым в задаче (4.16) – (4.20), т.е. если , то должно выполняться неравенство

. (4.25)

Очевидно, верно и обратное, т.е. если справедливо это неравенство, то в задаче (4.16) – (4.20) существует допустимое управление. Действительно, с учетом формул (4.22) и (4.23) неравенство (4.25) может быть переписано в виде

, (4.26)

а это с учетом определения решений и , а также с учетом теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциального уравнения от параметров означает, что в задаче (4.16) – (4.20) существует, и при этом постоянное, допустимое управление , .

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Для того чтобы в задаче (4.16) – (4.20) существовало допустимое управление, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства (4.25).

Замечание 1. Если одно из нестрогих неравенств (4.25) выполняется как равенство, то, как следует из вывода этих неравенств, в задаче (4.16) – (4.20) существует единственное, с точностью до эквивалентности измеримых по Лебегу функций, допустимое управление. А именно этим единственным допустимым управлением будет постоянное управление , если как равенство выполняется левое из неравенств (4.25), и, соответственно, им будет постоянное управление , если как равенство выполняется правое из неравенств (4.25).

Замечание 2.Справедливо и обратное утверждение к утверждению, сформулированному в замечании 1. А именно если одно из постоянных управлений или является допустимым в задаче (4.16) – (4.20), то в первом случае левое из неравенств будет выполняться как равенство, а во втором, соответственно, правое из этих неравенств будет выполняться как равенство. Причем в обоих этих случаях других допустимых управлений, с точностью до эквивалентности измеримых по Лебегу функций, в задаче (4.16) – (4.20) нет.

Замечание 3.Если одно из нестрогих неравенств (4.25) выполняется как равенство, то с учетом замечания 1 одно из указанных в нем управлений и будет оптимальным (в силу единственности допустимого управления). В этом случае оптимальное управление, очевидно, не зависит от выбранной ранее функции .

В силу имеющихся связей (4.11) – (4.15) между задачами (4.6) – (4.10) и (4.16) – (4.20) из леммы 1 в качестве следствия получим следующее утверждение.

Лемма 2.Для того чтобы в задаче (4.6) – (4.10) существовало допустимое управление, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее неравенство:

. (4.27)

Значение этого условия в конечном итоге состоит в том, что оно позволяет проверить, корректно ли поставлена исходная задача о построении оптимальной налоговой шкалы. В частности, если для выбранных каким-то образом параметров , , , , неравенство (4.27) не выполняется, то необходимо скорректировать выбор всех или некоторых из этих параметров.

Решение вспомогательной задачи оптимального управления

Найдем теперь решение задачи (4.16) – (4.20). Тогда с учетом связи (4.11) – (4.15) между задачами (4.6) – (4.10) и (4.16) – (4.20) мы сможем найти и решение задачи (4.6) – (4.10). При этом нас будет интересовать не собственно само оптимальное управление в этой задаче, а соответствующее ему решение краевой задачи (4.7) – (4.10).

Для решения задачи (4.16) – (4.20) воспользуемся принципом максимума Л. С. Понтрягина. При этом отметим, что с учетом замечаний 1 и 3 достаточно рассмотреть только тот случай, когда оба неравенства (4.25) являются строгими.

Функция Гамильтона в задаче (4.16) – (4.20) имеет вид

, (5.1)

поэтому сопряженное уравнение, в свою очередь, выглядит следующим образом:

. (5.2)

В соответствии с принципом максимума можно утверждать, что для оптимального управления в задаче (4.16) – (4.20) найдется такая постоянная

(5.3)

и такое нетривиальное решение сопряженного уравнения (5.2), что для них и для решения уравнения (4.17), соответствующего оптимальному управлению , при почти всех справедливо равенство

,

которое в рассматриваемой задаче принимает вид

(5.4)

Отсюда видно, что если величина

(5.5)

знакоопределенная, то точка максимума функции, стоящей справа в равенстве (5.4), единственная и в силу того, что , эта точка совпадает либо с точкой , если величина (5.5) отрицательная, либо, соответственно, с точкой , если величина (5.5) положительная. Поэтому

(5.6)

Любое решение (4.21) однородного дифференциального уравнения (4.17) с начальными условиями (4.19) является положительным, поэтому положительным будет и любое решение краевой задачи (4.17) – (4.20). Следовательно,

, . (5.7)

Кроме того, в формуле (5.6)

, (5.8)

так как , а .

Поэтому из формул (5.6) и условий (5.7) и (5.8) следует, что

(5.9)

Для дальнейшего уточнения вида оптимального управления запишем решение сопряженного уравнения (5.2) по формуле Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка

, (5.10)

где

.

Заметим, что функция не является знакопостоянной на интервале . Действительно, если бы решение было знакопостоянным на этом интервале, то из формулы (5.9) следовало бы, что оптимальное управление либо имело бы вид

,

либо имело бы вид

,

а это в соответствии с замечанием 2 означало бы, что одно из нестрогих неравенств (4.25) должно выполняться как равенство. Это, однако, противоречит сделанному предположению, что оба эти неравенства строгие.

Обозначим выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части равенства (5.10). Так как функция тождественно не равна нулю и не является знакопостоянной на интервале , то теми же свойствами обладает и функция . Поэтому неравенство (5.3) должно быть строгим:

(5.11)

(в противном случае функция была бы тождественно равна постоянной ).

Поскольку ранее было сделано предположение о том, что при почти всех , то на основании неравенства (5.11) можно утверждать, что функция является возрастающей, а так как она к тому же не является знакопостоянной на интервале , то уравнение , а следовательно, и уравнение имеет на этом интервале единственное решение . В силу того что в точках , функции и имеют одинаковые знаки, при и при . Поэтому теперь можно уточнить, что формула (5.9) имеет вид

(5.12)

Для окончательного определения вида оптимального управления найдем точку его переключения . Поскольку для оптимального управления решение дифференциального уравнения (4.17) должно удовлетворять краевым условиям (4.19) и (4.20), то, зная вид оптимального управления, ясно, что для отыскания точки нужно:

1) найти соответствующее управлению решение уравнения (4.17) , которое удовлетворяет начальному условию (4.19);

2) найти соответствующее управлению решение уравнения (4.17) , которое удовлетворяет начальному условию (4.20);

3) решить относительно уравнение

. (5.13)

Решение этого уравнения и будет искомой точкой .

Интегрируя уравнение (4.17) при указанных управлениях и начальных условиях, получим

, (5.14)

. (5.15)

Подставляя эти формулы в формулу (5.13) и разрешая относительно полученное уравнение, найдем точку :

(5.16)

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Лемма 3.Если оба неравенства (4.25) выполняются как строгие, то в задаче (4.16) – (4.20) существует единственное, с точностью до эквивалентности измеримых по Лебегу функций, оптимальное управление, которое имеет вид (5.12), при этом точка переключения оптимального управления находится по формуле (5.16).

Из определения решений и уравнения (4.17) с учетом вида оптимального управления следует, что соответствующее этому управлению решение краевой задачи (4.17) – (4.20) имеет вид

а в явном виде в силу установленных формул (5.14) и (5.15)

(5.17)

Учитывая связь между задачей (4.16) – (4.20) и задачей на максимум функционала (4.6) при ограничениях (4.7) – (4.10), решение последней задачи найдем теперь по формуле

. (5.18)

Подставляя выражение (5.17) в формулу (5.18) и учитывая, что согласно формулам (4.13) – (4.15) , , , получим

(5.19)

где в соответствии с формулой (5.16)

(5.20)

.

Таким образом, нами доказана следующая лемма.

Лемма 4.Если оба неравенства (4.27) выполняются как строгие, то решение задачи на максимум функционала (4.1) при ограничениях (4.2) – (4.4) имеет вид (5.19), где точка находится по формуле (5.20).

Заметим, что указанное в лемме 4 решение не зависит от выбранной функции , причем эта лемма доказана здесь при дополнительном предположении о том, что функция дифференцируема и имеет при почти всех положительную производную.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: