Влияние постоянной силы на свободные колебания
Пусть, кроме силы упругости, на точку действует некоторая постоянная сила F (рис. 3). В этом случае основное уравнение динамики примет вид:
. (11)
Выбрав начало координат в положении равновесия –т. О, имеем: , где Δст – статическая деформация пружины под действием силы F.
С учетом этого уравнение (11) примет вид: . Но , тогда получим или
, (12)
где .
Сравнивая уравнения (4) и (12) видим, что они совпадают. Следовательно, совпадают и их решения. Таким образом, постоянная сила не изменяет характер колебаний точки, она лишь смещает центр колебаний в направлении действия силы на расстояние, равное статической деформации пружины.
По формуле (10): , учитывая, что , имеем . Если постоянная сила является силой тяжести, то и период колебаний можно найти по формуле: .
Замена системы упругих элементов одним – эквивалентным
Упругий элемент называется эквивалентным данной системе упругих элементов, если под действием одной и той же силы перемещения ее точки приложения совпадают.
а) Параллельное соединение упругих элементов с жесткостями с1 и с2 изображено на рис. 4 слева.
В положении равновесия сила F уравновешивается двумя силами Fу1 = с1 Δ и Fу2 = с2 Δ.
F = Fу1 + Fу2 = с1 Δ + с2 Δ = Δ(с1 + с2) (13)
У эквивалентного данной системе упругого элемента (рис. 4 справа) с жесткостью сЭ сила F уравновешивается одной силой
F = Fу = сЭ Δ (14)
Приравняв правые части формул (13) и (14), получим: сЭ = с1 + с2.
Из этой формулы видно, что в случае параллельного соединения упругих элементов жесткость эквивалентного упругого элемента больше жесткости любого из них.
б) Последовательноесоединение упругих элементов с жесткостями с1 и с2 изображено на рис. 5 слева.
Каждый из упругих элементов под действием силы F получит деформацию растяжения Δ1 = F/ с1 и Δ2 = F/ с2. Деформация эквивалентного упругого элемента под действием силы F равна Δ = F/сЭ. Жесткость эквивалентного упругого элемента найдем из условия равенства деформаций: Δ = Δ1 + Δ2, тогда F/ сЭ = F/ с1 + F/ с2. После несложных преобразований найдем
(15)
Из (15) видно, что в случае последовательного соединения упругих элементов жесткость эквивалентного упругого элемента меньше жесткости любого из них.
Затухающие колебания
в реальных условиях материальная точка, совершающая колебания, испытывает сопротивление движению, поэтому кроме восстанавливающей силы на нее действует сила сопротивления среды, направленная в сторону противоположную движению материальной точки (рис. 6).
Сопротивление воздуха при малых скоростях движения пропорционально первой степени скорости: . Выбрав начало координат в положении равновесия –т. О, запишем основное уравнение динамики в проекции на ось x: или . Отсюда получим
(16)
– это уравнение описывает движение точки под действием восстанавливающей силы с учетом сопротивления среды. Здесь обозначено , . Найдем корни характеристического уравнения , соответствующего уравнению (16):
. (17)
Если (случай малого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, и решение уравнения (16) имеет вид:
. (18)
В решении (18) обозначено: .
Взяв производную по времени от (18), и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С1 и С2.
Решение (18) можно записать в виде: . (19)
График функции (19) показан на рис. 7.
Из графика видно, что движение точки в этом случае носит колебательный характер. При этом максимальные отклонения точки от положения равновесия с течением времени убывают по экспоненте. Такие колебания называются затухающими. Функция (19) не является периодической, тем не менее, периодом колебаний в этом случае называют промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями точки от положения равновесия в одну сторону. Его можно найти по формуле
, (20)
где T – период соответствующих свободных колебаний. Из формулы (20) видно, что . Скорость убывания амплитуды колебаний характеризует коэффициент, называемый декрементом колебаний: . Этот коэффициент показывает, во сколько раз уменьшается максимальное отклонение точки от положения равновесия за один период.
13. Случай апериодического движения (n > k)
Если (случай большого сопротивления среды), то корни характеристического уравнения (17) являются действительными и отрицательными. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид:
. (21)
Взяв производную по времени от (21) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С1 и С2.
Сценарии развития событий в этом случае показаны на рис. 8.
Из графиков видно, что движение точки в этом случае носит не колебательный характер и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия: .
При этом кривая – 1 соответствует случаю, когда ; кривая 2 соответствует случаю, когда ; кривая 3 соответствует случаю, когда . Во всех трех примерах принято, что x0 > 0.
14. Случай апериодического движения (n = k)
Если (это также случай большого сопротивления среды), то корень характеристического уравнения (17) , то есть является кратным, действительным и отрицательным. решение уравнения (16) в этом случае имеет вид:
. (22)
Взяв производную по времени от (22) и использовав начальные условия, можно определить постоянные интегрирования С1 и С2. В этом случае, найдя предел по правилу Лопиталя, получим
.
Следовательно, и в этом случае движение точки носит неколебательный характер, и точка с течением времени асимптотически приближается к положению равновесия. Сценарии развития событий в этом случае такие же, как и на рис. 8.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|