Доказать чему равна работа внутренних сил, приложенных к твердому телу.

М₁ и М₂ - точки ТТ. Их силы взаимод., по III з-ну Ньютона, равны между собой и направлены по прямой М₁М₂ в противопол. стороны: .

Сум. элем. работ этих сил: . - единичный вектор, направл по направлению 1-ой силы. Тогда: .Используя эти соотношения, запишем:

. Проекции скоростей двух точек ТТ на направл. прямой, соед. эти точки, равны. Следовательно, скобка: . Поэтому сумма элемент., а следовательно, полных работ внутренних сил твердого тела равна нулю.

Дать определение кинетической энергии точки и механической системы. Сформулировать и доказать теорему Кенига.

- Мера движения материальной точки, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости, называется её кинетической энергией.

- Мера движения системы материальных точек, равная сумме кинетических энергия всех точек входящих в систему, называется ее кинетической энергией.

Абсолютное движение системы: переносное вместе с центром масс и относительное по отношению к центру масс.

Положение k-ой точки по отн. к О: (1). Дифференцирую (1) по t: , где: - абсолютная скорость k-ой точки системы, - абсолютная скорость ц. м., - относит. скорость k-ой точки относительно Сxyz. Поставим абсолютную скорость точки в уравнение: .

Получим: . Стат. момент массы мех. системы относит. ц. м. равен нулю: .

не зависит от индекса суммир., - масса системы, в итоге: .

Кинетическая энергия механической системы в её абсолютном движении равна сумме кинетической энергии центра масс, если в нём сосредоточить массу всей системы, и кинетической энергии системы в её движении относительно центра масс.

Доказать формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения.

Поступат.: скорости всех его точек одинаковы и равны скорости центра масс ТТ: .

Вращат.: скорость произвольной точки ТТ равна: , где - расстояние от точки до оси Оz. , где - момент инерции тела относит. оси вращения Оz.

Плоск.: рассм. такое движение, как совокуп. поступат. движения тела вместе с центром масс С и вращат. вокруг подвижной оси Сz, движущейся поступат. вместе с центром масс. Относит. скорость точки тела равна: . Подставив эту скорость в формулу Кенига: , получим: .

Сформулировать и доказать теорему о кинетической энергии материальной точки в различных формах.

Материальная точка массой m, движется под действием равнодействующей сил, которая равна . ДУ движения точки в векторной форме: или . Т.к. масса постоянна: (1). Умножим (1) скалярно на : (2). В левой части (2) внесем под знак производной: (3): производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности всех действующих на точку сил.

Умножая (3) на dt и заменяя : (4): дифференциал от кинетической энергии точки равен элементарной работе всех действующих на точку сил.

Интегрируя обе части (4) от положения М₀ до М, имеем: : изменение кинетической энергии точки при ее перемещении из одного положения в другое равно полной работе всех действующий на точку сил на этом же перемещении.

Сформулировать и доказать теорему о кинетической энергии механической системы различных формах.

Система N материальных точек. Масса k-ой точки - . К каждой k-ой точке системы (k = 1, 2, ..., N) прилож. равнодействующие внешних и внутренних сил.

ДУ движения: или (1). Т.к. масса постоянна внесём ее под знак производной и умножим (1) скалярно на : (2). Внося под знак производной, суммируем (2) по k и поменяем знаки суммир. и дифференцир. местами: или (2): производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех действующих на систему внешних и внутренних сил.

Умножим (2) слева и справа на dt и учтём, что : или (3): дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил.

Проинтегрируем обе части (3) от нач. положения системы до конеч., изменяя порядок суммир. и интегрир.: или : изменение кинетической энергии механической системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме полных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил на соответствующем перемещении.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: