Сделай Сам Свою Работу на 5

Закон сохранения механической энергии





Под механической энергией Е понимают сумму кинетической и потенциальной энергий, то есть Е=Т+П.

Пусть на механическую систему действует только консервативные внутренние и внешние силы. Тогда работа от консервативных внутренних сил , где - значения потенциальной энергии поля внутренних сил в начальном и конечном положениях механической системы.

Работа консервативных внешних сил , где -значения потенциальной энергии поля внешних сил в начальном и конечном положении механической системы.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме в этом случае принимает вид:

или

Это уравнение выражает закон сохранения механической энергии: “Если внешние и внутренние силы, действующие на механическую систему, консервативны, то полная механическая энергия этой системы остается постоянной за все время её продвижения”.

Механические системы, для которых справедлив закон сохранения механической энергии, называются консервативными.

Пример 1

Необходимо вычислить полную механическую энергию физического маятника весом в зависимости от угла отклонения φ (см. рис), если центр тяжести (т. С) отстоит от оси вращения маятника в т. О на расстояние l; момент инерции маятника относительно главной центральной оси инерции - .



Решение.

Механическая энергия маятника Е = Т + П. Здесь: Т – кинетическая энергия маятника, П – потенциальная энергия маятника.

Силой поля тяжести является сила P = mg. Поэтому

Кинетическая энергия маятника

По теореме Штейнера , поэтому

Тогда полная механическая энергия

Если маятник будет иметь угловую скорость в каком-нибудь положении, то в этом положении кинетическая энергия Т = 0 и Е = П.

Например при , φ = 0 , а при и

(cosπ = -1)

При и потенциальная энергия П = 0 , , а механическая энергия маятника при будет равна только кинетической энергии, то есть

При , и механическая энергия маятника Е = 0.

27. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.

1. При поступательном движении твердого тела дифференциальное уравнение движения можно получить с помощью теоремы о движении центра масс, или с помощью теоремы об изменении количества движения в форме производной, то есть



, или .

Проектируя эти векторные равенства на оси декартовой системы координат получим

(1)

Здесь проекции главного вектора на оси координат

Дифференциальные уравнения (1) точно такие же как для одной материальной точки, поэтому примеры их применения рассматриваться не будут.

2. При вращательном движении твердого тела дифференциальное уравнение движения можно получить с помощью теоремы об изменении кинетического момента на ось вращения (z) . Здесь: кинетический момент тела относительно оси вращения (z) , а проекция главного момента внешних сил на ось z.

. С учетом этого , откуда при или .

Пример 1.

На твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z действует пара сил с моментом , где A, k = const. Момент силы сопротивления пропорционален угловой скорости вращения этого тела, то есть

, где

Необходимо найти уравнение вращательного движения твердого тела, если ось вращения – главная центральная ось инерции и момент инерции тела относительно этой оси . В начальный момент времени тело находится в покое.

Решение.

В общем случае дифференциальное уравнение вращательного движения имеет вид

В данном случае дифференциальное уравнение имеет вид или

Если записать это уравнение следующим образом

, то становится очевидным, что полученное уравнение является линейным, неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Полное общее решение таких уравнений складываются из общего решения однородного дифференциального уравнения ,(2) соответствующего исходному, и частичного решения , удовлетворяющему уравнению ,(3).



Чтобы найти общее решение уравнения (2) составим характеристическое уравнение

Найдем его корни , и по корням характеристического уравнения запишем это общее решение

Так как правая часть уравнения (3) тригонометрическая функция, то частное решение будем искать в следующем виде:

От этого выражения найдем производные по времени, подставим их в уравнение (3), найдем значения параметров D и E:

 

 

, откуда

 

; .

 

Выделив параметры D и E, можем записать частное решение:

,

а также полное общее решение:

(4)

Чтобы определить постоянные интегрирования c1 и c2 надо:

 

- найти производную по времени от выражения (4):

(5)

- в равенства (4) и (5) подставить начальные условия при , ,

(6)

(7)

- из равенств (6) и (7) можно определить с1 и с2:

;

С учетом этого:

 

3. При плоско-параллельном движении твердого тела дифференциальные уравнения движения можно получить, применяя теорему о движении центра масс (приняв центр масс за полюс) и теорему об изменении проекции кинетического момента тела на ось, перпендикулярную к плоскости, параллельно которой движется тело и проходящую через его центр масс.

В этом случае:

(1)

Как правило, эта система уравнений не замкнута в том, что число неизвестных оказывается в больше числа уравнений. Поэтому к системе уравнений (1) приходится добавлять уравнения связей и кинематические зависимости между скоростями.

Катушка массой “m” катится под действием силы , направленной под углом α к горизонтальной оси x. Определить закон движения центра масс катушки, если известны радиусы r, R и ее момент инерции J относительно главной центральной оси инерции -

Решение.

Силы действующие на катушку показаны на рисунке. С учетом действия этих сил дифференциальные уравнения имеют следующий вид:

Эти дифференциальные уравнения должны быть дополнены уравнением связи и кинематическим соотношением , откуда .

С учетом этих соотношений:

=>

Умножив уравнение (1) на радиус R и сложив результирующее уравнение с уравнением (3) получим:

, откуда найдем

.

Интегрируя это уравнение два раза, найдем закон движения центра масс с точностью постоянных интегрирования:

(4)

При желании, используя уравнения (1), (2) и результат решения (4), можно определить силу трения Fтр. Если она получится отрицательной, то на расчетной шкале надо измерить ее направление на противоположное и снова решить поставленную задачу.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.