Дискретные случайные величины

Определение1: Случайная величина называется дискретной случайной величиной, если она принимает не более чем счетное число значений. Задание дискретной случайной величины по определению равносильно заданию закона распределения случайной величины в следующем виде:

Где

Следующее утверждение отражает связь между функцией распределения дискретной случайной величины и законом распределения случайной величины.

Утверждение 1: Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины взаимно однозначно определяют друг друга.

Непрерывные случайные величины

Определение 2: Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина - непрерывной случайной величиной, если для любого

,

где - интегрируемая по Лебегу функция. Функция называется плотностью распределения случайной величины .

Теорема 1: Для того чтобы случайная величина была непрерывной случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любого

(1)

Замечание 1: Из представления (1) видно, что функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной функцией.

Свойства плотности распределения:

1)

2) почти всюду.

3) для любых х, являющихся точками непрерывности плотности.

Теорема 2: Для того, чтобы функция p = p(x) была плотностью распределения некоторой случайной величины , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла свойствам 1) и 2) плотности.

19.Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Так как дискретная случайная величина имеет конечное или счётное множество значений, то их можно просто перечислить и указать соответствующие вероятности. Это можно сделать, например, в форме таблицы

где, - вероятность того, что X примет значение x .

Такую таблицу называют рядом распределения.

События … несовместимы и в результате опыта одно из них обязательно происходит. Из этого следует

Примеры дискретных сл.вел:

1). Индикатор события I. Эта случайная величина имеет закон распределения : Если вероятность появления события в некотором опыте равна p, то I принимает значение 1, если событие произошло, и значение 0, если событие не произошло. I можно назвать числом появлений события в одном опыте.

2). Гипергеометрический закон распределения. Возможные значения X: 0,1,…,n. И каждому значению X=m соответ­ствует вероятность P(X=m)=P = . Эта случайная величина, например, равна числу m бракованных изделий среди n взятых наугад из партии объёма N, содержащей M бракованных изделий.

3). Геометрический закон распределения.

X				…	n	…
P	p	qp		…		…

q=1-p

Если, например, p – вероятность изготовления бракованной детали, то случайная величина X с этим законом распределения будет равна общему числу деталей до момента изготовления первой бра­кованной детали.

Построение ряда распределения удобно лишь для дискретных случайных величин, так как можно перечислить их все возможные значения.

20.Биноминальное распределение.

Биномиальный закон распределения. Случайная величина может принимать значения 0,1,2,…,n и каждому значению X=m соответствует вероятность , где p+q=1. Этот закон распределения считается заданным, если известны числа n и p, через которые выражаются все вероятности. Случайную величину подчинённою этому закону можно назвать числом появле­нии события в n независимых опытах.

21.Распределение Пуассона.

Пуассоновский закон распределения. Случайная велbчина имеет возможные значения 0,1,2,3,…… и каждому значению Х=m со­ответствует вероятность ,где - некоторый параметр.

22.Числовые характеристики дискретных случайных величин.

а) Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности, т.е.:

или, если случайная величина может принимать счетное число значений, ,причем лишь в случае абсолютной сходимости ряда.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: