Сделай Сам Свою Работу на 5

Анализ вероятностных распределений потоков платежей





Зная распределение вероятностей для каждого элемента потока платежей, можно определить ожидаемую величину чистых поступлений наличности в соответствующем периоде, рассчитать по ним чистую современную стоимость проекта NPV и оценить ее возможные отклонения. Проект с наименьшей вариацией доходов считается менее рисковым. Однако, количественная оценка вариации напрямую зависит от степени корреляции между отдельными элементами потока платежей. Рассмотрим два противоположных случая:

-элементы потока платежей независимы друг от друга во времени (т.е. корреляция между ними отсутствует);

-значение потока платежей в периоде t сильно зависит от значения потока платежей в предыдущем периоде t-1 (т.е. между элементами потока платежей существует тесная корреляция).

Сначала рассмотрим первый случай – независимые потоки платежей.

В этом случае ожидаемая величина NPV и ее стандартное отклонение могут быть определены из следующих соотношений:

где - ожидаемое значение потока платежей в периоде t; - i –й вариант значения потока платежей в периоде t ; m – количество предполагаемых значений потока платежей в периоде t ; - вероятность i-го значения потока платежей в периоде t ; - стандартное отклонение потока платежей от ожидаемого значения в периоде t.



Пример. Проект требует первоначальных вложений в размере 10000 ден. ед. Предположим, что норма дисконта составляет 6%. Планируемый поток платежей по проекту характеризуется распределением вероятностей, приведенным в таблице.

 

Год 1 Год 2 Год 3
0,3 0,2 0,3
0,4 0,6 0,4
0,3 0,2 0,3

 

Определим чистую современную стоимость NPV и риск проекта. Расчеты дают: NPV = 2475,06 и s=2257,27. Зная их можно провести анализ вероятностного распределения будущего дохода, исходя из предположения о его нормальном распределении.

Определим P(NPV≤0)=0,14, следовательно вероятность получения положительного значения NPV будет равна: 1-0,14 = 0,86.

Аналогично могут быть определены вероятности получения других значений NPV.

 

Теперь рассмотрим второй случай – сильно зависимые потоки платежей.

В этом случае распределения элементов потока платежей будут одинаковы. Например, если фактическое значение поступлений от проекта в первом периоде отклоняется от ожидаемого на n стандартных отклонений, все остальные элементы потока платежей в последующих периодах будут также отклоняться от ожидаемого значения на эту же величину. Другими словами, между элементами потока платежей существует линейная зависимость. Такие потоки платежей называют идеально коррелированными. В этом случае формулы расчетов следующие:



Предположим, что в рассмотренном выше примере потоки платежей идеально коррелированные. Проведенные расчеты по указанным формулам дают: NPV=2475,06; s=3888. Из таблицы значений стандартного нормального распределения находим P(NPV≤0)=0,26.

Рассмотренные случаи имеют важное теоретическое и практическое значение. Однако, в реальной практике преобладает золотая середина, и между элементами потоков платежей обычно существует умеренная корреляция. В этом случае сложность вычислений существенно возрастает. Несмотря на то, что их реализация средствами EXCEL не представляет особого труда, методика проведения анализа рисков при существовании умеренной корреляции между элементами потока платежей требует предварительного рассмотрения понятия условной вероятности. В целом, применение этого метода позволяет получить полезную информацию об ожидаемых значениях NPV и чистых поступлений, а также провести анализ их вероятностных распределений. Вместе с тем использование этого метода предполагает, что вероятности для всех вариантов денежных поступлений известны либо могут быть точно определены. В действительности в некоторых случаях распределение вероятностей может быть задано с высокой степенью достоверности на основе анализа прошлого опыта при наличии больших объемов фактических данных. Однако чаще всего такие данные недоступны, поэтому распределения задаются исходя из предположения экспертов и несут в себе большую долю субъективизма.



 

Деревья решений

Деревья решений обычно используются для анализа рисков проектов, имеющих обозримое или разумное число вариантов развития. Они особо полезны в ситуациях, когда решения, принимаемые в момент времени t, сильно зависят от решений, принятых ранее, и свою очередь определяют сценарии дальнейшего развития событий. Дерево решений имеет вид нагруженного графа, вершины его представляют ключевые состояния, в которых возникает необходимость выбора, а дуги (ветви дерева) – различные события (решения, последствия, операции), которые могут иметь место в ситуации, определяемой вершиной. Каждой дуге дерева могут быть приписаны числовые характеристики, например, величина платежа и вероятность его осуществления.

Процесс принятия решений с помощью дерева решений в общем случае предполагает выполнение следующих пяти этапов.

Этап 1. Формулирование задачи. Прежде всего, необходимо отбросить не относящиеся к проблеме факторы, а среди множества оставшихся выделить существенные и несущественные. Это позволит привести описание задачи принятия решения к поддающейся анализу форме. Должны быть выполнены следующие основные процедуры:

определение возможностей сбора информации для экспериментирования и реальных действий;

составление перечня событий, которые с определенной вероятностью могут произойти;

установление временного порядка расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять.

Этап 2. Построение дерева решений.

Этап 3. Оценки вероятностей состояний среды, то есть сопоставление шансов возникновения каждого конкретного события. Следует отметить, что указанные вероятности определяются либо на основании имеющейся статистики, либо экспертным путем.

Этап 4. Установление выигрышей (или проигрышей, как выигрышей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) и состояний среды.

Прежде чем продемонстрировать процедуру применения дерева решений, нужно ввести ряд определений. В зависимости от отношения к риску решение задачи может выполняться с позиций, так называемых объективистов и субъективистов. Поясним эти понятия на следующем примере. Пусть предлагается лотерея: за 100 руб. (стоимость лотерейного билета) игрок с равной вероятностью p = 0,5 может ничего не выиграть или выиграть 1000 руб. Один индивид пожалеет и 100 руб. за право участия в такой лотерее, то есть просто не купит лотерейный билет, другой готов заплатить за лотерейный билет 500 руб., а третий заплатит даже 600 руб. за возможность получить 1000 руб. (например, когда ситуация складывается так, что, только имея 1000 руб., игрок может достичь своей цели, поэтому возможная потеря последних денежных средств, а у него их ровно 600 руб., не меняет для него ситуации).

Безусловным денежным эквивалентом (БДЭ) игры называется максимальная сумма денег, которую ЛПР готов заплатить за участие в игре (лотерее), или, что тоже, та минимальная сумма денег, за которую он готов отказаться от игры. Каждый индивид имеет свой БДЭ.

Индивида, для которого БДЭ совпадает с ожидаемой денежной оценкой (ОДО) игры, то есть со средним выигрышем в игре (лотерее), условно называют объективистом, индивида, для которого БДЭ не совпадает с ОДО, - субъективистом.

Ожидаемая денежная оценка рассчитывается как сумма произведений размеров выигрышей на вероятности этих выигрышей.

Например, для нашей лотереи ОДО = 0,5x0 + 0,5x1000 = 500 руб. Если субъективист склонен к риску, то его БДЭ > ОДО. Если не склонен, то БДЭ < ОДО.

Предположим, что решения принимаются с позиции объективиста. Рассмотрим процедуру принятия решения на примере следующей задачи.

 

Задача. Руководство некоторой компании решает, создавать ли для выпуска новой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент другой фирме. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния рынка (табл. 8.1). На основе данной таблицы выигрышей (потерь) можно построить дерево решений (рис. 8.1).

Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины дерева (при движении справа налево) ожидаемых денежных оценок, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение ОДО.

Определим средний ожидаемый выигрыш (ОДО):

для вершины 1 ОДО 1 = 0,5×200 000 + 0,5×(-180 000) = 10 000 дол.;

для вершины 2 ОДО 2 = 0,5×100 000 + 0,5×(-20 000) = 40 000 дол.;

для вершины 3 ОДО3 = 10 000 дол.

Вывод. Наиболее целесообразно выбрать стратегию a2, то есть строить малое предприятие, а ветви (стратегии) a1 и a3 дерева решений можно отбросить. ОДО наилучшего решения равна 40 000 дол. Следует отметить, что наличие состояния с вероятностями 50 % неудачи и 50 % удачи на практике часто означает, что истинные вероятности игроку скорее всего неизвестны и он всего лишь принимает такую гипотезу (так называемое предположение fifty – fifty – пятьдесят на пятьдесят).

 

Усложним рассмотренную выше задачу.

Пусть перед тем, как принимать решение о строительстве, руководство компании должно определить, заказывать ли дополнительное исследование состояния рынка или нет, причем предоставляемая услуга обойдется компании в 10 000 дол. Руководство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной информации, но оно поможет уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей.

Относительно фирмы, которой можно заказать прогноз, известно, что она способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода. Возможности фирмы в виде условных вероятностей предсказания благоприятности и неблагоприятности рынка сбыта представлены в табл. 8.2. Например, когда фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот прогноз оправдывается (с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия), прогноз о неблагоприятности рынка оправдывается с вероятностью 0,73.

Предположим, что фирма, которой заказали прогноз состояния рынка, утверждает:

ситуация будет благоприятной с вероятностью 0,45;

ситуация будет неблагоприятной с вероятностью 0,55.

На основании дополнительных сведений можно построить новое дерево решений (рис. 8.2), где развитие событий происходит от корня дерева к исходам, а расчет прибыли выполняется от конечных состояний к начальным.

Анализируя дерево решений, можно сделать следующие выводы:

необходимо проводить дополнительное исследование конъюнктуры рынка, поскольку это позволяет существенно уточнить принимаемое решение;

если фирма прогнозирует благоприятную ситуацию на рынке, то целесообразно строить большое предприятие (ожидаемая максимальная прибыль 116 400 дол.), если прогноз неблагоприятный – малое (ожидаемая максимальная прибыль 12 400 дол.).

Пример. Рассматривается двухлетний контракт, требующий первоначальных вложений в объеме 200000 ден.ед. Согласно экспертным оценкам приток средств от реализации проекта в первом году с вероятностью 0,3 составит 80000 ден.ед.; с вероятностью 0,4 – 110000 ден.ед. и с вероятностью 0,3 – 150000 ден.ед. Притоки средств во втором периоде зависят от результатов, полученных в первом периоде (см. таблицу). Предположим, что норма дисконта равна 12%. Построить дерево решений для оценки риска.

 
0,2 0,3 0,1
0,6 0,4 0,8
0,2 0,3 0,1

 

Представим дерево решений:


А соответствующие расчеты NPV приведены в таблице:

 

Путь
-96680 0,06 -5800,80
-48860 0,18 -8794,80
-9010 0,06 -540,60
0,12 220,80
0,16 2844,80
0,12 3090,00
0,03 1844,10
0,24 22404,00
0,08 3756,90
E(NPV)=         19024,40

Значения были рассчитаны исходя из дисконтных множителей, равных 0,893 для первого и 0,797 для второго периода соответственно, т.е.

Значения представляет собой совместные вероятности двух событий, т.е. вероятности того, что произойдет и событие 1 и событие 2:

Поскольку суммарная ожидаемая NPV положительна, при отсутствии других альтернатив проект можно принять. В общем случае предпочтение следует отдавать проекту с большей ожидаемой NPV.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.