Сделай Сам Свою Работу на 5

ИДЕЯ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ





Рассмотрим идею проверки статистической гипотезы на примере. Пред­положим, психолог решил проверить пригодность разработанных ранее норм для имеющегося в его распоряжении теста интеллекта. Прежний норматив­ный показатель А = 10. На новой выборке численностью N = 100 человек он получил следующие результаты: М— 10,6; а = 3.

Различия действительно обнаружены. Но интуитивно понятно, что такой результат может быть получен случайно, даже если в действительности (в ге­неральной совокупности) различий нет, как и наоборот, когда различия на самом деле существуют. Поэтому точный ответ в отношении генеральной со­вокупности по результатам выборочного исследования получить невозмож­но. Но методы статистики, как уже отмечалось, позволяют оценить вероят­ность случайного получения такого различия при условии, что различий на самом деле в генеральной совокупности нет (верна Н0).

В нашем примере Н0: МХ=А, то есть проверяется гипотеза, что среднее ге­неральной совокупности М, из которой извлечена выборка, равно А = 10. Предположим, что выборка одного и того же объема N извлекается из такой совокупности многократно. И каждый раз вычисляется выборочное среднее значение Мх. После многократного проведения таких опытов можно постро­ить распределение выборочных средних значений. Понятно, что выборочные средние чаще будут близки к А = 10, но иногда более или менее существенно отличаться от 10. Оказывается, что форма выборочного распределения для данного случая, как и для многих других, известна заранее (поэтому они на­зываются теоретическими распределениями). Одна из основных теорем стати­стики — центральная предельная теорема — гласит, что распределение сред­них значений выборок, извлекаемых из одной и той же совокупности при достаточно большом /^соответствует нормальному распределению. Среднее значение всех выборочных средних будет равно среднему значению совокуп­ности (в данном случае — А = 10), а дисперсия выборочных средних составит величину т2 = о2/И, где ох2 — дисперсия совокупности, N — объем каждой выборки (т еще называют ошибкой среднего).



Таким образом, заранее известно распределение средних для случая, когда верна Н0. Это распределение позволяет определить, насколько вероятно то или иное случайное отклонение выборочного среднего от А — среднего в ге­неральной совокупности. Например, из свойств нормального распределения мы знаем, что примерно 68% площади под кривой нормального распределе­ния находится в диапазоне ± о от среднего значения. Следовательно, 68% всех выборочных средних будет находиться в диапазоне А ±т. Вероятность того, что выборочное среднее случайно попадет в этот диапазон составляет 0,68, а вероятность того, что оно будет отличаться от А больше чем на 1 т составляет 1 — 0,68 = 0,32. Аналогичным образом мы можем определить, насколько веро­ятно получение данного конкретного (или большего) отклонения выбороч­ного среднего от А при условии истинности Н0.



Для нашего примера необходимо сначала определить, насколько выбороч­ное среднее отличается от А в единицах стандартного отклонения, то есть оп­ределить соответствующее ^-значение:

Формулы, подобные 7.1, позволяют получить так называемое эмпиричес­кое значение критерия для соответствующего теоретического распределения (в данном случае формула 7.1 позволяет вычислить эмпирическое значение I-критерия — для нормального распределения). Подставляя выборочные зна­чения, получаем г = 2. По таблице параметров нормального распределения можно определить, что в диапазоне ±2 находится 0,954 всей площади под кри­вой. В соответствии с интерпретацией единичной нормальной кривой, этой площади соответствует вероятность того, что случайное отклонение от 0 бу­дет меньше г — ±2. А для нашего случая найденная площадь соответствует ве­роятности того, что случайное отклонение выборочного среднего значения будет меньше ±{МХ — Л) = ±0,6. Соответственно, вероятность случайного от­клонения выборочного среднего от генерального среднего на 0,6 и больше определяется площадью в «хвостах» под кривой нормального распределения — за пределами найденного диапазона (рис. 7.1). Следовательно, вероятность того, что данная выборка принадлежит генеральной совокупности со сред­ним А (то есть, что верна Н0), составляет/7= 1 — 0,954 = 0,046. Это и есть веро­ятность того, что данный выборочный результат мог быть получен случайно, когда на самом деле в генеральной совокупности верна Н0 или то, что называется р-уровнем значимости.



Следует отметить, что выборочное распределение средних значений соот­ветствует нормальному виду, если 100. Для выборок меньшего объема рас­пределение средних начинает зависеть от объема выборок (точнее — от числа степеней свободы, с1/) и соответствует другому теоретическому распределе-

Рис. 7.1. Выборочное распределение средних значений для верной Н0

 

нию — /-Стьюдента. Тем не менее, общая последовательность проверки ста­тистической гипотезы остается той же, как, впрочем, и для любого другого случая. Сначала вычисляется соответствующее эмпирическое значение:

I М - АI

'•-ЦЖ-<7'2)

Затем вычисленное эмпирическое значение сопоставляется с теоретичес­ким /-распределением для соответствующего числа степеней свободы с1/. Это позволяет определить ^-уровень — вероятность того, что выборка принадле­жит генеральной совокупности, для которой верна нулевая гипотеза Н0: М=А.

Таким образом, в основе статистической проверки гипотез лежит представ­ление о теоретическом распределении выборочной статистики — для условия, когда в генеральной совокупности верна нулевая статистическая гипотеза. В исследовании Арбутнота в качестве теоретического выступало биномиаль­ное распределение для Н0: Р = '/2, а в нашем примере — распределение выбо­рочных средних для известной нулевой гипотезы (2-распределение для боль­ших Л^и /-распределение для малых /V). В процессе проверки статистической гипотезы определяется /7-уровень значимости (вероятность того, что нулевая статистическая гипотеза верна) путем соотнесения эмпирических значений выборочных статистик (например, разности средних) с теоретическим рас­пределением, соответствующим нулевой статистической гипотезе.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.