Пример исследование производственной системы

Рассмотрим решение задачи построения траектории на основе полученных знаний о преобразовании Лапласа и передаточных функций. В качестве моделируемой системы возьмем некоторое производство, которое из поступающего сырья производит два вида продукции. При производстве продукции первого типа сырье подвергается двум переделам, а второго - одному. Из единицы сырья продукции первого типа получается 5 в некоторых единицах, а второго - 7. Сырье распределяется поровну для двух видов продукции. Длительность производственного процесса для первого типа продукции в первом переделе составляет 3, а во - втором - 6. Для второго типа продукции это составит 9. Сырье на вход всей системы подается с интенсивностью 4 в течение двух первых единиц времени. Требуется найти траекторию выхода продукции каждого типа. Указанных данных достаточно для того, чтобы представить структурную схему системы.

V₂

^0.5 3р+1

U

Рис. 13

Матричная передаточная функция состоит из двух компонент K₁(p)=0.5*(5/(p+1))*(1/(2p+1)) и K₂(p)=0.5*(7/(3p+1)). Входной сигнал представляется собой разность единичных функций, причем та которая вычитается, сдвинута на 2 ед. времени, т.е. u(t)=4*(1(t)-1(t-2)). Изображение входного сигнала имеет вид: u^*(p)=4(1-e^-2p). Таким образом, v^*₁(p)=K₁(p)*u(p)=(1-e^-2p)*10/((p+1)*(2p+1)) ( далее мы рассмотрим лишь более сложную задачу - нахождение v^*₁(t)). Для решения задачи нахождения обратного преобразования Лапласа существует несколько методов. Мы используем метод проверок. Он состоит в том, чтобы выразить обращаемую функцию так, чтобы она состояла из частей, в которых можно узнать известные преобразования Лапласа (публикуются специальные таблицы преобразований Лапласа). Для использования метода применяется следующая теорема.

Т е о р е м а. Пусть N(p)/D(p) правильная дробь³¹ и многочлены N(p) и D(p) не имеют общих корней (взаимно просты). Тогда исходная дроь может быть представлена в виде суммы элементарных дробей, соответствующих корням p_k кратности m_k многочлена D(p) следующим образом:

Для нахождения коэффициентов b_kj существует несколько методов. Мы рассмотрим метод неопределенных коэффициентов. Надо умножить обе части вышеприведенного равенства на D(p) и

³⁰ Напомним, что периодическая функция представляется рядом Фурье, который представляет из себя сумму не более чем счетного числа синусов и косинусов разного периода, а непериодическая функция представляется интегралом Фурье, где период у подынтегральных тригонометрических функций меняется непрерывно.

³¹ Рациональная дробь называется правильной, если степень ее числителя меньше степени знаменателя.

приравнять коэффициенты при одинаковых степенях p в обеих частях. В результате получится система линейных уравнений, которую надо разрешить относительно b _kj. Рассмотрим дробь 1/((p+1)*(2p+1). Применительно к нашему случаю получаем: 1=b₁(2p+1)+b₂(p+1). Отсюда также получаем следующую систему линейных уравнений:

2b₁+b₂=0 b₁+b₂=1.

Эта система имеет следующее решение: b₁= - 1, b₂=2. Таким образом, мы можем записать ^v1^{* ( p) = 10(}_{2 p}²₊₁ ⁻ _p¹₊₁^{) −10e−2 p (} _{2 p}²₊₁ ⁻ _p¹₊₁^).

Как следует из более раннего v₁(t)=10*(f(t)-f(t-2)), где

материала, 2/(2p+1)↔2(1-e^-t/2), 1/(p+1)↔(1-e^-t). Таким образом,

Помимо того, что знание передаточной функции системы дает возможность найти решение основной задачи исследования динамических свойств - построения семейства траекторий, при помощи передаточной функции оказывается также возможным исследовать ряд вопросов устойчивости и точности линейных динамических систем.

Известно, что для устойчивости системы необходимо, чтобы корни знаменателя передаточной функции имели отрицательные действительные части или, в постановке (1), чтобы действительные части собственных значений матрицы А были отрицательны. В этом случае можно показать, что свободный отклик системы дифференциальных уравнений (1) будет стремится к нулю с ростом времени [ 3].

В соответствии с известной в операционном исчислении теоремой о предельном значении, установившееся значение выхода совпадает со значением в нуле изображения выхода, т.е. v_уст=K(0)u_уст, где v_уст и u_уст есть v^*(0) и u^*(0) соответственно. При исследовании точности системы в качестве u рассматривается возмущающее воздействие. Устранение установившегося отклонения можно достичь “обнулением” K(0). Есть два пути реализации этого- введение в обратную связь интегрирующего звена и введение компенсирующего воздействия по возмущению [3].

Комплексное число К(iω) называют комплексным коэффициентом усиления, а его абсолютную величину A(ω) = |К(iω)|- амплитудной характеристикой системы. Она показывает, во сколько раз увеличивается или уменьшается амплитуда синусоидального входного сигнала с частотой ω. Некоторые системы резко уменьшают амплитуды сигналов, частоты которых принадлежат определенной полосе. В этом случае говорят, что система не пропускает сигналов (возмущений), соответствующих этим частотам.

В качестве примера рассмотрим инерционное звено. Его передаточная функция K(p)=1/(Тр+1). Комплексный коэффициент усиления K(iω)=1/(1+iTω)=(1-iωT)/(1+ω²T ²). Амплитудная характеристика А(ω ) = |K(iω)|=√[(1+ω²T²)/(1+ω²T²)²]= 1/√(1+T²ω²). Отсюда видно,что чем больше частота,тем меньшеамплитуда выходного сигнала. Инерционное звено не пропускает высокочастотных возмущений, т. е. возмущений, имеющих малый период повторяемости. К этой категории относятся обычно мелкие

T ^dv_dt + v = u,

T ( pv *−pv(−0))+ v*= u*, v*=(u *+Tpv(−0)) _Tp¹₊₁,

неполадки, возникающие в процессе производства.

Выше начальные условия принимались нулевыми. Как быть, если это не так? Рассмотрим конкретный пример.

Но это соответствует следующему соединению:

Рис. 14

Таким образом, для учета ненулевых начальных условий можно добавить дополнительные входные постоянные воздействия, пропущенные через дополнительные звенья. Посмотрим теперь, что может означать в изображении выхода дополнительное слагаемое

Перейдя к оригиналу мы получаем следующую добавку к выходному сигналу:

Но эта добавка, первоначальная величина которой определяется начальным состоянием v(-0) быстро убывает (экспоненциально) с ростом времени. Это подтверждает сделанное выше высказывание, что в устойчивой системе (таковым является и инерционное звено) с ростом времени быстро пропадает зависимость от начального состояния.

2) Дискретные динамические системы

Ранее уже говорилось об аналогии в описании и анализе динамических систем в непрерывном и дискретном времени. В частности, стационарные линейные системы в дискретном времени описываются системой разностных уравнений вида:

сначальными условиямиv^r(0)= c^r.

Подстановкой легко убедиться, что решение соответствующей однородной системы (т.е. когда Bu(t)=0,

i =0

На основе полученного решения можно рассчитать траекторию системы³². Кроме того, оно позволяет нам решить вопрос относительно устойчивости системы. Как говорилось выше, решение неоднородной системы уравнений складывается из свободного отклика (в данном случае A^tv(0)) и вынужденного отклика, конкретный вид которого определяется управляющим воздействием. Можно показать, что если собственные значения матрицы А или, что то же самое, корни λ₁,…,λ_n ее характеристического полинома |A-λI|, лежат внутри единичного шара, то с ростом t матрица A^t стремится к нулевой матрице (аналогично членам геометрической прогрессии), т.е. при больших t влияние начального состояния становится пренебрежимо малым. Это говорит о том, что система является устойчивой.

Выше говорилось, что систему дифференциальных уравнений высокого порядка можно привести к системе первого порядка вида (1). Аналогично можно систему разностных уравнений высокого порядка свести к системе уравнений первого порядка вида (5). Это обеспечивает единообразие в формулировке задачи и получения ее решения. Однако, в том простом случае, который мы рассмотрим ниже, нам удобнее будет работать с системой высокого порядка. Ниже будут рассматриваться только конечно-разностные уравнения вида

v_t=a₁v_t-1+a₂v_t-2+ u(t),

т. е. линейные конечно-разностные уравнения второго порядка. Они называются однородными, если u(t) = 0 при любых t, неоднородными — в противном случае.

³² Также как и линейные системы с непрерывным временем линейные системы с дискретным временем можно исследовать с помощью изображений. Соответствующее преобразование для перехода к изображениям называется z-преобразованием.

характеристического уравнения (9).

Рассмотрим возникающие при этом случаи.

а) D > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня. Решение описывается равенством (10); если оба корня положительны, то обе компоненты решения — монотонные геометрические прогрессии. Если имеются отрицательные корни, то каждому из них отвечает знакочередующаяся составляющая решения (10).

б) D =0. Характеристическое уравнение имеет совпадающие вещественные корни, и решение имеет вид (11).

в) D <0. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней:

λ_1,2=α ± iβ.

Равенство (10) при этом справедливо. Рассмотрим представление корней в тригонометрической (экспоненциальной) форме:

λ_1,2= ρ(cosω ± i sinω)= ρe^±iω ,

гдеρ = λ₁= λ₂= λ₁λ₂= α²+ β ²;tg ω = _α^β .

Подставляя эти корни в (10), получим:

³³ Покажем , что в левой части уравнения стоит характеристический полином |A-λI|. Действительно, используем обозначение v₁(t)=v_t и подстановку v₂(t)=v₁(t-1), которую также используем в качестве дополнительного уравнения. Тогда систему разностных уравнений второго порядка можно представить следующей системой разностных уравнений первого порядка:

Т.о. корни рассматриваемого характеристического уравнения являются собственными значениями матрицы А.

v_t = ρ^t (A₁e^iωt + A₂e^−iωt )= ρ^t ((A₁+ A₂)cosωt +i(A₁− A₂)sinωt).

Поскольку, как не трудно убедиться, и действительная и мнимая части полученного решения удовлетворяют системе (8), а нас интересует лишь действительное решение, то линейная комбинация действительной и мнимой частей (действительная), также будет решением:

где B₁ и B₂ — постоянные, для определения которых как раз достаточно начальных условий v(0) и v(1). Таким образом, при D < 0 решение носит характер колебаний, амплитуда которых возрастает

(при ρ > l) или убывает (при ρ < l); если частота выражена в радианах, то период колебаний Т = 2π/ω. На рисунке парабола АОВ, описываемая уравнением a₁²+4a₂=0, соответствует случаю D=0.

Выше параболы располагается область, соответствующая случаю D > 0, ниже — случаю D <0. Решение называется устойчивым, если v_t —> 0 при t —> ∞; в противном случае оно называется

неустойчивым. Равенства (10) и (11) показывают, что решение будет устойчивым в том и только том случае, если оба корня характеристического уравнения по модулю меньше единицы.

В случае D=0(на параболе)характеристическое уравнение имеет лишь кратный кореньa₁/2,поэтому условием устойчивости является |a₁|<2.

В случае D < 0(ниже параболы)условию устойчивости соответствуетρ<1,так какρ=|λ₁| =|λ₂|=√(λ₁λ₂) и по теореме Виета это равно √(-a₂), то необходимым и достаточным условием устойчивости является

Это справедливо, если и только если взять наиболее ограничивающее из полученных неравенств, т.е. ⇔

a₁²+4a₂<2−| a₁|,⇔ a₁²+4a₂<4−4 | a₁|+a₁²

⇒ a₂<1−| a₁| & | a₁|<2.

Мы получили область над параболой и ограниченную треугольником АСВ. Убедимся, что последние полученные условия являются также и достаточными:

Полученным необходимым и достаточным условиям отвечают точки внутри треугольника АСВ на рисунке. Это множество можно описать и с помощью следующего двойного неравенства:

Подводя итог анализа устойчивости для всех 3-х случаев (D=0, D<0, D>0), следует сказать, что при выполнении условий (14), которым отвечают внутренние точки треугольника АСВ, система устойчива. Справедливо и обратное утверждение.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: