Статические и динамические системы

В ряде модельных представлений указывается лишь одномоментное соотношение между переменными системы - другими словами, когда понятие времени вообще отсутствует. Такие системы называют статическими. Рассмотренные выше системы типа “вход - выход” относятся к статическим.

Рассмотрим пример упрощенной транспортной модели. Пусть имеется m фабрик, выпускающих некую продукцию, которая поставляется на n складов. Объем производства i- й фабрики в единицу времени равен a_i, i=1, 2, . . . , m, а неизвестный объем потребления с j-го склада в единицу времени есть b_j , j=1, 2, . . . , n. Обычно предполагается,что продукция перевозится полностью и на складах необразуется запасов. Если обозначить через u_ij количество продукции, которое перевозится в единицу времени с i- й фабрики на j- й склад, то рассматриваемую задачу можно сформулировать следующим образом:

∑u_ij= a_i , i=1, . . . ,m;	∑u_ij = b_j , j=1, . . . , n; a_i, b_j, u_ij ≥ 0 ∀ i, j.
j	i
Её также можно изобразить графически следующим образом.
	b
u

Рис.1 Если задаться критерием качества, то такую систему можно рассматривать как систему

оптимального управления. Введем стоимость c_ij перевозки единицы продукции i- й фабрики на j-й склад. Пусть она считается известной и не зависящей от общего объема перевозок. Тогда критерием качества управления можно взять, например,

∑∑c_ij u_ij,

i j

и считать входом управления вектор u. Таким образом, приняв в качестве условия оптимальности минимизацию этого критерия, мы приходим к задаче математического (линейного) программирования. Более конкретно – это закрытая транспортная задача. Этот тип задач рассматривался в курсе “Математические методы экономики” и мы на них останавливаться не будем.

Реально значения на выходе экономической системы зависят не только от входа. К модели необходимо добавить описание промежуточного состояния системы, которое характеризовало бы состояние экономики к рассматриваемому моменту времени (своего рода память). Рассмотренная модель транспортной системы не имеет памяти, поскольку в ней выход в любой момент времени определяется только входом в этот же момент. Вернемся к транспортной системе и модернизируем ее.

Весьма распространенным при рассмотрении экономических систем является понятие периода планирования,т.е.интервала времени,за который поступает отчетность и в течение которого надлежитпринимать решения. Выберем такой масштаб времени, что этот интервал будет равен единице. При статическом описании мы фактически допускали, что a_i, b_j, c_ij одни и те же в каждом периоде, и что вследствие согласованности производства и потребления создание запасов невозможно. Переформулируем исходную задачу таким образом, чтобы избавиться от этих ограничений. Обозначим через x_i(k) и y_j(k) количество запасов продукции, которое имеется на i- й фабрике и на j- м складе, соответственно, в начале интервала времени [k,k+1), а через u_ij(k) – количество товара, которое перевозится с фабрики i на склад j на интервале [k,k+1). Тогда

x_i(k+1)= x_i(k)+a_i(k)- ∑_ju_ij(k) , i=1, . . . , m, k=0, . . . ,N,

y_j(k+1)=y_j(k)- b_j(k) +∑ u_ij(k) , j=1, . . . , n, k=0, . . . , N.

Здесь внутреннюю структуру характеризуют переменные состояния x_i(k), y_j(k), которые содержат информацию о предыдущем поведении системы. Поведение системы в будущем полностью определяется заданием этих величин и входных переменных u_ij(k) при известных начальных условиях x_i(0), y_j(0)∀i,j . Таким образом,в описании системы фигурирует время.Такие системы называют динамическими.Рассмотренное в предыдущем разделе представление систем в пространстве состоянийявляется их “динамическим” описанием. Вообще особенность динамических систем заключается в том, что они включают не только скорости изменений, но и различного рода запаздывания (в их описании используются не только моменты времени k+1, но и k, k-1 и т.д).

Графически нашу систему можно изобразить следующим образом.

	СУ
u


x, y
a,b	y

Рис.2 Для того, чтобы перейти к рассмотрению задачи оптимального управления, введем понятие

относительных затрат α_i(k) и β_j(k) на хранение единицы продукции. Тогда в качестве критерия качества управления можно взять значение полной суммы издержек:

N m n m n

∑(∑α_i(k)x_i(k)+∑β_j(k)y_j(k) + ∑ ∑c_ij(k)u_ij(k))
k=1 i=1	j=1	i=1 j=1

и принять в качестве условия оптимальности минимальное значение этого критерия. Теперь управление должно выбираться с учетом запасов, т.е. появляется обратная связь.

Приведенная здесь система уравнений называется конечно-разностной т.к. их разности конечны. Поскольку значения аргумента здесь дискретны, то такая система относится к классу дискретных динамических систем.

Рассмотренные выше системы относится к классу динамических систем с дискретным временем (дискретная система). Но эти же задачи можно переформулировать в виде гладкой (непрерывной)

динамической системы. Рассмотрим транспортную задачу в непрерывном времени.
x_i (t +	t)= x_i (t)+ a_i (t)	t −∑u_ij (t)	t,i =1,..., m,t ∈[0,T ]
		j
y _j (t +	t)= y _j (t)− b _j (t)	t +∑u_ij (t)	t, j =1,..., n,t ∈[0,T ]
		i

Перенеся x_i(t) и y_j(t) в левую часть системы уравнений, поделив обе части на t и устремив t→0, получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений:

dx_i (t)		= a_i (t) − ∑u_ij (t),i =1,...,m,t ∈[0,T ]
dt
j
dy _j (t)	= −b _j (t) + ∑u_ij (t), j =1,...,t ∈[0,T ]
dt
i

Таким образом, гладкие динамические системы описываются системами дифференциальных уравнений и при известных начальных условиях может быть получено их однозначное решение.

Подводя итог, следует сказать, что динамические системы характеризуются наличием двух функциональных связей: первая из них описывает зависимость внутреннего состоянии от вектора входных величин и состояния в предшествующий момент времени (функция перехода), а вторая – зависимость вектора выходных величин от показателей состояния и вектора входных величин (функция выхода).Обычно эти зависимости заданы неявно,посредством дифференциальных и интегральныхсоотношений для непрерывных траекторий и при помощи конечно-разностных уравнений для дискретных.

Часто используется следующая терминология. Пусть Σ - динамическая система с множеством моментов времени T, множеством состояний X и множеством входных воздействий U. Пару ( τ, x), где

τ∈T и x∈X называют событием или фазой системы Σ,а множество T×X- пространством событий или

фазовым пространством системы Σ, а Х также называют множеством значений фазовых координат.Система называется стационарной, если ее реакция на заданный отрезок входного воздействия

при условии, что система находилась в заданном состоянии, не зависит от сдвига во времени. Динамическая система называется системой с непрерывным временем, когда T совпадает с

множеством вещественных чисел или представляет собой отрезок вещественной оси, и называется системой с дискретным временем, когда T есть множество целых чисел или его подмножество.

Наиболее важной мерой сложности системы является структура ее пространства состояний. В связи с этим целесообразно следующее определение. Динамическая система называется конечномерной когда X является конечномерным линейным пространством, например, положение материальной точки или твердого тела в 3-х мерном пространстве. Примером бесконечномерных систем являются распределенные системы. Это, к примеру, положение эластичного деформируемого тела в 3-х мерном пространстве, при этом точки этого тела (их бесконечно много) приниают положение почти независимо

от других. Если X конечно , то и система называется конечной. Наконец, система называется конечным автоматом,если система с дискретным временем стационарна и все множества X, U (множествовходных значений), Y (множество выходных значений) конечны.

Конечные автоматы образуют простейший общий класс изученных систем. Другие классы хорошо изученных систем составляют гладкие системы - это системы с непрерывным временем, функция перехода которых непрерывна и аналогичные системы с дискретным временем (дискретные динамические системы).

Среди последних двух классов выделяют линейные системы. Линейной называется система, которая описывается линейными уравнениями. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Он заключается в том , что реакция системы на любую комбинацию внешних воздействий равна сумме реакций на каждое из этих воздействий. Благодаря принципу суперпозиции разработана общая теория линейных систем автоматического управления, описываемых дифференциальными или конечно-разностнымии уравнениями любого порядка.

В заключение этого раздела необходимо отметить, что процессы в динамических системах делят на переходные и установившиеся или стационарные (которые начинаются после завершения переходных процессов, см. рис. 4). При анализе установившихся процессов (режимов) динамические системы можно рассматривать как статические, но по описанию статической системы нельзя анализировать переходные процессы, ее динамику, не делая дополнительных допущений.

Переходной процесс Установившийся

процесс

Время

Рис. 3

4.2. Классификация экономических моделей¹³

С точки зрения управления (управляемые и прогнозные модели).В математическойэкономике получили распространение два типа моделей:

o управляемые;

o прогнозные.

В управляемых моделях можно выделить три группы переменных:

1. переменные, которыми принято характеризовать текущее состояние объекта (производственные мощности, запасы продуктов, объемы природных и трудовых ресурсов и т.п.);

2. управляющие воздействия (управления) – переменные, влияющие на изменение этого состояния и поддающиеся целенаправленному изменению (приросты производственных мощностей, выпуски и перевозки продуктов в терминах интенсивностей потоков и т.п.);

3. внешние воздействия и начальные условия - параметры и функции времени, задаваемые извне (удельные сырьевые и фондообразующие затраты, непроизводственное (конечное) потребление

и т.п.).

Управляемая модель при фиксированных начальных условиях и внешних воздействиях определяет переменные состояния как функции времени, если только заданы управления как функции времени (или как функции времени, состояния и внешних воздействий ). Она может использоваться в режиме планирования, отвечая на вопрос: «как управлять, чтобы достичь желаемых результатов». Кроме того, она может использоваться для целей прогноза, отвечая на вопрос: «что будет, если…».

В прогнозных моделях (например, в эконометрических) управления не выделены явно. Это связано с тем, что при построении чисто прогнозных моделей к экономике относятся как к «черному ящику» - не описывая внутренних механизмов сразу устанавливают функциональные связи между входами и выходами объекта (модели типа «вход-выход» или статические).

Надо сказать, что в управляемых моделях также используется прогноз. Это всегда делается, например, относительно внешних воздействий или исходных данных типа затратных коэффициентов.

¹³ Основной интерес для нас представляют динамические экономические модели или т.н. экономическая динамика. Такие модели позволяют воспроизводить или предсказывать характеристики поведения системы – устойчивость, колебания, рост, средний период колебаний, общие взаимосвязи переменных, изменяющихся во времени, и тенденцию к усилению или ослаблению возмущений, вызванных внешними причинами.

С точки зрения времени (непрерывное и дискретное время).Несомненно,что адекватноеописание экономических систем возможно лишь посредством построения динамических моделей. Аргумент чаще всего берется дискретным. Это, во-первых, связано с хорошим уровнем развития численных процедур для задач линейного программирования, к которым формально принадлежат задачи планирования с линейными экономическими моделями в дискретном времени. Во-вторых, использование описаний с дискретным временем часто оправдывается еще и содержательными соображениями, в частности тем, что плановые задания и отчетная информация формируются и передаются не непрерывно , а дискретно. При построении же описания с дискретным временем явно или неявно приходится делать некоторые предположения о виде зависимостей параметров объекта (в том числе и управляющих ) от времени между узлами аппроксимации. Если шаг дискретности велик, то это обстоятельство может сильно ухудшить точность и уменьшить возможности управления, с уменьшением же шага быстро растут потребное время счета и объем машинной памяти.

Если иметь в виду адекватность описания, то представляется естественным отдать предпочтение моделям с непрерывным временем, ибо реальное время по своей природе непрерывно.

На этапе численных расчетов по моделям с непрерывным временем тоже приходится прибегать к дискретизации времени, так что модель с дискретным временем совпадает по форме с дискретизированной в процессе расчета непрерывной моделью. Однако это совпадение только по форме. Модель с непрерывным временем допускает изменение по ходу расчета временной сетки, иначе говоря, допускает регулирование временного шага, что позволяет выдерживать заданную точность на каждом шаге. Модель с дискретным временем лишена такой возможности, ибо ее сетка предопределяется до расчета.

С точки зрения уровней иерархии управления [4].Исторически сложилось так,что всемодели, имеющие хождение в экономико-математической литературе, специализируются по уровням иерархии существующей системы экономического управления:

o макроэкономические модели, межотраслевой баланс — верхний уровень, o регионально-отраслевые модели — средний уровень,

o микроэкономические модели и модели предприятий — нижний уровень системы экономического управления.

4.3. Обзор экономических моделей Модели верхнего уровня.Появление первых математических моделей,отражающих структуру

экономики в целом (взгляд на экономику с верхнего уровня), тесно связано с работой по составлению отчетных балансов народного хозяйства СССР за 1923—1924 годы. Эти исследования предшествовали известной статье В. В. Леонтьева 1936 г. «Количественные соотношения между затратами и выпусками в экономической системе Соединенных Штатов», в которой предложена математическая запись межотраслевого баланса (модель «затраты-выпуск»). Учет ресурсов является важной частью экономического планирования. В экономическом комплексе различные отрасли связаны между собой взаимными поставками, поэтому невозможно автономное планирование ресурсов для каждой отрасли. В конце 30-х годов Леонтьевым была предложена модель, учитывающая взаимодействие отраслей

[Leontief W.W. Quantitative Input and Output Relations in the Economic System of the United States// Review of Economic Statistics. — 1936.—№18. Leontief W.W. The Structure of American Economy 1919-39. Oxford Univ. Press, New York. 1951]. За которую он в 1973 году получил Нобелевскую премию¹⁴. Пусть x=(x₁, . .

. ,x_n)^T – вектор выпуска продукции отраслями, а y=(y₁, . . . ,y_n)^T – вектор непроизводственного (конечного) потребления и внешнего спроса на продукцию отраслей (он может иметь отрицательные компоненты, если осуществляются поставки извне). Тогда соотношение между ними можно описать с помощью следующей системы уравнений:

x=Ax+y,

где А={a_ij} – матрица размерности n x n, элементы которой постоянны во времени. Если расписать это соотношение покомпонентно, то получим:

x_i = a_i₁ x₁+ a_i ₂ x₂+...+ a_ij x _j +...+ a_in x_n + y_i ,i =1,n

Т.е. продукция i-го вида «раскладывается» на части, соответствующие производству продукции всех видов . Так на производство продукции j-го вида ее потребуется a_ijx_j, т.е. на единицу продукции j-го вида уйдет продукции i-го вида в количестве a_ij. Другими словами, т.н. технологические коэффициенты (коэффициенты прямых сырьевых затрат) a_ij показывают, сколько продукции i-го вида требуется для

¹⁴ В 1982 г. Шведская королевская академия учредила международную премию Кроуфорда в областях, которые не рассматриваются нобелевским комитетом: математика, (микро)биология и др. Размер вознаграждения составляет $500000.

производства единицы продукции j-го вида. Векторы x и y можно представлять в натуральном или денежном выражении.

Из последнего уравнения получаем: (I-A)x=y

или x=(I-A)^-1y.

Итак, при внешнем спросе y общий объем выпуска продукции записывается последним уравнением. Эта статическая модель основана на следующем предположении: нет необходимости в создании запасов – при известном спросе можно мгновенно произвести любое количество продукции.

Если b=(b₁, . . . ,b_n) – вектор затрат труда на единицу продукции, то на осуществление

программы x потребуются трудозатраты bx, причем bx=b(I-A)^-1y.

Если p=(p₁, . . . ,p _n)^T – вектор цен продукции, то добавленная стоимость, созданная i-й отраслью на единицу ее продукции, составит

r_i = p_i −∑a _ji p _j ,i =1,n

j=1

Или в матричной форме r=(I-A)^Tp

Описанную выше ситуацию можно обобщить, если рассматривать состояния экономики в различные моменты времени. В динамических моделях вводятся переходящие от периода к периоду (здесь мы рассматриваем дискретное время) запасы , но при этом предполагается, что технологическая матрица остается постоянной во времени [Hadley G. Linear Programming. Addison-Wesley, Reading, Mass. 1967]. Обозначим через x_t – вектор выпуска продукции в периоде t, y_t – вектор внешнего спроса в периоде t, s_t - вектор запасов на начало периода t. Тогда мы можем записать:

x_t=Ax_t+(s_t-s_t-1)+y_t.

Если допустить, что изменение запасов пропорционально ожидаемому (прогнозируемому) росту производства, то получаем:

x_t=Ax_t+D(x_t+1-x_t)+y_t,

где D – может быть матрицей (n x n).

Примечание.Аналогичное уравнение приводится также у Леонтьева,однако второеслагаемое в правой части трактуется как инвестиции.

Далее получаем: x_t₊₁=[(1+D^-1)I-D^-1A]x_t- D^-1y_t.

Т.о. мы получили разностное уравнение первого порядка.

Можно также рассмотреть немного модифицированный вариант Леонтьевской модели:

	n		dV _j (t +τ _j )
x_i (t)=∑[a_ij x _j (t)+ b_ij	] + y_i (t),
dt
	j=1
0 ≤ x	(t) ≤V (t),	dV_i (t)	≥ 0,i =1,...,n,

i	i	dt

где x_i(t) — поток выпуска продукта i в момент t ( измеряется в единицах продукта за единицу времени); V_i(t)—мощность i-го производства (в рамках модели—это максимальный выпуск); y_i(t)—поток конечного (непроизводственного) потребления; а_ij —коэффициенты прямых сырьевых затрат (коли-чество сырьевого продукта i, необходимое для производства единицы продукта j); b_ij — коэффициенты фондообразующих затрат (количество фондообразующего продукта i, идущее на единичный прирост мощности j); τ_j — продолжительность строительства мощности j.

Равенства представляют собой баланс продуктов: произведенный продукт v_i(t) расходуется на покрытие сырьевых и фондообразующих затрат (первые два члена в сумме) и на конечное потребление

y_i(t);

Неравенства задают ограничения выпусков по мощностям и условие неубывания мощностей. Модель в принципе относится к классу управляемых динамических моделей. Часть переменных

по экономическому смыслу задается извне: это технологические коэффициенты a_ij, b_ij, программа конечного потребления y_j(t), законы развития отраслей на доплановом периоде V_i(t), - τ_i <= t <=0. Но и после задания этих величин в модели остаются свободными выпуски x_i(t) и мощности (состояния) V_i(t) при t>0. Приросты мощностей можно рассматривать в качестве управляющих воздействий.

В качестве еще одной модели данного уровня рассмотрим макроэкономическую динамическую модель, описывающую экономические циклы. Модель Самуэльсона—Хикса¹⁵ включает в себя только рынок благ (нет рынка ценных бумаг, денег и труда). В связи с этим предполагается, что уровень цен, относительные цены благ и ставка процента постоянны. Так как модель динамическая, все переменные являются функциями времени.

Если переформулировать Кейнса в условиях динамической постановки задачи , то объем потребления домашних хозяйств в текущем периоде определяется величиной их дохода в предшествующем периоде¹⁶:

Аt + Cy yt-1

где А_t — автономное потребление в периодt; C_y= C/ y - предельная склонность к потреблению

(показывает насколько увеличится потребление при увеличении национального дохода на единицу).

Связанный с C_y сомножитель 1/(1-C_y), называется мультипликатором автономных расходов. Он показывает, насколько возрастет равновесный национальный доход при увеличении автономного потребления (спроса) на единицу. Поскольку 0<C_y<1, мультипликатор больше единицы.

Предприниматели осуществляют индуцированные инвестиции после того, как убедятся в том, что приращение совокупного спроса устойчиво. Поэтому, принимая решение об объеме индуцированных инвестиций, они ориентируются на приращение совокупного спроса (национальногодохода)не в текущем,а в предшествующем периоде:

I_t^ин = κ(y_t ₋₁− y_t ₋₂),

где κ - коэффициент приростной капиталоемкости, который называют также акселератором.

При принятых предположениях (национальный доход уравновешивается потребительским спросом и инвестициями предпринимателей, нет спроса государства и заграницы¹⁷) экономика будет находиться в состоянии равновесия, если

y_t = C_y y_t-1 + κ(y_t-1 -y_t-2) + A_t= (С_y +κ )y_t-1 - κ y_t-2 + A_t,

где A_t — экзогенная (внешняя) величина автономного спроса (потребления).

Приведенное уравнение является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени.

В [7] приводится ряд других примеров макроэкономических динамических моделей . Эконометрические модели в своем первоначальном виде создавались как чисто прогнозные.

Наибольшее распространение они получили за рубежом, в капиталистических странах , поскольку возможности управления капиталистической экономикой на общегосударственном уровне тогда были сильно ограничены (в отличие от плановой экономики). Эконометрические модели находят применение и в плановых хозяйствах для получения оценок будущего состояния экономики.

Основу эконометрических моделей составляют различного рода балансы и две функциональные зависимости:

o производственная функция, которая задает зависимость национального дохода от стоимости основных фондов, и от используемых трудовых ресурсов;

o функция потребительского спроса (описываемое с помощью функций полезности поведение совокупного потребителя при выборе между продуктами).

Поскольку в основном тексте мы занимаемся динамическими моделями, то более подробный обзор эконометрических моделей мы опускаем.

Средний уровень.Эта ветвь современных экономико-математических моделей восходит кработе Л. В. Канторовича «Математические методы в организации и планировании производства», опубликованной в 1939 г¹⁸. В ней были заложены основы теории линейных статических моделей,

¹⁵Samuelson P. Interactions Between the Multiplier Analysis and the Principle of Acceleration // Rev. Econ.Stat. 1939. Vol. 21. P. 75-78; Hicks J. A Contribution. to the Theory of the Trade Cycle. Oxford, 1950. Ch. VI.

¹⁶Дж. Кейнс исходил из так называемой гипотезы абсолютного дохода, в соответствии с которой потребление домашних хозяйств зависит от абсолютной величины текущего дохода. По нему "Основной психологический закон" "состоит в том, что люди склонны, как правило, увеличивать свое потребление с ростом дохода, но не в той же мере, в какой растет доход".

¹⁷Покупателями на рынке благ являются все четыре макроэкономических субъекта (домашние хозяйства,

предприниматели, государство, заграница). Среди них спрос домашних хозяйств является доминирующим на рынке.

¹⁸ На эту работу обычно ссылаются как на первую из цикла работ Л.В. Канторовича в области линейного программирования, за который он получил нобелевскую премию в 1975 году вместе с американским ученым Т. Купмансом.

получившей в дальнейшем успешное развитие и широкое применение в практике экономического планирования.

Содержание задач регионально-отраслевого планирования таково . Выделяется географическая область, в которой указываются пункты размещения, характеристики действующих предприятий отрасли и возможные пункты строительства новых предприятий. Указываются пункты — источники сырья вместе с их производительностью и пункты потребления продукции отрасли вместе с желаемым уровнем потребления. Задаются наборы возможных проектов нового строительства и реконструкции. Ищутся выпуски, перевозки, места и проекты нового строительства и реконструкции в них . Обычно используется статическая постановка. Тогда сырьевая база и желаемый уровень потребления задаются только на последний год планового периода, а производственная база задается в начале периода. Распределение строительства по годам не рассматривается, производство и перевозки считаются только на последний год планового периода.

Производство, перевозки и новое строительство описываются системой линейных алгебраических уравнений и неравенств:

v⁺+∑ f _′+∑ v =∑∑a _′ v _′+^∑ f _′+ v⁻,

iq iq q ieq ii eq i eq iqq iq

′ e∈E ′ ′

q ∈Q i ∈I e∈E q ∈Q

∑d _jieq v_ieq ≤ V _jeq^o + n_eqV^ˆ_je ,n_eq = 0,1,2,...

i∈I

(i ∈ I − продукты,q ∈Q − области, j ∈ J − основныеэталонныепродукты,e ∈ E − отрасли)

Здесь v_ieq — выпуск продукта i на предприятии отрасли е в пункте q, f_iqq_’ — поток перевозок продукта i из пункта q в пункт q', n_eq — число реализаций строительства типовых заводов за плановый период по отрасли е в пункте q, v⁺_iq— поток внешних поставок продукта I в пункт q, v^-_iq — поток конечного потребления (по отношению к данной отрасли) и вывоза за пределы продукта i в пункте q, V^°_jeq — начальная мощность выпуска в пересчете на эталонный продукт j ¹⁹ на предприятии отрасли е в пункте q, V^_je — проектное значение мощности j на предприятии отрасли е, а_ii_’_eq — удельные сырьевые затраты продукта i на производство продукта i' на предприятии отрасли е в q, d_jieq —коэффициенты приведения выпуска продукта i к эталонному продукту j в отрасли е в пункте q.

Первое соотношение — баланс потоков продуктов: сумма поступающих в пункт q потоков продукта i должна быть равна сумме расходуемых в q и покидающих q потоков. Поступают: внешний поток v ⁺_iq (внешний по отношению к отрасли—области E x Q), привозимый из других пунктов q' поток (первая сумма в левой части) и, наконец, вырабатываемый в q поток ( вторая сумма). Продукт i расходуется на покрытие сырьевых затрат (первая сумма правой части), на вывоз в другие области q' (вторая сумма) и на конечное потребление и экспорт v^-_iq.

Второе соотношение—ограничение по мощности: в правой части его записана величина мощности, которая слагается из старой V^°_jeq и вновь построенной n_eqV^_je частей. Число новых типовых заводов n_eq должно быть целым — про это говорит последнее условие. Условия целочисленности свойственны моделям отраслевого уровня, хотя в первоначальных вариантах они не учитывались.

Исходные данные модели составляют: технологические коэффициенты a_ii_’_eq, d_jieq, проектные V^_je (типовые заводы), и существующие V^°_jeq мощности и потоки импорта v⁺_iq , и экспорта (в сумме с конечным потреблением) v^-_iq. К числу неизвестных относятся потоки перевозок f_iq_’_q ([I] x [Q]² штук), выпуски v_ieq ([I] x [Е ] x [Q] штук), и количество новых предприятий n_eq ([E]x[Q] штук). На них наложено [I] x [Q] связей типа равенств, что меньше общего числа неизвестных, поэтому модель имеет свободы, т. е. принадлежит к классу управляемых моделей.

В более детальных моделях размещения производства учитываются ограничение на капитальные затраты, ограничения на число новых предприятий в некоторых пунктах и ограничения по пропускным способностям коммуникаций и эффект агломерации²⁰. Наконец, новым этапом в развитии

¹⁹В качестве эталонного продукта, например, по топливной отрасли, можно взять газ, а нефть, уголь, сланец, торф пересчитывать на него.

²⁰Экономическая выгода от территориальной концентрации производств и других экономических объектов в городах и агломерациях (т.е. относительно близких друг от друга пунктах). Например, сосредоточение в одном районе предприятий, пользующихся услугами высокопроизводительного литейного завода, сокращает издержки на изготовление литых заготовок (в этом случае выгода двойная: на транспортировке и на снижении себестоимости литья в результате действия эффекта масштаба). В т.н. технополисах концентрация специалистов достигает своего рода критической массы, что приводит к эффективному и оперативному обмену идеями, изобретениями и другой информацией и в результате —

к массовому научно-техническому творчеству. Пример — агломерация Кремниевой долины в США, в

моделей размещения производства явилось появление динамических моделей, учитывающих как динамику спроса и сырьевой базы, так и динамику производства в плановом интервале.

Нижний уровень.На уровне предприятия тесно переплетены задачи экономическогоуправления и технологического управления. Тем не менее, и здесь сложился довольно четко очерченный круг экономических задач—это, так называемые, задачи календарного планирования и оперативного управленияпри заданных режимах функционирования каждого технологического процесса.

Под оперативным планированием обычно понимают планирование объемов выпуска и затрат на период существенно меньшей длительности, чем основной ( базовый) период для планирующей организации, каковым может быть год. Управление предприятием на таком коротком периоде называют оперативным.

Модели предприятий специализированы в зависимости от характера производства: непрерывного или дискретного. Непрерывные производства описываются в терминах потоков продуктов (отсюда проистекает второе название — поточные производства). Потоки характеризуются своей интенсивностью — количеством продукта в единицу времени. К непрерывным относятся производства, выпускающие «делимую» продукцию: жидкости, газы, ткани и т.п. Непрерывными удобно считать и производства, выпускающие «неделимую» продукцию ( детали), в тех случаях, когда число деталей, выпускаемых за характерное для рассматриваемой задачи время, намного больше единицы. В противном случае производство нужно рассматривать как дискретное, в частности, измерять выпуск целым числом деталей.

Задачи календарного планирования и оперативного управления для непрерывных производств ставятся в двух основных вариантах:

1) распределение материальных и энергетических потоков при фиксированной схеме включения агрегатов (цехов, складов, технологических линий, установок и т.п.);

2) распределение потоков с одновременным переключением агрегатов (это пока слабо разработанное направление).

Рассмотрим линейную динамическую модель производства в общем виде. Обозначим через E

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: