Деление отрезка прямой на пропорциональные части

Деление отрезка AB на две части, находящиеся в отношении AC:CB= 2:3 (рисунок 20, a). Через точку A проводят под произвольным углом к заданному отрезку прямую AD. На этой прямой от точки A откладывают пять (2+3) равных отрезков произвольной длины. Точки B и V соединяют прямой линией. Через точку II проводят прямую, параллельную BV, до пересечения ее с отрезком AB в точке C. Точка C делит отрезок AB в отношении 2:3.

Если отношение задано не цифрами, а в отрезках m:n, то на вспомогательной прямой AD вместо отрезков произвольной длины откладывают отрезки m и n. Подобное построение учащемуся предлагается проделать самостоятельно, взяв размеры с рисунка 20, б.

Рисунок 20

Деление отрезка AB в среднем и крайнем отношении (рисунок 21). Отрезок AB делят в точке C пополам и через один из его концов, например точку B, проводят прямую BM, ему перпендикулярную (рисунок 21, а). От точки B на перпендикуляре откладывают отрезок BD = BC. Точки A и D соединяют прямой (рисунок 21, б). На отрезке AD получают точку E при помощи дуги радиуса DB с центром в точке D. Из точки A как из центра проводят дугу радиусом AE, которая пересечет отрезок AB в точке F. Точка F является точкой деления отрезка AB в среднем и крайнем отношении, так как .

Разобранную пропорцию часто называют «золотым сечением». Это название связано с тем, что в пропорциях человеческого тела, в формах животных, отличающихся изяществом, среди творений мастеров архитектуры и прикладного искусства – всюду встречаются пропорции, подчиненные закону о среднем и крайнем отношениях. Деление отрезка в среднем и крайнем отношениях позволяет подобрать наилучшие пропорции для одного предмета или выбрать соразмерность нескольких предметов.

Возьмем для примера прямоугольник с отношением сторон, равным построенной пропорции (рисунок 21, в), и сравним его с другим прямоугольником (рисунок 21, г), у которого эта пропорция нарушена. Нетрудно заметить, что пропорции первого прямоугольника более приятны для глаза. Простейшее применение пропорции «золотого сечения» можно наблюдать в форматах книг, альбомов, размерах открыток и т. д.

Рисунок 21

ПОСТРОЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ, ДЕЛЕНИЕ УГЛОВ, ПОСТРОЕНИЕ УКЛОНОВ

Построение и измерение углов

Построение угла, равного данному. Пусть требуется на прямой MN при точке D построить угол, равный углу ABC (рисунок 22). Произвольным радиусом R проводят две дуги: одну из вершины угла ABC, пересекающую стороны его в точках К и L (рисунок 22, а), другую из точки D, пересекающую прямую MN в точке F (рисунок 22, б). Из точки F радиусом r=KL проводят дугу до пересечения с дугой радиуса R в точке E. Проводя через точки D и E прямую, получают угол EDF, равный заданному ABC.

Рисунок 22

Построение углов с помощью рейсшины и двух угольников (рисунок 23). Два угольника с углами 45, 30 и 60° в сочетании с рейсшиной дают возможность построить любой угол, кратный 15°. Постройте самостоятельно угол, равный 105°.

Рисунок 23

Построение углов с помощью транспортира. По транспортиру строят преимущественно те углы, которые нельзя построить с помощью угольников. Пусть требуется на прямой MN при точке В (рисунок 24) построить угол NBA, равный 107°. Центр полуокружности транспортира – точку О совмещают с точкой B, а его начальную прямую – с прямой MN. По шкале против деления 107° отмечают точку A и через точки A и В проводят вторую сторону угла.

Рисунок 24 Рисунок 25

Измерение углов. На рисунке 25 показано измерение транспортиром угла ABC. Начальную прямую транспортира совмещают с одной из сторон измеряемого угла так, чтобы вершина B совпала с точкой О. Тогда деление шкалы, совпадающее с другой стороной угла, укажет на число градусов измеряемого угла.

Деление углов

Деление угла пополам (рисунок 26, а). Из вершины В угла ABC произвольным радиусом R₁ проводят дугу до пересечения ее со сторонами угла в точках М и N. Затем из точек M и N проводят дуги радиусом >R₁ до взаимного пересечения их в точке D. Прямая BD разделит данный угол пополам.

Деление угла на 4, 8 и т. д. равных частей осуществляется последовательным делением пополам каждой части угла (рисунок 26, б).

Рисунок 26

В том случае, когда угол задан сторонами, не пересекающимися в пределах чертежа, например AB и CD на рисунке 26, в, деление угла пополам выполняют так. На произвольном, но одинаковом расстоянии l от сторон угла проводят прямые KL || AB и MN || CD и продолжают их до пересечения в точке О. Полученный угол LON делят пополам прямой OF. Прямая OF разделит пополам также и заданный угол.

Деление прямого угла на три равные части (рисунок 27). Из вершины прямого угла – точки В проводят дугу произвольным радиусом R до пересечения ее с обеими сторонами угла в точках A и C. Тем же радиусом R из точек A и С проводят дуги до пересечения с дугой AC в точках М и N. Прямые, проведенные через вершину угла В и точки М и N, разделят прямой угол на три равные части.

Рисунок 27

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: