Уравнение прямой в пространстве по точке и

Аналитическая геометрия

Уравнение поверхности в пространстве

Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

Общее уравнение плоскости

Плоскостьюназывается поверхность, координаты всех точек которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0,

где А, В, С – координаты вектора – вектор нормали к плоскости.

Возможны частные случаи:

например,

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Известно, три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость.

Рассмотрим точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) плоскости в декартовой прямоугольной системе координат, не лежащие на одной прямой.

Возьмем произвольную точку М(x, y, z) плоскости и составим векторы . Тогда векторы компланарны и их смешанное произведение равно нулю:

( ) = 0

Таким образом,

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

.

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали

Если в пространстве задана точка М₀(х₀, у₀, z₀), то уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно вектору нормали (A, B, C), имеет вид:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Действительно,для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор – вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

× = 0.

Таким образом, получаем уравнение плоскости

.

Уравнение плоскости в отрезках

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D

,

заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:

.

Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

Угол между плоскостями

j₁

j 0

Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j₁ соотношением: j = j₁ или j = 180⁰ - j₁, т.е. cosj = ±cosj₁.

Определим угол j₁. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:

, где

(A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂), (x, y, z). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

.

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности

плоскостей

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Для того чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

Плоскости параллельны, тогда векторы нормалей коллинеарны: ïï . Это условие выполняется, если: .

Уравнение линии в пространстве

Любая линия в пространстве может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0.

Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

Тогда пару уравнений

назовем уравнением линии в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве по точке и

направляющему вектору

Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.

На прямой возьмем две произвольные точки М₀(x₀, y₀, z₀) и M(x, y, z).

z

M

M₀

0 y

x

Обозначим радиус-векторы этих точек как и , очевидно, что - = .

Т.к. векторы и коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр.

Итого, можно записать: = + t.

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве.

Исключим параметр – канонические уравнения прямой.

Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: