Геометрический смысл производной.
Производная функции, её геометрический и физический смысл.
Любое изменение независимой переменной x равное разности называется приращением этой переменной.
Разность называется приращением функции на отрезке или где .
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е.
Нахождение производной y=f(x) называется дифференцированием этой функции.
Если функция имеет производную в точке , то говорят, что она дифференцируема в этой точке.
Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.
Пример 1. Пользуясь определением, найти производную функции .
Решение:
Производные основных элементарных функций вычисляются по формулам, приведенным в таблице.
1. ; 7. ; 13. ;
2. ; 8. ; 14. ;
3. ; 9. ; 15. ;
4. ; 10. ; 15. .
5. ; 11. ;
6. ; 12. ;
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Производная функции, её геометрический и физический смысл. Стр.1
Теорема (связь непрерывности функции с дифференцируемостью). Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке х, то она непрерывна в этой точке.
Следствие. Если функция f(x) терпит разрыв в точке х, то производная в этой точке не существует.
Непрерывность функции является необходимым условием для ее дифференцируемости. Но непрерывность не является достаточным условием, так как существуют непрерывные функции, не дифференцируемые в точке непрерывности.
Основные правила дифференцирования
Если функции и дифференцируемы в точке х, то в этой точке существуют производные их алгебраической суммы u v, их произведения и отношения . Эти производные вычисляются по формулам:
; ;
Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Теорема (дифференцирование сложной функции). Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Теорема(производная обратной функции). Если y(x) – дифференцируемая функция в точке х и существует ей обратная функция , то , если .
Пример 2. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
Решение. а) Перепишем заданную функцию в виде, удобном для дифференцирования: . Тогда по правилам дифференцирования суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и формуле для производной степенной функции получим:
б) По правилу дифференцирования суммы, частного, произведения и таблице производных находим, что
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Производная функции, её геометрический и физический смысл. Стр.2
в) Данная функция является композицией трех функций. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получаем:
.
Геометрический смысл производной.
Касательной к кривой l в ее точке М называют предельное положение секущей MN, когда точка N, двигаясь по кривой l, неограниченно приближается к точке М (рис. 1).
Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной к этой кривой и проходящая через точку касания (рис. 2).
Геометрический смысл производной: – это угловой коэффициент касательной к графику y=f(x) в точке : Тогда из условия перпендикулярности прямых угловой коэффициент нормали: .
Если существует, то уравнение касательной имеет вид:
, где .
Если , то уравнение нормали имеет вид:
.
Если , то нормаль имеет уравнение: .
Физический смысл производной: если t – время, S(t) – закон прямолинейного движения, то – это скорость движения в момент времени t, т. е. производная пути по времени равна мгновенной скорости.
Пример 3. Дана функция и значение х0 = 0. Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой х0.
Решение. Найдем ординату точки касания: .
Для вычисления угловых коэффициентов касательной и нормали найдем производную :
Тогда
Запишем уравнение касательной в точке М(0; 2) и приведем его к виду общего уравнения прямой: ,
Запишем уравнение нормали и аналогично упростим его:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Производная функции, её геометрический и физический смысл. Стр.3
Задачи для самостоятельного решения.
№1. Пользуясь определением, найти производную функции .
№2. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ; и) .
№3. Найти уравнение касательной и нормали к кривой, заданной уравнением , в точке с абсциссой .
№4. В какой точке касательная к кривой параллельна прямой ?
№5. При каком значении независимой переменной касательные к кривым и параллельны?
№6. В каких точках касательные к кривой параллельны касательной к кривой в точке ?
№7. В точке (1;27) к графику функции проведена касательная. Найти длину её отрезка, заключённого между осями координат.
№8. Найти угол между касательными к графику функции , проведёнными в точках с абсциссами х=-1 и х=1.
№9. Найти угол между параболами и .
Домашнее задание.
№1. Пользуясь определением, найти производную функции .
№2. Найти производные функций: а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
№3. Найти уравнение касательной и нормали к кривой, заданной уравнением , в точке с абсциссой .
№4. На параболе взяты две точки с абсциссами x= -2 и x=3. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна секущей, проведенной через эти точки?
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Производная функции, её геометрический и физический смысл. Стр.4
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|