Сделай Сам Свою Работу на 5

Геометрический смысл производной.





Производная функции, её геометрический и физический смысл.

Любое изменение независимой переменной x равное разности называется приращением этой переменной.

Разность называется приращением функции на отрезке или где .

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

Нахождение производной y=f(x) называется дифференцированием этой функции.

Если функция имеет производную в точке , то говорят, что она дифференцируема в этой точке.

Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.

Пример 1. Пользуясь определением, найти производную функции .

Решение:

Производные основных элементарных функций вычисляются по формулам, приведенным в таблице.

1. ; 7. ; 13. ;

2. ; 8. ; 14. ;

3. ; 9. ; 15. ;

4. ; 10. ; 15. .

5. ; 11. ;

6. ; 12. ;

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Производная функции, её геометрический и физический смысл. Стр.1

Теорема (связь непрерывности функции с дифференцируемостью). Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке х, то она непрерывна в этой точке.



Следствие. Если функция f(x) терпит разрыв в точке х, то производная в этой точке не существует.

Непрерывность функции является необходимым условием для ее дифференцируемости. Но непрерывность не является достаточным условием, так как существуют непрерывные функции, не дифференцируемые в точке непрерывности.

Основные правила дифференцирования

Если функции и дифференцируемы в точке х, то в этой точке существуют производные их алгебраической суммы u v, их произведения и отношения . Эти производные вычисляются по формулам:

; ;

Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Теорема (дифференцирование сложной функции). Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Теорема(производная обратной функции). Если y(x) – дифференцируемая функция в точке х и существует ей обратная функция , то , если .



Пример 2. Найти производные функций:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Перепишем заданную функцию в виде, удобном для дифференцирования: . Тогда по правилам дифференцирования суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и формуле для производной степенной функции получим:

б) По правилу дифференцирования суммы, частного, произведения и таблице производных находим, что

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Производная функции, её геометрический и физический смысл. Стр.2

в) Данная функция является композицией трех функций. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получаем:

.

Геометрический смысл производной.

Касательной к кривой l в ее точке М называют предельное положение секущей MN, когда точка N, двигаясь по кривой l, неограниченно приближается к точке М (рис. 1).

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной к этой кривой и проходящая через точку касания (рис. 2).

Геометрический смысл производной: – это угловой коэффициент касательной к графику y=f(x) в точке : Тогда из условия перпендикулярности прямых угловой коэффициент нормали: .

Если существует, то уравнение касательной имеет вид:

, где .

Если , то уравнение нормали имеет вид:

.

Если , то нормаль имеет уравнение: .

Физический смысл производной: если t – время, S(t) – закон прямолинейного движения, то – это скорость движения в момент времени t, т. е. производная пути по времени равна мгновенной скорости.

Пример 3. Дана функция и значение х0 = 0. Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой х0.



Решение. Найдем ординату точки касания: .

Для вычисления угловых коэффициентов касательной и нормали найдем производную :

Тогда

Запишем уравнение касательной в точке М(0; 2) и приведем его к виду общего уравнения прямой: ,

Запишем уравнение нормали и аналогично упростим его:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Производная функции, её геометрический и физический смысл. Стр.3

Задачи для самостоятельного решения.

№1. Пользуясь определением, найти производную функции .

№2. Найти производные функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

№3. Найти уравнение касательной и нормали к кривой, заданной уравнением , в точке с абсциссой .

№4. В какой точке касательная к кривой параллельна прямой ?

№5. При каком значении независимой переменной касательные к кривым и параллельны?

№6. В каких точках касательные к кривой параллельны касательной к кривой в точке ?

№7. В точке (1;27) к графику функции проведена касательная. Найти длину её отрезка, заключённого между осями координат.

№8. Найти угол между касательными к графику функции , проведёнными в точках с абсциссами х=-1 и х=1.

№9. Найти угол между параболами и .

Домашнее задание.

№1. Пользуясь определением, найти производную функции .

№2. Найти производные функций: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

№3. Найти уравнение касательной и нормали к кривой, заданной уравнением , в точке с абсциссой .

№4. На параболе взяты две точки с абсциссами x= -2 и x=3. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна секущей, проведенной через эти точки?

 

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Производная функции, её геометрический и физический смысл. Стр.4

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.