ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПОНЯТИЕ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ

Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка называют уравнения вида

(1.1)

где - искомая функция. Любая функция обращающая уравнение (1.1) в тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде , то оно обычно называется интегралом уравнения (1.1).

Функция содержащая независимых произвольных постоянных, называется общим решением уравнения (1.1), если она называется его решением при любых значениях постоянных . Если эта функция задается в неявном виде выражением то это выражение называется общим интегралом уравнения (1.1). Придавая в выражении постоянным определенные выражения постоянным получаем частное решение или соответственно частный интеграл уравнения (1.1).

Обратно, имея семейство кривых, задаваемых уравнением и исключая параметры из системы уравнений

получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида (1.1) для которого является общим интегралом.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1.2)

решив уравнение (1.2) относительно если это возможно, получим

(1.3)

Уравнение (1.3) определяет наклон интегральной кривой в точке т.е. определяет поле направлений интегральных кривых.

Если в некоторой области функция непрерывна и имеет ограниченную частную производную , то оказывается, что через каждую внутреннюю точку этой области пройдет единственная интегральная кривая.

В такой области уравнение (1.3) имеет общее решение или общий интеграл , из которого можно найти единственное частное решение, или единственный частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям: при .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С

РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Дифференциальное уравнение первого порядка

(2.1)

где и - функции и , называется уравнением с разделяющимися переменными, если коэффициенты и при дифференциалах разлагаются на множители, зависящие только от или только от , т.е. если оно имеет вид

(2.2)

Разделив оба члена уравнения (2.2) на получим

(2.3)

Общим интегралом уравнения (2.3), а следовательно и (2.2), будет

(2.4)

Ортогональные траектории семейства линий называются линии, пересекающие линии одного семейства под прямым углом. Продифференцировав уравнение по и исключив из полученного и данного уравнений получим дифференциальное уравнение линий данного семейства Тогда дифференциальным уравнением ортогональных траекторий будет:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА:

ОДНОРОДНОЕ, 2) ЛИНЕЙНОЕ, 3) БЕРНУЛЛИ

Однородное уравнение. называется однородным, если и - однородные функции от и одинакового измерения. Оно приводится к виду и решается подстановкой или

Линейное уравнение. Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и всех ее производных.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид . Оно сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой . Другой способ решения (вариация произвольной постоянной) состоит в том, что сначала решаем уравнение ; получаем Подставляем это решение в данное уравнение, считая функцией , и затем находим и .

Уравнение Бернулли решается также, как и линейное, подстановкой или вариации произвольной постоянной. Уравнение Бернулли приводится к линейному подстановкой .