Сделай Сам Свою Работу на 5

Основные характеристики числовой функции.





Понятие функции, её свойства и график.

Переменная величина y называется числовой функцией переменной величины x, если каждому возможному числовому значению величины x ставится в соответствие по какому-нибудь правилу или закону единственное числовое значение величины y.

Обозначение: или , где x — это независимая переменная, или аргумент; y — это зависимая переменная или функция.

Множество задания функции X и множество значений функции Y для числовых функций традиционно называют областью определения функции (ООФ) и областью значений функции (ОЗФ).

Графиком функции называется множество точек координатной плоскости XOY, координаты которых есть соответствующие друг другу значения аргумента и функции:

Графиком функции может быть линия или несколько линий или дискретное множество точек. Например:

Основные характеристики числовой функции.

В перечень основных характеристик функции обычно включают:

− область определения функции,

− область значений функции,

− нули и промежутки знакопостоянства функции,

− четность, нечетность функции,

− периодичность функции,



− монотонность функции,

− экстремумы функции.

Область определения и область значений функции

Областью определения функции (ООФ) называется множество числовых значений, которые может принимать аргумент .

Областью значений функции (ОЗФ) называется множество числовых значений, которые принимает функция, если ее аргумент х принадлежит области определения функции.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие функции, её свойства и график. Стр.1

ООФ – это основная характеристика любой функции, с учетом которой исследуются все остальные характеристики;

находится чаще всего как подмножество X множества действительных чисел, на котором выполнимы все операции, определяющие значение функции у по значению ее аргумента х; в этом случае ООФ называют естественной областью определения функции;

 может находиться по смыслу функции и в этом случае будет более узкой, чем естественная ООФ;

 приняты и другие обозначения ООФ, например, .

ОЗФ – это вспомогательная характеристика функции, которая вполне определяется после построения графика функции. До того, как график построен, ОЗФ может быть найдена только в отдельных случаях, когда это помогают сделать известные свойства основных элементарных функций, с помощью которых записана исследуемая функция. Для ОЗФ приняты также обозначения , .



Пример 1. Найти область определения функции .

ООФ:

ООФ записана из ограничения по делению: на ноль делить нельзя.

Пример 2. Найти область определения функции

ООФ: .

ООФ определена операцией извлечения корня квадратного, которая имеет смысл только для неотрицательных чисел.

Нули функции и промежутки знакопостоянства.

Нулем функции называется такое значение ее аргумента, при котором значение функции равно нулю: .

Промежутком знакопостоянства функции y=f(x) называется промежуток значений ее аргумента , во всех точках которого функция принимает значения одного знака.

Пример 3. Найти промежутки знакопостоянства функции .

Решение. ООФ: ;

Данная функция имеет два нуля, которые разбивают ее ООФ на промежутки знакопостоянства функции.

Знак функции на каждом из обозначенных промежутков можно определить по точке-представительнице промежутка, вычислив значение функции в ней:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие функции, её свойства и график. Стр.2

Четность, нечетность функций

Функция называется четной функцией, если выполняются два условия:

1) её ООФ симметрична относительно нуля;

2) .

Функция называется нечетной функцией, если выполнены два условия:



1) её ООФ симметрична относительно нуля;

2) .

Пример 4. Исследовать функцию на чётность/нечётность.

Решение. ООФ: => ООФ симметрична относительно нуля.

Вычисляем у(-х), используя четность основных элементарных функций:

Равенство у(-х)=у(х) выполняется для всех , поэтому данная функция является четной.

Пример 5. Исследовать функцию на чётность/нечётность.

Решение. . ООФ является симметричной относительно нуля.Вычисляем у(-х):

Равенство у(-х)=у(х) выполняется для всех . Поэтому данная функция является нечетной.

Пример 6. Исследовать функцию на чётность/нечётность.

Решение. . ООФ не является симметричной относительно нуля. Поэтому свойством четности или нечетности эта функция обладать не может. Следовательно, она относится к функциям общего вида, которые не являются ни четными, ни нечетными.

Монотонность функции.

Функция y=f(x) называется монотонно возрастающей функцией на промежутке , если любому большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

 

 

 

 

Функция y=f(x) называется монотонно убывающей функцией на промежутке , если любому большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие функции, её свойства и график. Стр.3

Функция на промежутке называется монотонной функцией, если она на этом промежутке только монотонно возрастает или только монотонно убывает.

Экстремумы.

Точка y=f(x) называется точкой максимума функции, если значение функции в этой точке является наибольшим по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к .

Максимумом функции y=f(x) называется значение функции в её точке max: , где - точка max.

Точка y=f(x) называется точкой минимума функции, если значение функции в этой точке является наименьшим по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к .

Минимумом функции y=f(x) называется значение функции в её точке min: , где - точка min.

Максимумы и минимумы функции называются локальными экстремумами функции. Функция может иметь на своей ООФ несколько экстремумов (и даже бесконечно много).

График квадратичной функции

Функция называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола, ее положение относительно координатных осей определяется знаком старшего коэффициента a и значением дискриминанта D.

D a

Здесь x1, x2 —это нули квадратичной функции, вычисленные как корни квадратного уравнения; — абсцисса вершины параболы (точка экстремума); — ордината вершины (экстремум квадратичной функции).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие функции, её свойства и график. Стр.4

Степенная функция , где

1. Если , то
2. Если , то ; если , то
3. , где
4. ,

Показательная функция , гдеa > 0, a ¹ 1

ООФ: ОЗФ:

 

Логарифмическая функция , гдеa > 0, a ¹ 1 (Нарисуйте графики логарифмической функции.)

ООФ: ОЗФ:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие функции, её свойства и график. Стр.5

Тригонометрические функции , , ,

Обратные тригонометрические функции

, , ,

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие функции, её свойства и график. Стр.6

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.