Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Числовыми характеристиками дискретной случайной величины являются меры положения – характерные точки. Вокруг которых группируются значения, принимаемые случайной величиной и меры рассеивания – параметры, показывающие как группируются эти значения вокруг мер положения, каков характер этой группировки.

Основные меры положения ДСВ.

1. Мода – самое вероятное значение случайной величины (абсцисса самой высокой точки полигона вероятностей). ДСВ может не иметь моды, а может иметь несколько мод. Понятие моды работает хорошо в том случае, когда она определена однозначно.

2. Медиана ДСВ определяется так: (Me –cередина распределения вероятностей).

3. Математическое ожидание или генеральное среднее дискретной случайной величины – это средневзвешенное значение случайной величины с весами вероятностями:

МХ=

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной: МС=С.

2. Константа выносится за знак математического ожидания: М(СХ)=С∙МХ.

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(Х+У)=МХ+МУ.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(Х∙У)=МХ∙МУ.

5. Для зависимых случайных величин М(Х∙У)=МХ∙МУ+k_x,y, где k_x,y= – момент корреляции случайных величин Х и У.

Меры рассеивания ДСВ.

Дисперсией ДСВ Х называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: . Дисперсия характеризует степень «сосредоточенности» или «разброс» случайной величины около ее математического ожидания.

На практике для расчета дисперсии ДСВ удобно пользоваться следующей формулой: , то есть дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата математического ожидания случайной величины.

При использовании дисперсии на практике возникает следующее неудобство: размерность дисперсии не совпадает с размерностью случайной величины. Поэтому используют среднее квадратическое отклонение или стандарт случайной величины: .

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю: DC=0.

2. Постоянная выносится за знак дисперсии с возведением в квадрат: D(CX)=C^2∙DX.

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий: D(X+Y)=DX+DY.

4. Дисперсия произведения независимых случайных величин равна разности произведения математических ожиданий квадратов случайных величин и произведения квадратов математических ожиданий случайных величин :D(X∙Y)=D(X²)D(Y²)-(DX)²(DY)².

Законы распределения ДСВ.

Биномиальное распределение.

Рассмотрим последовательность n идентичных повторных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

1) Каждое испытание имеет 2 исхода, называемые успех и неуспех; это – взаимно несовместные и противоположные события;

2) Вероятность успеха – р – остается постоянной от испытания к испытанию; вероятность неуспеха – q; р+q=1;

3) Все n испытаний – независимы. Это означает, что вероятность наступления события в любом из n повторных испытаний не зависит от результатов других испытаний.

Вероятность того, что в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, событие А наступит ровно m раз,

Это выражение называется формулой Бернулли.

Так как правая часть этого равенства представляет собой общий член биномиального разложения (q+p)ⁿ, то этот закон называют биномиальным.

Таким образом, биномиальным называют закон распределения ДСВ Х – числа появлений события в nнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна р; вероятности возможных значений Х=0, 12,…,m…,n вычисляются по формуле Бернулли.

Для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, имеем

МХ=np;

DX=npq;

σ(X)=

Мода при биномиальном распределении .

Вероятность появления хотя бы одного события А при n испытаниях равна .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: