Обособленность матрицы и точность решения СЛУ

Одной из областей использования линейных преобразований пространства и аппарата собственных чисел и собственных векторов является анализ чувствительности решений СЛУ и сходимости итерационных процессов.

Рассмотрим СЛУ . Вектор правой части СЛУ обычно представляет некоторую совокупность исходных или расчетных данных, которыми описываются реальные технические или физические величины, поэтому реально он обладает некоторой погрешностью . Отсюда и решение СЛУ также будет обладать погрешностью .

В этих условиях СЛУ следует рассматривать в виде

.

Эту систему уравнений можно разделить на две:

Данные матричные уравнения отражают линейное преобразование с матрицей . При этом . В зависимости от направления и получается та или иная погрешность результирующего вектора .

Рассмотрим крайние случаи.

1. Вектор совпадает с первым собственным вектором (соответствующим ), а с минимальным собственным вектором (соответствующим ), , . Отсюда относительная погрешность решения

,

где - так называемое число (Тодда) обусловленности матрицы. Таким образом, в рассматриваемом случае погрешность решения больше, нежели погрешность правой части СЛУ и тем больше, чем больше число обусловленности матрицы.

Число обусловленности матрицы характеризует:

· максимально возможную относительную погрешность решения СЛУ;

· чувствительность решения задачи к погрешности входных данных.

· степень вырожденности СЛУ (т.е. близость ее к линейно-зависимым). Чем ближе СЛУ к линейно-зависимым, тем больше число обусловленности r, если det (A)®0, то это значит , а ;

2. Вектор совпадает с , а D с , , . Отсюда относительная погрешность решения

.

Здесь погрешность исходных данных мало влияет на погрешность решения.

Обобщая рассмотренные крайние случаи, получаем

.

Вычисление и весьма сложно. Поэтому часто используют оценку обусловленности с помощью норм: .

Если - собственные числа обратной матрицы . Тогда

; .

Оценка сходимости итерационного процесса решения СЛУ

Математический аппарат собственных чисел и векторов с успехом может быть использован при оценке сходимости итерационного процесса решения системы линейных уравнений .

Итерационный метод определяется способом разбиения матрицы А на S и T, А =S+T . Как было упомянуто в разделе 5, в настоящее время при решении СЛУ применяются, в основном, методы простой итерации и Зейделя-Гаусса.

Для решения СЛУ методом простой итерации может быть используется рекуррентное соотношение (5.1) , где S- диагональная матрица, состоящая из диагональных элементов матрицы А, T=(A-S). Нетрудно показать, что , где . В данном представлении является образом вектора при линейном преобразовании с матрицей F. Отсюда для обеспечения сходимости итерационного процесса ( ) необходимо, чтобы линейное преобразование было бы сжимающим, .

Для системы УУН в методе простой итерации

Поскольку , причем возможно точное равенство (для узлов, не связанных с базой) то , т.е. нет абсолютной гарантии сходимости итерационного процесса.

В методе Зейделя-Гаусса, как это было отмечено в 5.2, рекуррентное выражение имеет вид: . При этом

, .

Здесь также нет гарантии сходимости итерационного процесса, поскольку .

Дифференциальные уравнения и методы их решения

Общие положения

Режимы электроэнергетических систем, как правило, описываются динамическими процессами, где вектор параметров (напряжения, токи, мощности) является функцией времени. При анализе таких процессов рассматривается взаимосвязь между и его производными, в результате чего формируется система дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение (ДУ) - это уравнение, содержащее анализируемые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.

Если производные, входящие в уравнение, берутся по одному переменному (например, время), то такие ДУ называются обыкновенными.

Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Далее будут рассматриваться обыкновенные дифференциальные уравнения.

Для физических процессов независимым параметром, по которому ведется дифференцирование, чаще всего, является время t. Обыкновенное ДУ представляется в виде

.

Порядк ДУ определяется порядком наивысшей производной.

Решением ДУ называется всякая функция , при подстановке которой в уравнение, последнее превращается в тождество.

Можно выделить две основные задачи решения ДУ:

· определение значений в некоторый период времени при заданных начальных условиях (задача Коши);

· качественный анализ поведения переменной , т.е. получение суждения о свойствах процесса без определения самих решений. Эта задача называется задачей анализа устойчивости уравнений.

В соответствии с разными целями и видами уравнений применяются следующие методы (способы) решения ДУ:

аналитический метод позволяет получить аналитическую запись выражения . Этот способ всегда предпочтителен, так как он позволяет определить точное выражение ;

качественные методы на основе заданных критериев позволяют судить о характере решения ДУ без получения точного решения;

численные методы - решение представляется в виде некоторого набора приближенных значений функции через заданные промежутки времени .

Численные методы позволяют получать решения любых ДУ и широко используются в практике.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: