Доказательство на основе понятия расстояния от вектора до подпространства

Предыдущая 3 4 5 6 7 8 91011 12 13 14 15 16 17 18 Следующая

Рассмотрим матрицу, построенную на векторах = , = . Объем фигуры (параллелограмма), построенной на данных векторах определяется произведением модуля вектора (объемфигуры векторного подпространства R₁меньшей размерности) на высоту h (минимальное расстояние от вектора R₁до подпространства R₁, образованного вектором .

В подпространстве R₁найдется такой вектор R₁, которому соответствует разность - , модуль которой определяет высоту h. В свою очередь, вектор является, во-первых частью , =λ , а, во-вторых,проекцией на

Исходя из определения скалярного произведения можно записать

Отсюда

(7.4)

В последнем выражении второй сомножитель является единичным вектором, направленным вдоль вектора , и служит для преобразования скалярной величины (проекция) в векторную. Так как =λ , то

(7.5)

а квадрат расстояния от до подпространства, образованного вектором

(7.6)

При этом квадрат объема параллелепипеда

(7.7)

Подставляя координаты векторов, получаем

что и требовалось доказать. Доказательство идентичности детерминанта матрицы и объема параллелепипеда на пространстве большей размерности выполняется по индукции, но в силу громоздкости доказательства оно здесь не приводится.

Оптимальное значение коэффициента λ (7.5), соответствующее вектору можно получить, решая оптимизационную задачу.

Минимальное расстояние от вектора до подпространства R₁ определяется параметром λ из условия h=| -λ ,|, R₁ . Поскольку модуль числа всегда положителен, то это эквивалентно . Дифференцируя данное выражение по λ и приравнивая результат к нулю, получаем

, что совпадает с (7.5).

Доказательство(7.7)на основе формулы площади параллелограмма

Высота h в параллелограмме определяется выражением . При этом

Отсюда , что совпадает с (7.7).

Ортогональность столбцов матрицы А

Если столбцы матрицы А ортогональны, то их попарные скалярные произведение равны нулю. При этом для прямоугольного параллелепипеда

Ортонормированность базиса

Математические операции в ортонормированном базисе значительно проще за счет того, что скалярное произведение любых двух векторов базиса равно нулю, а длина каждого вектора равна единице. При этом коэффициенты разложения вектора в упомянутом базисе равны проекциям (скалярному произведению) вектора на единичный орт.

Аппарат минимальных расстояний позволяет выполнить ортогонализацию и нормализацию произвольного базиса. Пусть имеется базис .

В качестве первого вектора ортонормированного базиса выбирается вектор . Вторым вектором является нормированный вектор , определяющий минимальное расстояние от до , . Подобно (7.5) определяется коэффициент λ. Отсюда вектор . Аналогично, , где , т.е. определяется минимальным расстоянием до подпространства, порожденного векторами с ортонормированным базисом . Распространяя данную процедуру, получаем , где .

Очевидно, что если , то , . Это замечание делает понятным геометрический смысл особенностей матриц и линейных преобразований с определителем, равным нулю. Если матрица Аимеет определитель, равный нулю, то преобразование, соответствующее матрице А, переводит вектора исходного пространства в вектора подпространства меньшей размерности. В самом деле, поскольку определитель равен по модулю объему параллелепипеда, построенного на образах единичных координатных векторов, то в случае det A = 0 расстояние от конца хотя бы одного вектора до подпространства предыдущих векторов равно нулю. Следовательно, принадлежит подпространству i-1векторов. А это в свою очередь означает, что пространство образов имеет уже не n независимых векторов, а меньшее количество и является подпространством исходного пространства.