Вычисление обратной матрицы методом матричных преобразований
Ранее было сказано, что матричные преобразования эквивалентны умножению исходной матрицы A на какую-то иную, в результате чего получается результирующая матрица D. Иначе D=CA. Пусть выполняются такие матричные преобразования, что результирующей является единичная матрица, т.е. С= A-1. Если те же матричные преобразования выполняются на единичной матрице, то на ее месте будет сформирована матрица A-1, поскольку СЕ= A-1Е= A-1. Данный принцип стал основополагающим в следующем алгоритме определения обратной матрицы. Строится расширенная матрица (А|Е). Выполняются жордановы или двойные («сверху вниз» и «снизу вверх») гауссовские преобразования, приводящие левую часть расширенной матрицы к единичному виду, тогда в правой части будет сформирована обратная матрица (Е|А-1).
Пример. Получить обратную матрица методом матричных преобразований
Расширенная матрица
| Шаг 1 гауссовского исключения
|
| A
| E
| k
| -3
|
|
|
|
|
| - 2/3
|
| -3
|
|
|
|
| - 1/3
|
|
| -3
|
|
|
|
|
| A1
| E1
| k
| -3
|
|
|
|
|
|
|
| -5/3
| 5/3
| 2/3
|
|
| -1
|
| 5/3
| -8/3
| 1/3
|
|
|
| Шаг 2 гауссовского исключения
| Деление строки 3 на -1
|
| A2
| E2
|
| -3
|
|
|
|
|
| 5/3
|
| -5/3
| 5/3
| 2/3
|
|
| k
|
|
| -1
|
|
|
| |
| A2
| E2
|
| -3
|
|
|
|
|
| 5/3
|
| -5/3
| 5/3
| 2/3
|
|
| k
|
|
|
| -1
| -1
| -1
| | Обратное исключение переменных:
Шаг 3. Нули в столбце 3
| Шаг 4. Нули в столбце 2
|
| A3
| E3
|
| -3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| -1,4
| -1,6
| -1
| k
|
|
|
| -1
| -1
| -1
|
|
| A4=E
| E4=A-1
|
| 1,0
| 0,0
|
| -1,6
| -1,4
| -1
|
| 0,0
| 1,0
|
| -1,4
| -1,6
| -1
|
| 0,0
| 0,0
|
| -1
| -1
| -1
|
|
В результате в правой части получена искомая обратная матрица
Преобразования Гаусса с выбором главного элемента
В процессе матричных преобразований возможно появление ситуации, когда главный элемент управляющей строки равен нулю, akk =0, что делает недопустимым продолжение расчетов (управляющий столбец (аik/akk, i>k). Возникает ряд вопросов: СЛУ имеет решение? Если да, то какой должен быть алгоритм получения решения? Возможными путями решения указанной проблемы является: изменение очередности уравнений (замена строк); изменение очередности исключения переменных (замена столбцов); комбинация указанных процедур.
В процессе матричных преобразований Гаусса выполняется большое число арифметических операций, в каждой из которых возможно округление, т.е. вносится определенная погрешность, которая определяет погрешность решения. Дополнительным источником погрешности является сам принцип гауссовского исключения, где из строки i вычитается строка k, умноженная на коэффициент аik/akk, управляющего столбца. При относительно большом коэффициенте измененная строка практически может совпадать с ведущей строкой, что эквивалентно как бы отсутствию строки i. Это может привести к непредсказуемым результатам. Удельный вес, а следовательно, и информационная значимость строки i в конечном результате будут тем больше, чем меньше аik/akk. Отсюда процедура расчета должна быть такой, чтобы ведущий элемент akk. был как можно больше, а отношение аik/akk как можно меньше. В результате процедура исключения переменных получила свое дальнейшее развитие – гауссовское исключение с выбором главного элемента по строке, по столбцу или по блоку. Здесь важно запоминать очередность переменных и уравнений (столбец правой части).
Выбор главного элемента «по столбцу»
На очередном шаге k в столбце k начиная со строки k и ниже выбирается максимальный по модулю элемент. Пусть это будет элемент aik¹0. Строки i и k меняются местами. Если окажется, что все элементы столбца k равны нулю, то det A = 0. В этом случае матрица А является вырожденной или особенной. Решение СЛУ с такими матрицами рассматривается ниже.
Выбор главного элемента “по строке”
На очередном шаге k в строке k начиная со столбца k справа выбирается максимальный по модулю элемент. Пусть это будет элемент akj¹0. Столбцы меняются местами. Это эквивалентно замене нумерации переменных хj и хk. Если окажется, что все элементы строки k равны нулю, то det A = 0 и матрица А является вырожденной.
Выбор главного элемента «по блоку»
На очередном шаге k в блоке выбирается максимальный по модулю элемент. Пусть это будет элемент ars¹0. Меняются местами как столбцы s, k, так и строки k, r. Если окажется, что максимальный элемент равен нулю, то det A = 0 и матрица А является вырожденной.
Пример. Методом Гаусса с выбором главного элемента по строке, столбцу и по блоку решить систему линейных уравнений А
.
Решение.
Выбор главного элемента по строке. На первом шаге, в первой строке коэффициентов определяется максимальный по модулю элемент. Это величина 4 в третьем столбце. Выполняется замена мест первого и третьего столбцов матрицы и производится процедура исключения переменных
.
На втором шаге выполняются аналогичные операции, но в качестве ведущей рассматривается вторая строка. Здесь максимальный элемент стоит во втором столбце. Замена столбцов не производится.
; .
Следует обратить внимание на то, что на обратном шаге переменные вычисляются в порядке x1, x2, x3.
Выбор главного элемента по столбцу. На первом шаге, в первом столбце матрицы коэффициентов определяется максимальный по модулю элемент. Это величина 3 во второй строке. Выполняется замена мест первой и второй строк расширенной матрицы (в том числе и элементы столбца В) и производится процедура исключения переменных
.
На втором шаге выполняются аналогичные операции, но для выбора главного элемента рассматривается нижняя часть (начиная со второго элемента) второго столбца. Здесь максимальный элемент стоит во второй строке. Замена строк не производится.
.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|