Сделай Сам Свою Работу на 5

Теорема Кронекера – Капелли





Для того чтобы система линейных уравнений являлась разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы.

Формулы Крамера

Решение системы линейных уравнений может быть получено через расчет определителей.

, (3.6)

где Δ - определитель матрицы , -определитель матрицы, полученной заменой столбца k матрицы коэффициентов на столбец свободных членов .

Доказательство представленного выражения представляет интерес как один из приемов работы с массивами.

Умножим каждое уравнение i СЛУ

на и просуммируем все уравнения

.

Обратим внимание, что правая часть представляет . В левой части уравнения выполним замену порядка суммирования

Поскольку для всех j¹k (скалярное произведение столбца j на алгебраические дополнения другого столбца k), получаем: , что и требовалось доказать .

Формула Крамера находит широкое применение для ручных расчетов СЛУ относительно небольшого (2-3) порядка.

3.5. Метод Гаусса

Наибольшее распространение для решения систем уравнений получил метод Гаусса. Основная идея его заключается в последовательном исключении переменных и постепенном переходе к эквивалентной системе уравнений с треугольной матрицей коэффициентов. Решение полученной системы не представляет проблем.



Исключение Гаусса рассмотрим на системе из трех уравнений

(3.7)

 

Выразим из первого уравнения системы значение переменной х1 и подставим это выражение во второе и третье уравнения системы:

В результате второе и третье уравнения уже не содержат х1:

что можно представить в виде

Аналогично выразим х2 из второго уравнения и подставим это выражение в третье уравнение системы:

Окончательно система (3.7) преобразуется к виду :

Таким образом, за n-1 шагов исходная система линейных уравнений преобразуется к системе уравнений с верхней треугольной матрицей. Это прямой ход исключения Гаусса. Решение преобразованной системы уравнений с верхней треугольной матрицей, называется обратным ходом решения системы по Гауссу.

.

Общий вид формул преобразования коэффициентов

Введем обозначения : i - номер уравнения (строки); j - номер переменной (элемента в строке); к - номер шага преобразования (исключаемой переменной)



Тогда формулы преобразования расписываются так:

. (3.8)

Эти формулы легко поддаются программированию для использования вычислительной техники.

Общий вид формул обратного хода

На каждом следующем шаге k (k=n-1,...,1) вычисляется значение переменной xk

.

Блок-схема метода Гаусса

1. Ввод исходных данных.

Прямой ход

2. Цикл по исключаемым переменным k =1,…,n-1.

3. Цикл по уравнениям i=2,…,n.

4. c= .

5. Цикл по текущим переменным j=i,…,n.

6. .

7. Next j; Next i ; Next k

Обратный ход

8. xn= bn/ann.

9. Цикл по восстанавливаемым переменным k =n-1,…, 1.

10. Цикл по текущим переменным j=k+1,…,n, S=0.

11. S=S+ ; Next j.

12. ; Next k

Пример. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений

Из первого уравнения системы выразим значение переменной и подставим его во второе и третье уравнения

После приведения подобных членов последние уравнения имеют вид

Аналогично из второго уравнения выразим значение переменной и подставим его в третье уравнение

В результате система уравнений преобразуется к треугольному виду

Это прямой ход исключения Гаусса. На обратном ходе значения переменных определяются в обратном порядке (снизу вверх). Из третьего уравнения -2. Из второго после подстановки -2 получаем х2=3 и из первого х1=2.

Процедуру прямого хода можно представить в матричной форме. Исключение переменных осуществляется путем вычитания предварительно умноженной на коэффициент ki строки, соответствующей исключаемой переменной, из нижних строк

Исходная Расширенная матрица Матрица после первого исключения Матрица после второго исключения

 



Триангуляция квадратной матрицы

Алгоритм триангуляции

Основная идея метода Гаусса широко используется в различных алгоритмических модификациях. Выбор алгоритма решения СЛУ в электроэнергетике должен учитывать следующие особенности уравнений, описывающих установившиеся режимы энергосистемы:

При анализе режимов ЭЭС рассматриваются изменяющиеся во времени нагрузки узлов для сетей постоянной конфигурации, где матрица проводимостей Y остается неизменной. Изменяется только правая часть СЛУ (токи, мощности). Следовательно, требуется выбрать такой алгоритм, который в максимальной степени учитывает специфику постоянства матрицы проводимостей.

Анализ (3.8) позволяет видеть, что при повторных расчетах, связанных с изменением правой части СЛУ выполняются одни и те же преобразования матрицы коэффициентов { }. На этапе исключения переменных новые величины { } составляют примерно 2/n часть. Было бы желательно сохранить промежуточные расчеты { } для их последующего использования.

Это оказывается возможным благодаря так называемой процедуре триангуляции, согласно которой матрица коэффициентов представляется в виде произведения двух треугольных матриц A=LW, причем одна из них (L) является треугольной «снизу», а другая (W) – треугольной «сверху». Представление A=LW называется треугольным разложением или триангуляцией матрицы.

Решение системы линейных уравнений с триангулированной матрицей коэффициентов сводится к двум решениям систем уравнений с треугольными матрицами. Предположим, что требуется решить систему уравнений:

, (4.1)

причем

A =LW.

Заменив в (4.1) A на LW,получаем

.

Обозначим , тогда вместо системы(4.1) можно записать две эквивалентные:

(4.2)

Из первого матричного уравнения решением СЛУ с треугольной матрицей Lопределяется вектор , а из второй – искомый вектор . При однократном решении СЛУ триангуляция не дает каких-либо преимуществ по сравнению с простым методом Гаусса. Однако при каждом последующем изменении вектора расчеты СЛУ производятся по (4.2) с неизменными матрицами L,W. При этом решение занимает гораздо меньше времени, чем решение системы с исходной матрицей А, поскольку исключаются повторные расчеты { } (они сохранены в матрицах L, W).

Рассмотрим триангуляцию квадратной матрицы, т.е. разложение её на треугольные сомножители.

Прежде всего, проанализируем формулу (3.8) преобразования коэффициентов в прямом ходе метода Гаусса:

 

По существу, данная формула означает вычитание на шаге k (исключение переменной xk) умноженной на коэффициент строки k (управляющая строка -УСТР) из текущей строки i. Коэффициенты используются при формировании матрицы L. Совокупность обычно называется управляющим столбцом (УСТБ).

Следует отметить, что любое преобразование матрицы (например, вычитание из какой-либо строки другой, умноженной на некоторый коэффициент) означает ее умножение на некоторую, совершенно определенную матрицу, или иначе, если в результате преобразования матрицы А получена матрица W, то можно записать А=LW.

В приведенном ниже примере матрица Wполучена из А вычитанием первой строки из второй, а матрица Lполучена по некоторому, известному нам правилу.

.

Таким образом, в примере показано, что действительно, существует матрица L, характеризующая линейные преобразования исходной матрицы.

Можно показать, что матрица Lформируется последовательно из управляющих столбцов в процессе гауссовского исключения переменных. Один шаг эквивалентен преобразованию с матрицей, построенной из единичной заменой k-го столбца управляющим столбцом. В частности, на первом шаге А=L1W1, на второмW1=L2W2, на n-1W n-2=Ln-1W n-1=Ln-1W. Отсюда А=LW, где результирующая матрица определяется произведением L =L1L2Ln-1 и представляет собой совокупность управляющих столбцов.

, ,…,

Матрица Wявляется результатом процесса исключения переменных или последовательно формируется из управляющих строк

; ;

Свойство симметричности матрицы проводимостей ( ) позволяет отказаться от формирования и хранения матрицы L, поскольку управляющие столбцы легко получаются из управляющих строк

,

т.е. столбец k матрицы L равен транспонированной строке k матрицыW, деленной на ее диагональный элемент.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.