ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ГЛАДКИХ ТРУБАХ

Для турбулентного течения характерно перемешивание жидкости, пульсации скоростей и давлений в про­цессе течения. Если с помощью особо чувствительного прибора-самописца измерить и записать пульсацию, например, скорости по времени, то получим картину, подобную показанной на рис. 57. Величина скорости беспорядочно колеблется около некоторого осредненного по времени значения u_оср, которое в данном случае остается постоянным.

Траектории частиц, проходящих через данную неподвижную точку пространства, в разные моменты времени представляют со­бой кривые линии различной конфигурации несмотря на прямоли­нейность трубы. Характер линий тока в трубе в данный момент времени также отличается большим разнообразием (рис. 58). Та­ким образом, строго говоря, турбулентное течение является не­установившимся течением, так как величины скоростей и давлений, а также траектории частиц меняются по времени. Однако в рас­четах его можно рассматривать как установившееся при условии, что осредненные по времени значения скоростей и давлений, а так­же величина полного расхода потока, не меняются с течением вре­мени. Такое течение жидкости встречается на практике достаточно часто.

Ввиду того, что при турбулентном течении отсутствует слои­стость потока и происходит перемешивание жидкости, закон тре­ния Ньютона в этом случае неприменим. Вследствие перемешива­ния жидкости и непрерывного переноса количеств движения в по­перечном направлении касательное напряжение на стенке трубы в турбулентном потоке значительно больше, чем в ламинарном при тех же значениях числа Rе и динамического давления, под­считанных по средней скорости потока.

Распределение скоростей (осредненных по времени) в попе­речном сечении турбулентного потока существенно отличается от того, которое характерно для ламинарного течения.

Если сравнить кривые распределения скоростей в одной и той же трубе и при одном и том же расходе (одинаковой средней ско­рости), но при ламинарном и турбулентном режимах, то будет заметно существенное различие в указанных кривых (рис. 59). Распределение скоростей при турбулентном режиме более равно­мерно, а нарастание скорости у стенки — более крутое, чем при ламинарном режиме, для которого, как уже известно, характерен параболический закон скоростей.

В связи с этим коэффициент a, учитывающий неравномерность распределения скоростей в уравнении Бернулли, при турбулентном режиме значительно меньше, нежели при ламинар­ном. В отличие от ламинарного режима, где он не зависит от числа Rе, здесь коэффициент a является функцией числа Rе, уменьшаясь с увеличением последнего от 1,13 при Rе=Rе_кр, до 1,025 при Rе=3 • 10⁶. Как видно из графика, приведенного на рис. 60, кривая a по Rе асимптотически приближается к единице. В боль­шинстве случаев при турбулентном течении можно принимать a=1.

Потери энергии при турбулентном течении жидкости в трубах постоянного сечения (т. е. потери напора на трение) также полу­чаются иными, нежели при ламинарном. В турбулентном потоке потери напора на трение значительно больше, чем в ламинарном при тех же размерах, расходе и вязкости.

Это увеличение потерь вызывается вихреобразованиями, пере­мешиванием и искривлением траекторий. Если при ламинарном режиме течения потеря напора на трение возрастает пропорцио­нально скорости (а также расходу) в первой степени, то при пе­реходе к турбулентному режиму заметен некоторый скачок сопро­тивления и затем более крутое нарастание величины h_тр по кривой, близкой к параболе второй степени (рис. 61).

Ввиду сложности турбулентного режима течения и трудностей его аналитического исследования, до сих пор мы еще не имеем достаточно строгой и точной теории этого тече­ния. Существуют так называемые полуэмпирические, приближенные теории турбулентности Прандтля, Кармана и др.

В большинстве случаев для прак­тических расчетов, связанных с тур­булентным течением жидкостей в трубах, пользуются чисто экспери­ментальными данными, системати­зированными на основе гидродина­мической теории подобия.

Основной расчетной формулой для турбулентного течения в круглых трубах является уже приводившаяся выше универсаль­ная формула, которая непосредственно вытекает из сообра­жений подобия и имеет следующий вид:

или

Эта основная формула применима как при турбулентном, так и при ламинарном режимах; различие заключается в значениях коэффициента l.

Так как при турбулентном течении потеря напора на трение приблизительно пропорциональна квадрату скорости (и квадрату расхода), то коэффициент потерь на трение в формуле в первом приближении для данной трубы можно считать величиной постоянной.

Однако из закона гидродинамического подобия следует, что коэффициент l_т, так же как и l_л, должен являться функцией основного критерия подобия, т. е. числа Рейнольдса, включающего в себя скорость, диаметр и вязкость, т. е.

Существует ряд эмпирических и полуэмпирических формул, вы­ражающих эту функцию для турбулентного течения в гладких трубах; одной из наибо­лее удобных и употреби­тельных является фор­мула П. К. Конакова, имеющая следующий вид

и применима от Rе=Rе_кр до Re, равного несколь­ким миллионам.

При числах Рейнсльдса 2300<Re<10⁵ можно пользоваться также ста­рой формулой Блазиуса

Отсюда видно, что с увеличением числа Re коэффициент l_т уменьшается, однако это уменьшение гораздо менее значительно, чем при ламинарном режиме (рис. 62).

Это различие в законах изменения коэффициента l связано с тем, что непосредственное влияние вязкости жидкости на сопро­тивление в турбулентном потоке гораздо меньше, чем в ламинар­ном. Если в последнем потери напора на трение прямо пропорцио­нальны вязкости, то в турбулентном потоке эти потери пропорциональны вязкости в степени 1/4. Дело в том, что основную роль в турбулент­ном потоке играют перемешивание и перенос количеств движения.

Приведенные формулы для определения коэффи­циента потерь на трение справедливы для так называемых технически гладких труб, т. е. для таких, шерохова­тость которых столь мала, что на сопротивление практически не влияет. К числу технически гладких труб можно без большой по­грешности отнести цельнотянутые трубы из цветных металлов (включая и алюминиевые сплавы), а также бесшовные стальные трубы тщательного изготовления. Таким образом, трубы, употреб­ляемые на самолетах в качестве топливопроводов и для гидропередач (гидросистем), в обычных условиях можно считать гладки­ми и для их расчета пользоваться приведенными формулами. Водопроводные стальные и чугунные трубы уже нельзя считать гладкими, так как они обычно дают повышенное сопротивление/

Вопрос о сопротивлении шероховатых труб будет рассмотрен ниже (см. § 30).

Как следует из теории подобия, при турбулентном течении жидкости в трубах непосредст­венно на стенке трубы обычно имеется так называемый ламинар­ный слой. Это весьма тонкий слой жидкости, движение в котором является наиболее замедленным, слоистым и без пере­мешивания, т. е. ламинарным.

В пределах этого ламинарного сдоя скорость круто нарастает от нулевого значения на стенке до некоторой конечной величины на границе слоя. Толщина ламинарного слоя d_л крайне невелика, причем оказывается, что число Re, подсчитанное по параметрам слоя есть величина постоянная, т. е.

Эта величина имеет универсальное постоянное значение по­добно тому, как постоянно критическое число Re для течения в трубах. Поэтому, при увеличении скорости потока, а следователь­но, и числа Re, растет также скорость, а толщина ламинарного слоя уменьшается. При больших числах Re ламинарный слой практически исчезает.

ОСНОВЫ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТРУБАХ

Из описания турбулентного течения следует, что истинную местную скорость в турбулентном потоке в данный момент времени следует рассматривать как сум­му осредненной по времени скорости и некоторого положительного или отрицательного приращения, называемого пульсационной ско­ростью. Условимся обозначать величины, осредненные по времени, чертой вверху, а пульсационные скорости – штрихом.

Тогда для составляющей местной скорости вдоль оси трубы (ось х) можно записать

t — отрезок времени, за который осредняется скорость.

Так как осредненный поток вдоль осей у и z в прямой трубе постоянного сечения отсутствует, то соответствующие составляющие скорости равны нулю. Очевидно, что осредненное значение пульсационных скоростей, определенное таким же способом за достаточный промежуток вре­мени, равно нулю. т. е.

Осредненное значение касательного напряжения за промежуток времени t :

Будем иметь:

Полученное выражение именуется формулой Л. Прандтля и является законом турбулентного трения, который используется в теории турбулентных течений так же, как закон трения Ньютона в теории ламинарных течений.

Величина l, носящая название «путь смешения», представляет собой длину, пропорциональную осредненному по времени переме­щению частиц в поперечном направлении. Путь смешения можно рассматривать как понятие, которое в некоторой степени подобно понятию длины свободного пробега молекул в кинетической теории газов (следует иметь в виду, что в процессе турбулентного пере­мешивания происходит перемещение не отдельных молекул, а ча­стиц жидкости, состоящих из большого числа молекул).

Очевидно, что в разных точках поперечного сечения трубы ве­личина l имеет разные значения. На стенке трубы и в пределах ламинарного слоя, где поперечные перемещения частиц отсутству­ют, величина l равна нулю.

По мере удаления от стенки (точнее — от границы ламинарного слоя) увеличивается возможность поперечных перемещений частиц, турбулентное перемешивание делается все более интенсивным и путь смешения l растет.

Л. Прандтль предложил считать, что l растет по линейному за­кону в зависимости от расстояния до стенки у, т. е.

где c—коэффициент пропорциональности, имеющий, как показы­вают опыты, одинаковое значение для всех случаев турбулентного течения (порядка 0,4) и называемый поэтому универсальной по­стоянной турбулентного потока.

Далее Прандтль, рассматривая течение вдоль бесконечной пло­скости, положил касательное напряжение в турбулентном потоке постоянным и равным напряжению на стенке t_о.

При этих допущениях из формулы получаем после интегрирования —

(знак осреднения у скорости здесь и в дальнейшем опускается).

Таким образом, закон распределения скоростей в турбулентном потоке по теории Прандтля получается логарифмическим.

Путем несложных преобразований формулу можно при­вести к следующему безразмерному виду:

Закон распределения скоростей в последней форме называется уни­версальным законом, так как опытные точки, полученные в раз­ных трубах и при различных числа Re, ложатся на единую кри­вую (рис. 65). Еще более показательным является график зависимости (рис. 66).

Теория Прандтля может быть уточнена путем учета вязкости ламинарного слоя.

Можно получить упрощенную форму закона распределения скоростей в турбулент­ном потоке с учетом ламинарного слоя и вязкости в виде

После несложных преобразований получим уточненный закон сопротивления в следующем виде:

где

Таким образом, постоянные коэффициенты выражаются через две универсальные константы, определение которых из опытов c=0,401-0,407 и a=6,82-6,93.

Итак, учет вязкости и ламинарного слоя в теории Прандтля позволяет получить уточненные законы распределения скоростей и сопротивления, обеспечивает удовлетворение граничному условию закона распределения скоростей вблизи стенки и дает возможность выразить все постоянные коэффициенты через две универсальные константы c и a.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: