ГОУ ВПО «Пермский государственный университет»

Кафедра математического анализа

СПРАВОЧНИК ПО ТЕМЕ "НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ"

Работу выполнили студенты 2-го курса мех-мат факультета Мустафин Тимур Истомин Денис

Пермь 2008

4.1 Понятие непрерывности функции

1. Нахождение приращения функции.

Понятия:

1. Приращение аргумента, приращение функции

Пусть дана функция . Обозначим . - называется приращением аргумента. может быть как положительным, так и отрицательным.

, где - приращение функции в точке соответствующее приращению аргумента .

Умения:

1) Чему равно приращение функции в точке при ?

Решение

Ответ: .

2) Чему должно быть равно приращение аргумента, чтобы приращение в точке составило ?

Решение

, отсюда

Ответ: .

3) Чему равно Приращение функции при переходе аргумента от значения к значению ?

Решение

Ответ: .

4) Чему должно быть равно значение при котором приращение функции при изменении аргумента от до равно 2?

Решение

, отсюда

Ответ: ы.

2. Определения непрерывности функции в точке.

Понятия:

Окрестность точки из

1. Интервал вида , с центром в точке , где , называют - окрестностью точки и обозначают .

2. .

3. .

2. Непрерывность функции может быть задана разными определениями:

1. Формальное определение: Функцию называют непрерывной в точке если

2. По Гейне (на языке последовательностей): Функция непрерывна в точке , если

3. По Коши (на языке “ ”): Функция называется непрерывной в точке , если

4. На языке приращений: Функция называется непрерывной в точке , если функция определена в некоторой окрестности точки и выполняется условие – бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е:

Утверждения:

Алгоритм исследования функции на непрерывность в на языке “ ”

1. Фиксируют произвольное и .

2. Оценивают сверху функцией .

3. Решают неравенство .

4. Фиксируют произвольное решение неравенства .

Умения:

1) На языке доказать непрерывность функции в произвольной точке .

Решение.

1. Зафиксируем и .

2. Рассмотрим выражение . И, пользуясь тем, что и получим оценку сверху некоторой функцией Здесь мы воспользовались тем, что .

3. Решим неравенство: , т.е.

4. , например . Значит, функция непрерывна.

2) С помощью определения на языке последовательности доказать непрерывность функции , и в произвольной точке .

Решение.

1. Берем произвольную точку и произвольную последовательность: .

Тогда функция непрерывна.

При нахождении предела мы пользовались теоремами о пределе суммы и произведения двух сходящихся числовых последовательностей.

3) Исследовать функцию на непрерывность в точке , пользуясь определением на языке приращений.

Решение.

, .

Значит, функция непрерывна.

4) Исследовать функцию на непрерывность в точке .

Решение.

Т. к. , то функция непрерывна в точке .

3 Нахождение по заданному для непрерывной в точке функции.

Понятия:

Окрестность точки из

1. Интервал вида , с центром в точке , где , называют - окрестностью точки и обозначают .

2. .

3. .

2. Непрерывность функции Коши (на языке “ ”): Функция называется непрерывной в точке , если

Утверждения:

Алгоритм решения данного рода задач:

1. Фиксируют .

2. Оценивают сверху функцией .

3. Решают неравенство .

4. Фиксируют произвольное решение неравенства .

Умения:

1) Чему равно наибольшее для функции такое, что из неравенства следует неравенство ?

Решение

Рассмотрим

Т.к. , получим, что , , значит наибольшее , удовлетворяющее данному неравенству -

Ответ:

2) Чему равно наибольшее для функции такое, что из неравенства следует неравенство ?

Решение

Рассмотрим , тогда , , и .

Т.к. , получим, что , значит наибольшее , удовлетворяющее данному неравенству -

Ответ:

3) Чему равно наибольшее для функции такое, что при любом из неравенств следует неравенство ?

Решение

Рассмотрим

Т.к. , получим, что .

Ответ:

4. Непрерывность функции слева, справа; связь между односторонней непрерывностью функции в точке и непрерывностью функции в точке.

Понятия:

3. Непрерывность в точке слева, справа (односторонняя непрерывность)

Функция называется непрерывной справа (слева) в точке , если

- справа

- слева

Утверждения:

Cвязь между односторонней непрерывностью функции в точке и непрерывностью функции в точке

1. Если или . Обратное в общем говоря не верно (например, , но не существует ).

2. Если в точке правое и левое предельные значения функции равны, то в точке существует предельное значение этой функции, равное указанным односторонним предельным значениям.

3. Если , и , то непрерывна в .

Умения:

1) Существует ли такая, что и непрерывна в ?

Решение

Данной функции не существует, для подтверждения рассмотрим последовательность , данная последовательность удовлетворяет всем условиям определения непрерывности по Гейне, но очевидно, что не имеет предела, значит разрывна в .

Ответ: нет, не существует.

2) Существует ли такая, что но разрывна в ?

Решение

Рассмотрим функцию

Очевидно, что , но, т.к. , то функция разрывна.

Ответ: существует.

Данные примеры иллюстрируют то, что не нужно путать односторонние пределы и одностороннюю непрерывность.

3) Показать, что непрерывна слева на ?

Решение

Т.к. , значит и , что и свидетельствует о непрерывности функции слева на .

5. Точки разрыва и их классификация.

Понятия:

5. Разрывность в точке

Функция называется разрывной в , если выполнено одно из условий:

2. или .

3. или

4. или

6. Точки разрыва первого и второго рода

Точки разрыва, в которых существует конечное предельное значение, называются точками обыкновенного разрыва или точками разрыва первого рода.

Точки разрыва, в которых не существует предельное значение функции или один из односторонних пределов равен бесконечности, называются точками бесконечного разрыва.

7. Скачок в точке разрыва

Если ,тогда говорят, что функция терпит скачок в точке равный .

8. Точка устранимого разрыва

Если и терпит разрыв в , то такие точки называются точками устранимого разрыва. Чтобы устранить разрыв нужно доопределить нашу функцию в точке и положить . в некоторых случаях нам следует изменить значение функции в точке и положить его равным предельному значению .

Остальные точки являются точками неустранимого разрыва.

9. Точки бесконечного разрыва

Точки разрыва второго рода, в которых хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, называются точками бесконечного разрыва.

Умения:

1) Определить точки разрыва функции

Решение.

Перепишем функцию в виде

Рассмотрим точку .

Значит, точка является точкой разрыва второго рода.

Рассмотрим точку .

Случай аналогичен предыдущему, - точка разрыва второго рода.

Значит, функция имеет точки разрыва и .

2) Определить точки разрыва и их характер для функции , .

Решение.

В точке исследуемая функция не определена, а значит разрывна, , значит - точка разрыва второго рода.

Функция разрывна в точках , тогда исследуемая функция терпит разрыв в точках . Зная свойства функции очевидно, что это точки разрыва первого рода, а именно скачки.

3) Определить точки разрыва и их характер для функции , .

Решение.

В точке исследуемая функция не определена, а значит разрывна, но , т.к. значит - точка разрыва второго рода.

Функция разрывна в точке , тогда исследуемая функция терпит разрыв в точках где , т.е. . Это точки неустранимого разрыва.

4) Определить точки разрыва и их характер дл функции , .

Решение.

В точке исследуемая функция не определена, а значит разрывна, но , значит - точка устранимого разрыва.

6. Нахождение скачка функции в точке.

Понятия:

7. Скачок в точке разрыва

Если ,тогда говорят, что функция терпит скачок в точке равный .

Умения:

1) Чему равен скачок функции в точке ?

Решение

, значит скачок равен

Ответ: 0

2) Чему равен скачок функции в точке ?

Решение

, значит скачок равен

Ответ: 2

3) Чему равен скачок функции в точке ?

Решение

, значит скачок равен

Ответ: 1

7. Исследование на непрерывность функции заданной графически.

Понятия:

2. Непрерывность функции

1. Формальное определение: Функцию называют непрерывной в точке если

4. Непрерывность функции на множестве, в частности, на сегменте

непрерывна на , если она непрерывна в каждой точке данного множества, т.е: .

Утверждения:

Наличие графика позволяет определить несколько правил, значительно облегчающих процесс исследования функции на непрерывность:

1. Посмотреть наличие выколотых точек графика функции (без скачка), тогда эти точки будут являться точками устранимого разрыва.

2. Проверить наличие скачка графика функции. Точка, в которой происходит скачок, является точкой разрыва первого рода.

3. Проверить наличие вертикальных асимптот графика функции. Если -вертикальная асимптота, то - точка разрыва второго рода.

К сожалению, это правила не покрывают все виды точек разрыва, т.к. на графике достаточно сложно изобразить случай, когда предел функции не существует.

Умения:

1) При каком функция , график которой изображен на рисунке, определена, имеет правый предел, непрерывна слева, разрывна справа?

Ответ: при , т.к. именно в этой точке функция удовлетворяет выше заданным требованиям, в отличие от других точек: , и , в которых она разрывна слева.

2) Среди данных четырех функций укажите номер той, которая не отвечает свойству остальных трех

Ответ: функция под номером 2, т.к. она непрерывна в отличие от трех остальных.

8. Исследование явно заданной функции на непрерывность в точке.

Понятия:

2. Непрерывность функции

1. Формальное определение: Функцию называют непрерывной в точке если

Утверждения:

В данном случае точками разрыва являются точки, в которых функция не определена, в которых предельное значение равно бесконечности, не существует или оно отличено от значения функции в данной точке.

Умения:

1) Исследовать функцию на непрерывность в .

Решение.

Фиксируем произвольную :

, значит, функция непрерывна на .

2) Какая из перечисленных функций непрерывна в

Решение

1. - не определен при

, , разрывна.

3. - не определена в

4. - непрерывна как элементарная функция.

Ответ 4.

3) Какие из перечисленных функций непрерывны в

Решение

1. - разрывна, т.к. .

2. - не определена в .

3. - непрерывна, т.к. .

4. - непрерывна, т.к. .

Ответ 3,4.

9. Исследование кусочно-заданной функции на непрерывность.

Понятия:

2. Непрерывность функции

1. Формальное определение: Функцию называют непрерывной в точке если

4. Непрерывность функции на множестве, в частности, на сегменте

непрерывна на , если она непрерывна в каждой точке данного множества, т.е: .

5. Разрывность в точке

Функция называется разрывной в , если выполнено одно из условий:

2. или .

3. или

4. или

6. Точки разрыва первого и второго рода

7. Скачок в точке разрыва

Если ,тогда говорят, что функция терпит скачок в точке равный .

8. Точка устранимого разрыва

Остальные точки являются точками неустранимого разрыва.

9. Точки бесконечного разрыва

Утверждения:

Если , и , то непрерывна в .

В случае кусочно-заданной функции точками разрыва являются точки, в которых функция не определена, в которых предельное значение равно бесконечности, не существует или оно отличено от значения функции в данной точке, также точками подозрительными на разрыв являются точки “стыка”.

Умения:

1) Определить, является ли непрерывной функция

Решение.

Рассмотрим точку стыка .

Т.к. - непрерывна в точке .

Во всех остальных точка функция непрерывна, значит непрерывна на .

2) Определить точки разрыва и их характер для функции

Решение.

Рассмотрим точки стыка: , значит все точки стыка – точки бесконечного разрыва. В остальных же точках - непрерывна.

3) Определить точки разрыва и их характер для функции

Решение.

В данном случае все точки являются точками стыка.

Рассмотрим произвольную точку , , а значит на лицо разрыв второго рода.

В точках : , а значит и это также точки разрыва второго рода.

В точках функция будет непрерывной, для этого рассмотрим .

4) Определить точки разрыва и их характер для функции

Решение.

Данная функция носит название функции Дирихле и является разрывной в каждой точке, причем все точка разрыва второго рода.

В точках : , а значит , что и свидетельствует о том, что разрывы второго рода.

В точках : , а значит , и функция разрывна.

5) Существует ли функция, непрерывная в одной точке и разрывная во всех остальных?

Решение.

Существует, эта функция:

Действительно, подобно функции Дирихле она разрывна во всех точках, кроме , в которой левый и правый пределы совпадают и равны нулю.

6) На каком промежутке непрерывна функция ?

Решение.

Здесь только две точки стыка .

, значит в точке функция терпит разрыв. Аналогичным образом доказывается, что и в точке функция будет разрывной.

10. Доопределение функции в точке по непрерывности.

Понятия:

2. Непрерывность функции

1. Формальное определение: Функцию называют непрерывной в точке если

6. Точки разрыва первого и второго рода

8. Точка устранимого разрыва

Остальные точки являются точками неустранимого разрыва.

Умения:

1) Доопределить функцию так, чтобы она стала непрерывной.

Решение.

Эта функция не определена в точке .

, .

Следовательно, точка является точкой устранимого разрыва первого рода.

Чтобы устранить разрыв доопределим нашу функцию в этой точке и положим

2) Доопределить функцию так, чтобы она стала непрерывной.

Решение.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: