Структурные средние величины

Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и характеристики рядов распределения пользуются структурными средними: модой и медианой.

Мода

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей.

Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой.

При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо:

1) сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте),

2) затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:

1. — значение моды

2. — нижняя граница модального интервала

3. i — величина интервала

4. — частота модального интервала

5. — частота интервала, предшествующего модальному

6. — частота интервала, следующего за модальным

Определение моды графически: Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого

правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника , а левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Медиана

Медиана — это значение признака, который делит вариационный ряд на две равные по численности части.

Медиана для дискретного ряда.

Для определения медианы в дискретном ряду с нечетным количеством единиц наблюдения сначала порядковый номер медианы по формуле: , а затем определяют, какое значение варианта обладает накопленной частотой, равной номеру медианы.

Если ряд содержит четноечисло элементов, то медиана будет равна средней из двух значений признака, находящихся в середине. Номер первого из этих признаков определяется по формуле: , для второго - . = n (количество элементов в ряду).

Медиана для интервального ряда

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана.

Для этого:

1) определяется номер медианы по формуле: , полученное значение округляется до целого большего числа.

2) затем по накопленной частоте определяется интервал, в который входит элемент с таким номером,

3) затем — значение медианы по формуле:

где:

§ — искомая медиана

§ — нижняя граница интервала, который содержит медиану

§ i — ширина интервала

§ — сумма частот или число членов ряда

§ - накопленная частота интервала, предшествующего медианному

§ — частота медианного интервала

Пример. Найти моду и медиану для интервального ряда.

Решение:

1) Определим моду

В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды:

Это значит, что модальный возраст студентов равен 27 годам.

2) Определим медиану.

Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Σf_i/2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит, что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

Графически медиана определяется по кумуляте. Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует сумме всех частот, делят пополам. Через полученную точку

проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Квантили

Квантили - величины, разделяющие совокупность на определенной количество равных по численности элементов частей.

Самый известный квантиль – медиана, делящая совокупность на две равные части. Кроме медианы часто используются квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.

Квартили

Квартилипредставляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равные по количеству элементов части. Различают квартиль первого порядка (нижний квартиль) и квартиль третьего порядка (верхний квартиль). Первый (нижний) квартиль отсекает от совокупности ¼ часть единиц с минимальными значениями, а третий (верхний) отсекает ¼ часть единиц с максимальными значениями, второй квартиль является медианой. Для расчёта квартили надо поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в каждой из них найти медиану.

К примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.

1 квартиль

2 квартиль

медиана

В случае, если вариационный ряд состоит к примеру, из 9 элементов, тогда за верхнюю квартиль принимают арифм. среднее 2-го и 3-го элеметов, а за нижнюю арифм. среднее 7-го и 8-го элементов.

1 квартиль 3 квартиль

Расчет квартилей для дискретного ряда:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: