Описание плоскопараллельного движения тела сводится к описанию движения одного сечения тела (плоской фигуры) относительно неподвижной плоскости.

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ННГАСУ)

Кафедра теоретической механики

ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Выпуск 3. Кинематика твердого тела

Методические указания для подготовки к интернет - тестированию

по теоретической механике

Нижний Новгород

ННГАСУ

УДК 531.1

Интернет-тестирование по теоретической механике. Выпуск 3. Кинематика твердого тела. Методические указания для подготовки к интернет - тестированию по теоретической механике, Нижний Новгород, ННГАСУ, 2011 г..

Настоящие методические указания предназначены для студентов ННГАСУ. Методические указания содержат основные теоретические положения по кинематике твердого тела, а также рекомендации и примеры решения типовых задач по данной теме.

Составители: Г.А. Маковкин, А.С. Аистов, А.С. Баранова, Т.Е. Круглова, И.С. Куликов, Е.А. Никитина, О.И. Орехова, С.Г. Юдников, Г.А. Лупанова.

©Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Простейшие виды движения твердого тела

1. Поступательное движение

Простейшими видами движения твердого тела являются поступательное и вращательное движения.

Поступательным движениемназывается движение, при котором любой отрезок, принадлежащий телу, перемещается, оставаясь параллельным своему первоначальному направлению.

Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают тождественные, то есть совпадающие при наложении, траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения.

Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением какой-либо его точки, например центра тяжести. В этом случае имеют смысл выражения «скорость тела» или «ускорение тела». При других формах движения каждая точка тела имеет свою скорость и свое ускорение.

2. Вращательное движение

Движение тела, при котором все точки тела, лежащие на некоторойпрямой, остаются неподвижными, называетсявращательным движением.

Точки, не лежащие на оси, при движении описывают окружности в плоскостях, которые перпендикулярны к оси вращения.

Проведем через ось вращения полуплоскость, которая в начальный момент времени занимает положение П. В процессе вращения эта плоскость будет поворачиваться на угол , который является функцией времени:

Это уравнение называется уравнением вращательного движения твердого тела.

Основные кинематические характеристики такого движения - угловая скорость иугловое ускорение.

Угловой скоростью называется лежащий на оси вращения вектор , проекция которого на эту ось равна производной по времени от угла поворота: .

Эта проекция называется алгебраическим значением угловой скорости.

Модуль угловой скорости равен , а его размерность s w:val="28"/><w:lang w:val="RU"/></w:rPr><m:t>-1</m:t></m:r></m:sup></m:sSup></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

При угол поворота увеличивается, а при уменьшается.

В технике угловую скорость часто измеряют в оборотах в минуту, обозначая ее буквой «n». Связь между n и ω определяется формулой:

Угловым ускорением называется величина , равная производной по времени от угловой скорости:

При этом проекция вектора углового ускорения на ось z будет равна

Она называется алгебраическим значением углового ускорения.

Модуль углового ускорения равен , а его размерность . При вращение является ускоренным (направления векторов совпадают), а при – замедленным (направления векторов противоположны).

3.Равномерное и равнопеременное вращение

Равномерным называется такое вращение тела, при котором угловая скорость все время остается постоянной: . Тогда .

При равномерном вращении . Интегрируя это равенство, получим уравнение равномерного вращения:

Равнопеременным называется вращение тела, при котором величина углового ускорения все время остается постоянной: Оно бывает равноускоренным или равнозамедленным.

Дважды интегрируя равенство получим выражения для угловой скорости и угла поворота, то есть уравнения равнопеременного вращения:

; ,

где и − начальные значения угла поворота и угловой скорости.

4. Скорость точки вращающегося тела

Рассмотрим твердое тело, совершающее вращение вокруг оси z.

Любая точка М, не лежащая на оси вращения, будет двигаться по окружности, которая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.

Если для вращающегося тела известна угловая скорость и угловое ускорение , то скорость точки М, которая удалена от оси вращения на расстояние R, находится по формуле:

Для модулей соответствующих скоростей получим:

5. Ускорение точки вращающегося тела

Из кинематики точки известно, что полное ускорение является векторной суммой касательного и нормального ускорений:

где - касательное ускорение, которое при рассмотрении твердого тела называют вращательным ускорением,

- нормальное ускорение, которое при рассмотрении твердого тела называют центростремительным или осестремительным ускорением.

В ряде книг вместо применяются обозначения и .

Алгебраическое значение касательного ускорения равно:

При этом модуль касательного ускорения:

Нормальное ускорение определяется по формуле:

6. Преобразование вращательного движения

В движущихся элементах машин часто происходят преобразования движений:

· преобразование одного вращательного движения в другое,

· преобразование вращательного движения в поступательное

(и наоборот).

Преобразования эти происходят с помощью

· зубчатых или фрикционных передач,

· ременных или цепных передач.

Связи между скоростями двух различных движений называются кинематическими связями.

Они устанавливаются изусловия отсутствия проскальзывания между взаимодействующими телами, то есть из условия равенства скоростей двух тел в точке их соприкосновения.

Так, справедливым является соотношение

или ,

которое получено из условия, что в точке соприкосновения (скорость точки первого тела равна скорости точки второго тела) .

Для передачи, показанной на рис. в, имеем соотношение

7. Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоскимдвижением называется движение твердого тела, при котором его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Описание плоскопараллельного движения тела сводится к описанию движения одного сечения тела (плоской фигуры) относительно неподвижной плоскости.

Координаты точки С (полюса) и угол поворота при движении меняются, то есть зависят от времени. Соответствующие формулы называются уравнениями плоскопараллельного движения:

Из этих уравнений можно найти:

· скорость и ускорение полюса,

· угловую скорость и угловое ускорение тела.

Важно заметить, что:

· плоское движение можно представить как совокупность двух движений: поступательного и вращательного,

· угол поворота ( ) и кинематические характеристики вращательной части движения ( и ) не зависят от выбора полюса,

· координаты полюса ( , ) и кинематические характеристики поступательной части движения ( и ) зависят от выбора полюса.

8.Теорема о сложении скоростей

Скорость точки плоской фигуры равна векторной сумме скорости полюса и скорости, которую эта точка имеет в относительном вращении этой фигуры вокруг полюса:

Направление и модуль вектора определяется по правилам, принятым для вращательного движения:

· скорость перпендикулярна отрезку МС и направлена в сторону вращения,

· модуль скорости вычисляется по формуле Эйлера:

9.Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю:

Такая точка всегда существует.

Если выбрать в качестве полюса МЦС, то скорость произвольной точки М будет равна:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: