Сделай Сам Свою Работу на 5

Распределение вероятностей





 

Нередко удобнее изображать вероятностные прогнозы графически. Возможные исходы указываются на горизонтальной оси, а отвечающие им вероятности - на вертикальной. Примером служит рис. 6.3. В данном случае исходы качественно различны и могут быть занесены только на горизонтальную ось; порядок и промежутки в размещении - произвольные.

 

 

Рис. 6.3. Вероятности победы на первенстве по бейсболу команды Национальной лиги или Американской лиги

 

Рисунок 6.4 иллюстрирует несколько иной случай. Альтернативные результаты здесь различаются количественно в отношении одной-единственной переменной величины: доходов в расчете на акцию на будущий год. В данном случае аналитик счел необходимым объединить воедино все возможности, начиная с $0,90 до $0,99, и определить вероятность того, что фактическая сумма окажется в этом диапазоне; затем повторить всю процедуру для диапазонов от $1,00 до $1,09, от $1,10 до $1,19 и других диапазонов шириной $0,10.

 

 

Рис. 6.4. Вероятности доходов в расчете на акцию на будущий год (с использованием широких диапазонов)

 

Этот анализ, разумеется, можно было бы провести на более детальном уровне, с оценкой вероятности результатов в диапазонах от $0,90 до $0,94, от $0,95 до $0,99 и сходных диапазонах шириной $0,05. Еще более детальный анализ установил бы вероятность каждого возможного результата. В этом случае полос значительно прибавилось бы и каждая из них оказалась бы очень узкой, как это и показано на рис. 6.5. Заметьте, что чем больше полос, тем меньше значения сопутствующих вероятностей.



В пределе получается непрерывное распределение вероятностей (continuous probability distribution). Подобная кривая фактически изображает вершины многочисленных узких полос. (Технически кривая изображает то, что происходит, когда этих полос оказывается бесчисленное множество.) Рис. 6.6 приводит три примера такого рода кривых. Заметьте, что по вертикальной оси теперь измеряется плотность вероятности (вместо вероятности).

Используя непрерывные распределения вероятностей, аналитик может отказаться от точной оценки каждого результата в отдельности. Вместо этого аналитик должен прочертить кривую, которая отразит ситуацию так, как он ее видит. Относительная вероятность каждого отдельного результата (скажем, доходов в расчете на акцию $1,035) равна нулю. Однако относительная вероятность любого диапазона доходов определяется путем простого измерения площади между кривой и горизонтальной осью. Так, вероятность того, что доходы окажутся в пределах от $1,03 до $1,04, может быть установлена при измерении площади под кривой между $1,03 и $1,04, что в данном случае составит приблизительно 0,07 (т.е. 7 шансов из 100, что в следующем году доходы будут в пределах $1,03 - 1,04). Для дискретных распределений вероятностей наподобие тех, что показаны на рис. 6.4 и 6.5, ранее отмечалось, что сумма вероятностей должна равняться 1,0. И тогда при непрерывном распределении вероятностей общая площадь под кривой должна составить 1,0.



 

 

Рис. 6.5. Вероятности доходов в расчете на акцию на будущий год (с использованием узких диапазонов)

 

 

Рис. 6.6. Непрерывное распределение вероятностей

Дерево событий»

 

Когда события непрерывно следуют одно за другим или в каком-то смысле взаимосвязаны, зачастую полезно описывать альтернативные варианты в виде «дерева». Примером служит рис. 6.7.

Заемщик обещал по возможности выплатить $15 через год и $8 через два года. По мнению аналитика, шансы на то, что первая выплата будет действительно произведена полностью, составляют только 40 к 60. В противном случае, полагает аналитик, заемщику удастся выплатить через год только $10.

Что же касается двухлетнего срока, то вероятность события, на взгляд аналитика, будет зависеть от результата за первый год. Если заемщик сумеет полностью выплатить $15 по истечении первого года, тогда, по мнению аналитика, шансы на то, что заемщику удастся выполнить свое обязательство и выплатить $8 по истечении двух лет, составят лишь 1 к 9. В противном случае заемщик выплатит меньше - $6. Однако если заемщик выплатит по истечении первого года $10 и при этом даже не предвидится никакой надежды на возмещение недостающих $5, то, по мнению аналитика, шансы на то, что через два года будут выплачены обещанные $8, окажутся приблизительно равными (50 на 50). Если же этого не произойдет, то, по мнению аналитика, вместо $8 будет выплачено $4.



Рисунок 6.7 показывает также вероятность каждой из четырех возможных последовательностей, или траекторий, на «дереве событий». Например, вероятность того, что обе выплаты будут произведены полностью, составляет только 0,04, так как шансы на осуществление первой выплаты составляют всего 40 из 100, а из этих 40 лишь 1 к 10 говорит за то, что окончательный расчет будет произведен полностью. Это дает нам 4 шанса из 100 для данного исхода, вероятность которого равна 0,04.

 

 

Рис. 6.7. «Дерево событий»

 

Математическое ожидание

 

Нередко, будучи неуверенным относительно результата, аналитик желает (или вынужден) резюмировать ситуацию с помощью одного или двух чисел – одно указывает основную тенденцию распределения исходов, другое служит мерилом релевантного риска (relevant risk). И доход, и риск рассматриваются в последующих главах; оставшаяся же часть данной главы посвящена первой характеристике.

Как же можно получить одно-единственное число, которое должно охарактеризовать всю совокупность возможных результатов? Очевидно, ни один способ не покажется удовлетворительным, если альтернативные результаты различаются качественно (например, Национальная лига против Американской лиги в завоевании первенства по бейсболу). Но если результаты различаются количественно, особенно если они различаются только по одному параметру, то возникает целый ряд возможностей.

По-видимому, самый распространенный прием заключается в том, чтобы выбрать наиболее вероятное значение. Его называют модой (mode) распределения вероятностей (для непрерывного распределения вероятностей мода есть результат с наивысшей плотностью вероятности). Рис. 6.6 показывает моду каждого из распределений. Отметьте, что на рис. 6.6(в) две моды: в данном случае для ответа на заданный вопрос нельзя использовать ни одно отдельно взятое число.

Вторая альтернатива – указать величину, которая с одинаковой вероятностью может оказаться как заниженной, так и завышенной. Она называется медианой (median) распределения вероятностей. Как показано на рис. 6.6, она может существенно отличаться от моды (мод).

Третья альтернатива – использование математического ожидания (expected value), также известного как среднее (mean), т.е. взвешенное среднее всех возможных результатов, с использованием сопутствующих вероятностей в качестве весов. Здесь принимается в расчет вся информация, отраженная в распределении: как величина, так и вероятность реализации каждого возможного результата. Почти всякое изменение перспектив или же вероятностей инвестиции повлияет на математическое ожидание.

В целом ряде случаев никакой разницы между этими тремя показателями нет. Если распределение симметрично (каждая половина – зеркальное отображение другой) и унимодально (существует одно наиболее вероятное ожидание), то медиана, мода и математическое ожидание совпадают, что иллюстрирует пример на рис. 6.6(а). Аналитик, таким образом, может мыслить в терминах, скажем, медианы, даже если искомое число – это математическое ожидание. Только в случаях, когда распределение вероятностей сильно асимметрично (см. рис. 6.6(б)), эта процедура усложняется.

В тех случаях, когда указанные величины различны, можно с полным основанием предпочесть математическое ожидание. Как было отмечено ранее, оно учитывает все оценки. Есть здесь и еще одно преимущество: оценки, касающиеся перспектив ценных бумаг, служат в качестве исходных данных для создания или ревизии портфеля. Математическое ожидание доходности портфеля самым непосредственным образом связано с математическим ожиданием доходности ценных бумаг в портфеле, однако в целом ни медиана, ни мода портфеля не могут быть определены на основе аналогичных характеристик составляющих его ценных бумаг.

В табл. 6.2 приводится пример расчета математического ожидания. Аналитик пробует предсказать, как повлияет на курс двух ценных бумаг неожиданно объявленное выступление президента по телевидению. Аналитик описал ряд возможных заявлений, начиная с изменения положения на Ближнем Востоке и кончая принятием решения относительно государственного дефицита. Альтернативы, приведенные в данной таблице, были определены как взаимоисключающие и взаимоисчерпывающие (т.е. каждая возможная комбинация представлена отдельной строкой). После долгих раздумий и не без некоторого трепета аналитик оценил также вероятность каждого заявления и его конечное воздействие на цены обеих ценных бумаг. В конце концов, аналитик вычислил соответствующие параметры портфеля, включающего по одной акции каждого вида.

 

Таблица 6.2

Анализ влияния заявлений на две ценные бумаги и портфель из ценных бумаг

 

Заявление Вероятность Прогнозируемый курс ценной бумаги А Прогнозируемый курс ценной бумаги В Прогнозируемый курс ценной бумаги А и В
a b c d e f g h 0,10 0,20 0,10 0,25 0,15 0,10 0,05 0,05 $40,00 42,00 40,50 41,00 38,00 40,50 45,00 40,50 $62,00 65,00 60,00 61,00 65,00 59,00 58,00 58,00 $102,00 107,00 100,50 102,00 103,00 99,50 103,00 98,50
Математические ожидания: $40,73 $61,90 $102,63

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.