Определение расчетно-статистических характеристик

3.1 Определение мер положения

Целью исследования является определение центра распределения:

Среднее арифметическое значение (основной показатель, входящий в характеристику большинства законов распределения) является первым начальным моментом и вычисляется по следующей формуле:

где – среднее арифметическое значение выборки; (мг/л)

– среднее арифметическое значение каждого интервала; (мг/л)

– частота каждого интервала

Мода – значение, имеющее максимальную частоту, т.е. наиболее часто встречаемое значение случайной величины в выборке. Она определяется по формуле:

где – начало модального интервала

– частота модального интервала

– частоты последующего и предыдущего за модальным интервалом

Модальным называется интервал с наибольшей частотой.

Медиана – определение серединного элемента выборки:

где – начало модального интервала

– частота модального интервала

– сумма частот, предшествующих медианному

Медианный интервал определяется по серединному элементу вариационного ряда. Если в вариационном ряду четное количество значений, то нет серединного элемента. Необходимо определить два центральных элемента, найти среднее арифметическое. Полученное значение подставляется в границы интервалов.

3.2 Меры рассеивания

Характеристикой рассеивания или отклонения случайной величины от центра распределения выступает дисперсия – второй центральный момент.

Согласно методу моментов дисперсия определяется по формуле:

Для определения стандартного отклонения из дисперсии извлекается квадратный корень, полученная величина называется средним квадратичным отклонением и обозначается δ (мг/л).

Нормированное отклонение определяется коэффициентом вариации

3.3 Характеристики формы кривой распределения

Характеристиками формы кривых распределений выступают третий и четвертый центральные моменты.

Третий центральный момент характеризует симметричность ряда, т.е. неравномерность распределения случайной величины относительно центра и определяется по формуле:

Безразмерный коэффициент асимметрии ( ) определяется отношением третьего центрального момента к кубу среднего квадратичного отклонения.

Четвертый центральный момент характеризует форму симметричной кривой распределения.

Показателем остро- или плосковершинности выступает коэффициент эксцесса ( ), который определяется отношением четвертого центрального момента к к среднему квадратичному отклонению в четвертой степени, за вычетом коэффициента 3.

Общая формула для расчета центральных моментов

Таблица 2


	-3.21	10.3	-33.08	106.17	41.2	-132.32	424.68
	-1.63	2.66	-4.33	7.06	21.28	-34.64	56.48
	-0.05	0.0025	-0.000125	0.00000625	0.015	-0.001	0.000375
	1.53	2.34	3.58	5.48	18.72	28.64	43.84
	3.11	9.67	30.08	93.55	29.01	90.24	280.65
	4.96	24.6	122.02	605.24	24.6	122.02	605.24
∑				∑	134.825	73.939	1410.89

Графическое изображение вариационных рядов

Для графического изображения рядов распределения применяют гистограмму (кривая распределения плотности вероятностей, дифференциальная кривая распределения).

С помощью гистограммы (кривая распределения плотности вероятности, дифференциальная кривая распределения) эмпирического распределения можно предугадать вид генеральной совокупности (случайной величины, подчиняющейся определенной функциональной зависимости).

Таблица 3

Границы интервалов (мг/л)	Частота	Относительная частота	Приведенная частота
17.75 – 19.33		0.13	0.082
19.33 – 20.91		0.27	0.17
20.91 – 22.49		0.20	0.13
22.49 – 24.07		0.27	0.17
24.07 – 25.65		0.10	0.063
25.65 – 27.23		0.03	0.019

– относительная частота определяется отношением эмпирической частоты к объему выборки и характеризует вероятность появления случайной величины в каждом интервале

- приведенная частота или плотность распределения случайной величины в заданном интервале

123

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: