Сделай Сам Свою Работу на 5

Вопрос 5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле





Метод замены переменной

При вычислении определенных интегралов широко используется метод подстановки или метод замены переменной.

Т.5.1. (замена переменной в определенном интеграле)

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда, если:

1)функция x = j(t) и ее производная x′ = j′(t) непрерывны на отрезке [a;b];

2)множеством значений функции x = j(t) является отрезок [a;b];

3)j(a) = a, j(b) = b,

то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

.

Замечание

1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется.

2. Часто вместо подстановки x = j(t) применяют подстановку t = g(x).

3. При использовании формулы необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.

 

Пример. Вычислить

Решение

 

Интегрирование по частям

Т.5.2. (интегрирование по частям в определенном интеграле)

Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле:



.

 

Пример. Вычислить интеграл

Решение

 

 

Вопрос 6. Несобственные интегралы

При введении определенного интеграла как предела интегральной суммы мы исходили из условий ограниченности подынтегральной функции и конечности пределов интегрирования.

О.6.1.Определенный интеграл где промежуток интегрирования [a;b] конечен, а подынтегральная функция f(x) непрерывна (ограничена) на отрезке [a;b], называется собственныминтегралом. Если хотя бы одно из двух выше указанных условий нарушается, то интеграл называется несобственным.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

(несобственные интегралы I-го рода)

Пусть функция y = f(x) непрерывна на полуинтервале [a;+¥).

О.6.2.Несобственным интегралом I-го родаот функции f(x) на промежутке [a;+¥) называется предел интеграла при b®+¥:

. (7)

Если предел (7) существует и конечен, то несобственный интеграл

(8)

называется сходящимся. Если предел (7) не существует или бесконечен, то интеграл (8) называется расходящимся.



 

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f(x) на промежутке (‒¥;b]:

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

,

где с – произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

 

Пример. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Þ интеграл сходится.

- предел не существует Þ интеграл расходится.

Замечание

Если F(x) - первообразная для функции f(x), то по основной формуле интегрирования можно записать:

Несобственные интеграла от неограниченных функций

(несобственные интегралы II-го рода)

Пусть функция y = f(x) определена на промежутке [a;b).

 
 


О.6.3. Точка x = b называется особой точкой для функции f(x), если f(x) не ограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке, заключенном в полуинтервале [a;b).

 

Пусть функция y = f(x) не ограничена в окрестности точки b (т.е. в точке x = b имеет бесконечный разрыв), но при любом достаточно малом e > 0 является ограниченной и интегрируемой на отрезке

[a;b ‒ e].

 

О.6.4.Несобственным интегралом II-го родаот функции f(x) по отрезку [a;b], где x = b - особая точка, называется предел интеграла при e®0+0:

. (9)

 

Если предел (9) существует и конечен, то несобственный интеграл

(10)

называется сходящимся. Если предел (9) не существует или бесконечен, то интеграл (10) называется расходящимся.

 

Аналогично, если x = a - особая точка, то несобственный интеграл II-го рода определяется так:

.

 



Если x = c - особая точка и cÎ(a;b), то несобственный интеграл II-го рода определяется формулой

. (11)

Интеграл слева в формуле (11) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба несобственных интеграла, стоящих справа.

 

Если x = a и x = b - особые точки, то несобственный интеграл II-го рода так же определяется формулой (11), в которой с – любая точка из интервала (a;b).

 

Замечание. Особых точек может быть конечное число.

Пример. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Þ интеграл сходится.

Þ интеграл расходится.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.