Сделай Сам Свою Работу на 5

Оценка математического ожидания





При вычислениях доверительных интервалов для оценок параметров генеральной совокупности, когда выборки извлекаются без возвращения, то учитывается размер генеральной совокупности и применяется поправочный коэффициент: [7]. Так, доверительный интервал для математического ожидания, имеющий доверительный уровень, равный (1-а)×100%, вычисляется по формуле:

(17)

 

Пример 1.Предположим, что за месяц в компании выписываются 5000 накладных, причем =110,27 руб., S = 28,95 руб., N= 5000, n= 100, α = 0,05, t99=1,9842.

Решение.

По формуле (17) получаем следующие результаты:

 

104,58 ≤ µ ≤ 115,96.

 

Поскольку в данной задаче выборка представляет собой весьма малую часть генеральной совокупности, поправочный коэффициент почти не влияет на ширину доверительного интервала (проверьте). Если объем выборки превышает 5% генеральной совокупности, то поправочный коэффициент оказывает заметное влияние на ширину доверительного интервала. Рассмотрим следующий пример.

 

Пример 2. Оценка среднемесячного потребления топлива

Данные по продаже бензина марки А-95 тридцатью АЗС за один месяц имеют следующие значения:



=1723,4 т; S = 89,55 т.

Общее количество АЗС, расположенных в городе, равно 300. Постройте 95%-ный доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности.

 

Решение.

Поскольку =1723,4; S = 89,55, n = 30, N = 300 и t29= 2,0452 (для доверительного уровня, равного 95%), то с учетом поправочного коэффициента для конечной генеральной совокупности получаем следующие результаты:

 

1691,62 ≤ µ ≤ 1 755,18.

 

Объем выборки в этой задаче равен 10% объема генеральной совокупности, поэтому поправочный коэффициент оказывает небольшое влияние на ширину доверительного интервала (проверьте).

Оценка доли признака

При выборе без возвращения доверительный интервал для доли признака, имеющий доверительный уровень, равный (1-α)×100%, вычисляется по формуле (18):

(18)

 

 

Пример 3.Проиллюстрируем применение поправочного коэффициента при вычислении доверительного интервала для доли признака в конечной генеральной совокупности при следующих исходных данных:

N= 5000; n = 100; pn=10/100 = 0,10; α = 0,05; Z= 1,96.



Решение.

По формуле (18) получаем следующие результаты:

 

= 0,10 ± 1,96×0,03×0,99 = 0,10 + 0,0582

 

0,0418 ≤ p ≤0,1582.

 

В рассмотренной задаче выборка представляет собой очень маленькую часть гене­ральной совокупности, поэтому поправочный коэффициент почти не влияет на ширину доверительного интервала (проверьте).

Определение объема выборки

Поправочный коэффициент можно также применять для определения объема вы­борки, извлеченной из конечной генеральной совокупности без возвращения. Напри­мер, при оценке математического ожидания выборочная ошибка вычисляется по сле­дующей формуле:

.

 

При оценке доли признака ошибка выборочного исследования равна

.

 

Чтобы вычислить объем выборки для оценки математического ожидания или доли признака, применяются формулы (10) и (12):

 

и

где n — объем выборки без учета поправочного коэффициента для конечной генераль­ной совокупности.

Применение поправочного коэффициента приводит к следующей формуле:

(19)

Пример 4.

Для оценки математического ожидания при N= 5000; ε =5; s = 25 и Z= 1,96 (для доверительного уровня, равного 95%) необходимо определить объем повторной и бесповторной выборки.

Решение.

По формуле (10) объем выборки с повторением (с возвращением) выборки равен:

т.е. объем выборки должен быть равен 97, т.к. выборка – целое число.

Используя формулу (19), получаем:

,

т.е. когда выборки извлекаются без возвращения, с учетом конечности генеральной совокупности, ее размер уменьшается и для данного примера он равен 95.

 

Пример 5.

Для оценки доли признака при N= 5000; ε =0,07; p=0,15 и Z= 1,96 (для доверительного уровня, равного 95%) необходимо определить объем повторной и бесповторной выборки.



Решение.

По формуле (12) объем выборки с повторением равен:

, т.е. n = 100.

 

Применяя формулу (19), получаем:

, что n= 99.

 

 


Задачи и упражнения к разделу VII

Задача 1.

Предположим, что =75, S = 24, n = 36 и N = 200, причем выборка получена путем извлечения без возвращения. Постройте 95%-й доверительный интервал для математического ожидания и конечной генеральной совокупности. 67,63 £ m £ 82,37

Задача 2.

Допустим, что объем генеральной совокупности равен 1000, а стандартное отклонение равно 20. Какой объем выборки необходим, если выборка повторная (бесповторная), доверительный уровень равен 95%, а выборочная ошибка равна ±5. 61,46 (57,9589494)

Задача 3.

Инспектор отдела технического контроля на фабрике, производящей электрические лампочки, желает оценить среднюю продолжительность работы лампочек из крупной партии. Стандартное отклонение этой величины известно и равно 100 часов. Предположим, что партия состоит из 2000 электрических лампочек, а выбор выполняется без возвращения.

1. Постройте 95%-ный доверительный интервал для средней продолжительности работы лампочек из указанной партии, если средняя продолжительность работы 50 лампочек, принадлежащих выборке, извлеченной из партии, равно 350 часов.322,6238≤ µ ≤ 377,3762

2. Определите объем выборки, необходимый для оценки средней продолжительности работы лампочек, если стандартное отклонение равно ±20 часов, а доверительный уровень равен 95%. 92

3. Как изменятся ответы к вопросам 1 и 2, если партия состоит из 1000 лампочек?

322,9708≤ µ ≤ 377,0297

Задача 4.

Служба контроля Энергосбыта прове­ла выборочную проверку расхода электроэнергии жителями одного из многоквартирных домов. Было выбрано 10 квар­тир и определено, что расход электроэнергии (кВт /ч) в течение одного из летних месяцев равен: 125; 78; 102; 140; 90; 45; 50; 125; 115; 112.

С вероятностью 0,95 определите доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнер­гии на 1 квартиру во всем доме при условии, что в доме 70 квартир, а выбор был: а) повторным; б) бесповторным.

а) 75,20≤ µ ≤ 121,20;

б) 76,76≤ µ ≤ 119,64.

 

.

 

 


Таблица 1

Значения функции

 

 

Определяет вероятность попадания случайной величины X , подчиненной нормальному закону, в симметричный отрезок (- Z , Z)

x
1.0 0. 6827 7109.
1.1 0. 7287
1.2 0. 7699
1.3 0. 8064
1.4 0. 8385
1.5 0. 8664
1.6 0. 8904
1.7 0.9 1087
1.8 0.9 2814
1.9 0.9 4257
2.0 0.9 54501
2.1 0.9 6427
2.2 0.9 7219
2.3 0.9 7855
2.4 0.9 8360
2.5 0.9 8758
2.6 0.9 9068
2.7 0.9 9307
2.8 0.9 9489
2.9 0.9 9627
3.0 0.9 9730
3.1 0.9 9806
3.2 0.9 9863
х

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.