Задачи для самоподготовки

Ниже приводятся номера рекомендуемых задач с решениями и для самостоятельного выполнения по учебникам[1] [1 или 6], практикумам [2 или 7], учебнику [3] или учебникам [4 и 5], рассматриваемых в качестве основной литературы.

Студентам рекомендуется в первую очередь разобрать большинство (часть) задач с решениями (их номера выделены жирнымшрифтом). Задачи для самостоятельного выполнения (их номера набраны обычным шифром) решать выборочно(в зависимости от лимита времени – например, каждую вторую задачу из списка задач по теме, или каждую третью, и т.д.).

Кроме того, уровень усвоения материала можно проверить по приводимым в практикуме [2 или 7], учебниках [3] или [4 и 5] тематическим и итоговым контрольным заданиям и тестам, решая задания в соответствии с учебно-программным материалом по каждой теме.

	Тема	Номер задач
По учебнику [1] или [6]	По практикуму [2] или [7]	По учебнику [3]	По учебнику [4]- часть 1 По учебнику [5]- часть 2

Ч а с т ь 1. Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А
РАЗДЕЛ I. Элементы матричного анализа
1. Матрицы и определители	1.1 – 1.13	1.1 – 1.5, 1.24 – 1.27, 1.51 – –1.53	1.1 – 1.6, 1.8 – 1.15; 1.37 – 1.39, 1.68 – 1.70	[4], 1.1 – 1.6, 1.8 – 1.15; 1.37 – 1.39, 1.68 – 1.70
1.14 –1.20,1.22– – 1.29	1.6 – 1.23, 1.29 – 1.50, 1.54 – –1.65, 1.77 – 1.84	1.16 –1.29, 1.40 –1.48, 1.51– – 1.57, 1.60 – 1.67, 1.71 – 1.87	[4], 1.16 –1.29, 1.40 –1.48, 1.51– – 1.57, 1.60 – 1.67, 1.71 –1.87
2.Системы линейных уравнений	2.1 – 2.7, 2.10	2.1 – 2.4, 2.29, 2.35, 2.36	2.1 – 2.5, 2.8 – 2.11	[4], 2.1 – 2.5, 2.8 – 2.11
2.11, 2.12, 2.15– 2.19, 2.21 –2.26	2.6 – 2.32 (четные), 2.38 – –2.48 (четные), 2.67 – 2.70, 2.72, 2.74	2.14 – 2.42 (четные), 2.46 – –2.49, 2.52 – 2.58 (четные), 2.62–2.77	[4], 2.14 – 2.42 (четные), 2.46 – –2.49, 2.52 – 2.58 (четные), 2.67–2.73
3. Векторные пространства	3.1 – 3.3	3.1, 3.2, 3.24 – 3.26а, 3.29	3.1 – 3.3, 3.7– 3.12, 3.14– 3.17, 3.37, 3.38, 3.42	[4], 3.1 – 3.3, 3.12– –3.16, 3.20–3.23, 3.43, 3.44, 3.69
3.14 –3.20, 3.22, 3.24, 3.26 – 3.36	3.5 – 3.9, 3.11, 3.14, 3.37–3.43, 3.52, 3.53, 3.130, 3.131, 3.133, 3.137a, 3.138	3.18, 3.19, 3.22, 3.26, 3.27, 3.30, 3.50−3.55a, 3.56, 3.57, 3.65, 3.66	[4], 3.24, 3.25, 3.28, 3.32, 3.33, 3.36, 3.55–3.59а, 3.60, 3.61, 3.75, 3.76
4. Линейные операторы	3.5, 3.7, 3.8	3.54 – 3.56	3.5, 3.7, 3.8, 3.67 – −3.69, 3.84, 3.85	[4], 3.5, 3.7, 3.8, 3.67 – 3.69, 3.84, 3.85
3.24, 3.26, 3.27– – 3.30	3.58, 3.59, 3.64 – 3.66, 3.140, 3.142	3.71, 3.72, 3.77 – –3.79, 3.87 –3.92, 3.95, 3.96	[4], 3.71, 3.72, 3.77 –3.79, 3.87 – 3.92, 3.95, 3.96
производной	5.Квадратич-ные формы	3.9 – 3.12	3.80, 3.90, 3.92, 3.93,	3.10 – 3.12, 3.108 – 3.110	[4], 3.14 – 3.16, 3.18, 3.134, 3.135, 3.137
3.31 – 3.35	3.94 – 3.100, 3.104 – 3.120 (четные), 3.144 – 3.146	3.111 –3.122, 3.124−3.138 (четные)	[4], 3.138 – 3.149, 3.155 – 3.169 (четные)
РАЗДЕЛ II. Элементы аналитической геометрии
6. Элементы аналитической геометрии	4.2, 4.3, 4.5, 4.7 – 4.12	4.1 – 4.5, 4.7. 4.47 – 4.54	4.2, 4.3, 4.5, 4.7 – 4.11, 4.18, 4.59 – 4.62, 4.108 – 4.111, 4.113	[4], 4.2, 4.3, 4.5, 4.7 – 4.11, 4.18, 4.59 – 4.62, 4.108 – 4.111, 4.113
4.15 – 4.19, 4.21, 4.22–4.24, 4.26–4.30, 4.31	4.23 – 4.26, 4.28 – 4.31, 4.34 – –4.43, 4.58 – 4.63, 4.66, 4.70, 4.72, 4.79 – 4.81, 4.83	4.36 – 4.38, 4.40 – –4.43, 4.45– 4.55, 4.68 – 4.76, 4.79, 4.84, 4.85. 4.88, 4.92 – 4.94, 4.96, 4.114, 4.115, .117, 4.119 – 4.128	[4], 4.36 – 4.38, 4.40 –4.43, 4.45–4.55, 4.68 – 4.76, 4.79, 4.84, 4.85. 4.88, 4.92 – 4.94, 4.96, 4.114, .115, 4.117,4.119–.128
Ч а с т ь 2. М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й А Н А Л И З
РАЗДЕЛ III. Введение в анализ
7.Функции	5.1, 5.5 – 5.7	5.1, 5.4, 5.6, 5.7а	5.1, 5.2, 5.6 – 5.8, 5.12, 5.15	[5], 1.1, 1.2, 1.6 – 1.8, 1.12, 1.15
	5.12 – 5.16, 5.22 – 5.26, 5.36, 5.37	5.16 – 5.19, 5.23 – 5.31, 5.46, 5.47	[5], 1.16 – 1.19, 1.23 – 1.31, 1.46, 1.47
8. Пределы и непре-рывность	6.1 – 6.3, 6.5, 6.6, 6.8 – 6.11, 6.13, 6.14	6.1 – 6.6, 6.12 – 6.17, 6.45, 6.46, 6.68, 6.69, 6.97 – 6.99, 6.168, 6.169	6.1 – 6.3, 6.5, 6.6, 6.8 – – 6.11, 6.81, 6.155	[5], 2.1 – 2.3, 2.5, 2.6, 2.8 – – 2.11, 2.81, 2.155
6.18, 6.20 –6.27, 6.33–6.36, 6.38– 6.41	6.7 – 6.9, 6.11, 6.18 – 6.23, 6.25 – 6.27,6.30 –– 6.34, 6.36– – 6.39, 6.43, 6.44, 6.47 – 6.67, 6.70 – 6.96, 6.100 – 6.120, 6.170 – 6.175	6.12 – 6.79, 6.110 – 6.132, 6.146 – 6.153, 6.156 – – 6.165	[5], 2.12 – 2.79, 2.110 – 2.132, 2.146 – 2.153, 2.156 – – 2.165
РАЗДЕЛ IV. Дифференциальное исчисление
9. Производная	7.1 – 7.8, 7.10, 7.13, 7.15 – 7.17	7.1, 7.2, 7.13, 7.15, 7.109, 7.110	7.1 – 7.8, 7.10, 7.19 – 7.22, 7.25, 7.105, 7.106	[5], 3.1 – 3.8, 3.10, 3.19 – 3.22, 3.25, 3.105, 3.106
7.20 – 7.29,7.35, 7.42, 7.43, 7.46– 7.49	7.3, 7.5 – 7.8, 7.9, 7.10, 7.21, 7.25, 7.26, 7.28 – 7.31, 7.34 – –7.37, 7.41, 7.42 – 7.46, 7.48, 7.53, 7.54, 7.113 – 7.115, 7.122 – 7.127	7.26–7.51, 7.64, 7.65, 7.90 – –7.100, 7.107–7.115, 7.117– – 7.119	[5], 3.26–3.51, 3.64, 3.65, 3.90 – –3.100, 3.107–3.115, 3.117– – 3.119
10. Приложение	8.1– 8.3,8.4–8.7, 8.9, 8.11 – 8.15, 8.17	8.1, 8.9, 8.10, 8.13, 8.14, 8.35, 8.36, 8.38 – 8.40, 8.94 – 8.97	8.1 – 8.8, 8.10, 8.12 – 8.17, 8.25, 8.26, 8.28 – 8.30, 8.51, 8.52, 8.54 – 8.56, 8.110 – –8.113	[5], 4.1 – 4.8, 4.10, 4.12 – 4.17, 4.25, 4.26, 4.28 – 4.30, 4.51, 4.52, 4.54 – 4.56, 4.110 – –4.113
8.19–8.34, 8.41– 8.53	8.4 – 8.6, 8.15 – 8.22, 8.25, 8.27 – 8.30, 8.41, 8.52, 8.55 – –8.57,8.69 – 8.71, 8.75 – 8.77, 8.100 – 8.102, 8.105, 8.106, 8.108 – 8.118, 8.120, 8.121, 8.123, 8.124	8.20–8.23, 8.31 – 8.38, 8.41, 8.43–8.46,8.57–8.73, 8.75, 8.77 – 8.79, 8.81, 8.82,8.84 – –8.87, 8.89, 8.91– 8.94, 8.116 – 8.118, 8.121, 8.122, 8.124 – 8.134, 8.136, 8.137, 8.139, 8.140	[5], 4.20–4.23, 4.31 – 4.38, 4.41, 4.43–4.46,4.57–4.73, 4.75, 4.77 – 4.79, 4.81, 4.82,4.84 – –4.87, 4.89, 4.91– 4.94, 4.116 – 4.118, 4.121, 4.122, 4.124 – 4.134, 4.136, 4.137, 4.139, 4.140
	11. Дифферен-циал функции	9.1, 9.3, 9.5	9.1, 9.2, 9.6	7.12 – 7.14, 7.16, 7.120	[5], 3.12 – 3.14, 3.16, 3.120
9.6 – 9.12	9.7 – 9.12, 9.13 – 9.17	7.122 – 7.125, 7.127, 7.128, 7.130, 7.132, 7.134 – 7.138, 7.140, 7.141	3.122 – 3.125, 3.127, 3.128, 3.130, 3.132, 3.134 – 3.138, 3.140, 3.141

	12. Функция нескольких переменных	15.7, 15.9, 15.13	15.1 – 15.3, 15.27, 15.88 – –15.90	9.1, 9.2, 9.6 – 9.9, 9.13 – – 9.15, 9.40, 9.41, 9.69 – – 9.71, 9.101 – 9.103	[5], 5.1, 5.2, 5.6 – 5.9, 5.13 – – 5.15, 5.40, 5.41, 5.69 – – 5.71, 5.101 – 5.103
15.23 – 15.32, 15.39, 15.40	15.6 –15.11,15.14–15.19, 15.31, 15.33–15.36, 15.38, 15.91 – 15.98	9.19 – 9.24, 9.44–9.51, 9.75– – 9.78, 9.80 – 9.88, 9.104 – – 9.109	[5], 5.19 – 5.24, 5.44–5.51, 5.75– – 5.78, 5.80 – 5.88, 5.104 – – 5.109
РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения
13. Неопреде-ленный интеграл	10.1–10.4,10.6 – – 10.11, 10.13, 10.14, 10.18а, 10.23, 10.24а, 10.25 – 10.27	10.1, 10.19, 10.20, 10.73, 10.105, 10.106, 10.132	10.1 – 10.4, 10.6 – 10.8, 10.10, 10.12 – 10.14, 10.19, 10.41, 10.42, 10.95, 10.155	[5], 6.1 – 6.4, 6.6 – 6.8, 6.10, 6.12 – 6.14, 6.19, 6.41, 6.42, 6.95, 6.155
10.33 – 10.39, 10.41 – 10.45, 10.47 – 10.54, 10.56 – 10.59, 10.61, 10.63 – – 10.65, 10.68 – – 10.70	10.2 – 10.4, 10.6 – 10.10, 10.13 – 10.15, 10.18, 10.21, 10.22, 10.24, 10.25, 10.28 – – 10.34,10.37,10.38,10.42– –10.56, 10.58 – 10.65, 10.75 – 10.81, 10.84, 10.85, 10.92, 10.93, 10.96, 10.103, 10.104, 10.107, 10.116,10.117, 10.133, 10.135 –10.136, 10.138, 10.140, 10.141	10.20 – 10.22, 10.24 – 10.32, 10.35 – 10.37, 10.43, 10.44, 10.46,10.47,10.50–10.56, 10.59, 10.60, 10.64 – 10.78, 10.80–10.87,10.97 – 10.107, 10.114,10.115,10.118,10.125 – 10.126, 10.156 – 10.161, 10.163 – 10.167	[5], 6.20 – 6.22, 6.24 – 6.32, 6.35 – 6.37, 6.43, 6.44, 6.46,6.47,6.50–6.56, 6.59, 6.60, 6.64 – 6.78, 6.80–[5], [5], 6.87,6.97 – 6.107, 6.114,6.115,6.118,6.125, 6.126, 6.156 – 6.161, 6.163 – 6.167
14. 14. Опреде-ленный интеграл	11.1–11.7,11.10, 11.11, 11.18 ––11.22	11.1, 11.30, 11.73, 11.91	11.1 – 11.7,11.13, 11.14, 11.16, 11.23, 11.55, 11.112, 11.136	[5], 7.1 – 7.7, 7.13, 7.14, 7.16, 7.23, 7.55, 7.112, 7.136
11.25 – 11.30, 11.32 – 11.35, 11.37 – 11.39, 11.41 – 11.52, 11.57, 11.59	11.2 – 11.12, 11.14, 11.21, 11.22, 11.25, 11.26, 11.27, 11.29, 11.36 – 11.41, 11.43 – –11.45, 11.47 – 11.51, 11.75, 11.76 – 11.78, 11.81, 11.82, 11.92, 11.93 – 11.95	11.24 – 11.38, 11.40, 11.47, 11.48, 11.51 – 11.53, 11.55а, 11.61 – 11.66, 11.68 – 11.80, 11.82 – 11.86, 11.114 – –11.124, 11.126, 11.127, 11.133, 11.137 – 11.140	[5], 7.24 – 7.38, 7.40, 7.47, 7.48, 7.51 – 7.53, 7.55а, 7.61 – 7.66, 7.68 – 7.80, 7.82 – 7.86, 7.114 – 7.124, 7.126, 7.127, 7.133, 7.137 – 7.140
	15. Диффе-ренциаль- ные уравнения	12.2–12.5, 12.8– – 12.13	12.1 – 12.4, 12.15, 12.16, 12.31, 12.32, 12.45, 12.46	12.1– 2.4, 12.8–12.13, 12.29–– 12.32, 12.43, 12.59, 12.73	[5], 12.1– 12.4, 12.8–12.13, 12.32– – 12.36, 12.47, 12.73, 12.77
12.25 – 12.36, 12.30 – 12.48	12.5 – 12.10, 12.11, 12.12, 12.14, 12.17 – 12.29, 12.33 – –12.41, 12.43, 12.44, 12.48, 12.49, 12.54, 12.58, 12.59	12.33 – 12.42, 12.45 – 12.51, 12.55 – 12.57, 12.61 – 12.70, 12.76, 12.77, 12.79 – 12.82, 12.86, 12.87	[5], 12.37 – 12.46, 12.49 – 12.55, 12.59 – 12.61, 12.65 – 12.74, 12.80, 12.81, 12.83 – 12.86, 12.90, 12.91
РАЗДЕЛ VI. Ряды
16. Числовые ряды	13.1 – 13.12, 13.14, 13.15	13.1 – 13.3, 13.14 – 13.16, 13.68 – 13.70	13.1 – 13.9, 13.11 – 13.14, 13.16, 13.31 – 13.33, 13.35, 13.36, 13.103, 13.105	[5], 9.1 – 9.9, 9.11 – 9.14, 9.16, 9.31 – 9.33, 9.35, 9.36, 9.103, 9.105
13.16 – 13.40, 13.42 – 13.45	13.4 – 13.7, 13.8 – 13.13, 13.17 – 13.23, 13.25, 13.27, 13.29 – 13.36, 13.39 – 13.50, 13.53 – 13.55, 13.56 – 13.63, 13.66, 13.67, 13.71 – 13.83, 13.85 – 13.90	13.17, 13.18 – 13.22, 13.25 – –13.30, 13.37– 13.50,13.53 – –13.55, 13.59, 13.64 – 13.79, 13.82 – 13.96, 13.98, 13.101, 13.102, 13.106 – 13.130	[5], 9.17, 9.18 – 9.22, 9.25 – –9.30, 9.37– 9.50,9.53 – 9.55, 9.59, 9.64 – 9.79, 9.82 – 9.96, 9.98, 9.101, 9.102, 9.106 – 9.130

Методические указания по выполнению контрольных работ

В соответствии с учебным планом по дисциплине «Высшая математика» каждый студент должен выполнить две контрольные работы (№1 и №2) в сроки, установленные учебным графиком, по приведенным в данном учебно-методическом пособии вариантам.

Номер варианта любой контрольной работы определяется по последней цифре номера личного дела студента, который совпадает с номером его зачетной книжки и студенческого билета.

Сроки представления контрольных работ на проверку указаны в индивидуальном графике студента. Однако эти сроки являются крайними. Чтобы работа была своевременно проверена, а при необходимости доработана и сдана повторно, ее надлежит представить значительно раньше указанного срока.

Если в ходе написания работы у студента появятся вопросы или затруднения в решении задач контрольного задания, он может обратиться в институт за консультацией (например, по электронной почте ).

При изучении учебного материала и подготовке к контрольным работам рекомендуется использовать учебники и учебные пособия, Интернет-ресурсы, приведенные ниже в разделе «Литература», а также данную брошюру.

После проверки контрольная работа студента получает оценку «Зачтено» или «Не зачтено».

Каждая контрольная работа содержит набор заданий, при выполнении которых необходимо соблюдать следующие правила.

1. Работа должна быть выполнена в школьной тетради, имеющей широкие (не менее 3 см) поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради следует указать фамилию, имя, отчество (полностью), факультет, направление подготовки, курс, номер личного дела (студенческого билета), вариант контрольной (расчетно-аналитической) работы, а также фамилию преподавателя, к которому направляется данная работа на проверку.

3. Перед решением каждой задачи нужно привести (распечатать) полностью ее условие.

4. Следует придерживаться той последовательности при решении задач, в какой они даны в задании, строго сохраняя при этом нумерацию примеров (задач).

5. Не допускается замена задач контрольной работы другими заданиями.

6. Решения задач должны сопровождаться развернутыми пояснениями, нужно привести в общем виде используемые формулы с объяснением употребляемых обозначений, а окончательный ответ следует выделить.

7. Чертежи к задачам (там где это возможно) должны быть выполнены в прямоугольной системе координат в полном соответствии с данными условиями задач и теми результатами, которые получены.

8. В конце работы приводится список использованной литературы (указывают автора, название, издательство, год издания), ставится дата окончания работы и подпись.

9. Если вычисления, выполняемые при решении задач, приближенные, то следует придерживаться правил приближенных вычислений, которые приведены на с. 7-9, а также в учебнике [3, §5.7].

Если работа получила в целом положительную оценку («Зачтено»), но в ней есть отдельные недочеты (указанные в тетради), то нужно сделать соответствующие исправления и дополнения в той же тетради (после имеющихся решений и записи «Работа над ошибками») и предъявить доработку на экзамене.

Если оценка работы «Не зачтено», то ее необходимо в соответствии с требованиями преподавателя частично или полностью переделать. Повторную работу надо выполнить в той же тетради (если есть место) или в новой с надписью на обложке «Повторная», указав фамилию преподавателя, которым работа была ранее не зачтена. Вместе с незачтенной работой повторную работу направить снова на проверку.

Контрольная работа не проверяется, если ее вариант не совпадает с последней цифрой номера личного дела студента или она выполнена по вариантам прошлых лет.

Если контрольные работы проводятся с частичным использованием КОПР, то необходимо дополнительно представить протокол ответа студента о работе с КОПР. Контрольные работы предъявляются на экзамене и не подлежат возвращению после успешной сдачи экзамена.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ВАРИАНТ 1

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1)

Контрольная работа № 1

1. Даны матрицы

Найти ранг матрицы

2. По формулам Крамера решить систему:

3.Решить систему линейных уравнений:

Найти какое-нибудь базисное решение.

4. Даны четыре вектора

=(2;4; – 6); =(1;3;5); =(0; – 3;7); =(3;2;52)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника и уравнение его диагонали . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника. Сделать чертеж.

7. Найти расстояние от плоскости до начала координат.

Контрольная работа № 2

1. Найти предел:

2. Составить уравнения касательных к графику функции в точках ее пересечения с осями координат. Сделать чертеж.

3.Исследовать функцию и построить схематично ее график.

4. Вычислить определенный интеграл:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , . Сделать чертеж.

6.Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:

	–1
			1,3	1,6	1,9

В результате их выравнивания получена функция . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7.Решить дифференциальное уравнение:

8. Исследовать сходимость ряда:

ВАРИАНТ 2

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2)

Контрольная работа № 1

1.Даны матрицы

Найти ранг матрицы

2.Методом обратной матрицы решить систему:

3. Определить, имеет ли однородная система

ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4. Даны четыре вектора

=(4;3;–1); =(5;0;4); =(2;1;2); =(0;12;– 6)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

5. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1,x₂)=3x₁²+ x₂²-x₁x₂ ) f(x_1,x₂)=x₁²+5x₂²+4x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования

координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1,x₂, x₃)=x₁²+3x₂²+4x₃² +2x₁x₂+2x₁x₃+6x₂x_3..

6. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину прямого угла треугольника и центр описанной окружности, если координаты остальных вершин треугольника и . Сделать чертеж.

7. Найти угол между плоскостью и линией пересечения плоскостей и .

Контрольная работа № 2

1. Найти предел:

2.Составить уравнение касательной к кривой

, перпендикулярно прямой, образующей с положительным направлением оси Ох угол 135°. Сделать чертеж. 3. Исследовать функцию

и построить схематично ее график.

4. Вычислить определенный интеграл:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , . Сделать чертеж.

6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:


	3,0	3,5	5,0	5,5	7,3

7. Решить дифференциальное уравнение:

8. Исследовать сходимость ряда:

ВАРИАНТ 3 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 3) Контрольная работа № 1 1.Дана матрица

Найти ранг матрицы

2. Методом обратной матрицы решить систему:

3. Определить, имеет ли однородная система

ненулевое решение. Найти общее решение системы. 4. Даны четыре вектора

=(1;3;5);

=(0;2;0);

=(5;7;9);

=(0;4;16) в некотором базисе. Показать, что векторы

образуют базис, и найти координаты вектора

в этом базисе. 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора

, заданного матрицей А=

. 6. Точки

являются вершинами треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, опущенной из точки А на сторону ВС. Определить координаты точки Н – основания высоты АН треугольника АВС. Сделать чертеж. 7. Определить, находятся ли точки

на одной плоскости. Если это так, написать уравнение этой плоскости. Контрольная работа № 2 1.Найти предел:

2. Составить уравнения касательных к линиям

в точках их пересечения. Сделать чертеж. 3.Исследовать функцию

и построить схематично ее график.

4. Вычислить определенный интеграл:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , . Сделать чертеж.

6.Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:

	0,5	1,0	1,5	2,5
	6,5	5,5	4,5	3,0	2,5

7.Решить дифференциальное уравнение:

8. Исследовать сходимость ряда:

ВАРИАНТ 4

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4)

Контрольная работа № 1

1.Решить матричное уравнение

где

2. По формулам Крамера решить систему:

3. Решить систему линейных уравнений:

Найти какое-нибудь базисное решение.

4.Даны четыре вектора

=(2;3;7); =(3;–2;4); =(–1;1;–1); =(1;1;3)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

5. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1,x₂)=3x₁²–x₂²+4x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1,x₂, x₃)=2x₁²+x₂²+4x₃² +2x₁x₂–4x₁x₃–2x₂x₃.

6. Составить уравнение прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма, если две его стороны лежат на прямых и , а одна из вершин параллелограмма имеет координаты . Сделать чертеж.

7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и линию пересечения плоскостей и .

Контрольная работа № 2

1.Найти предел:

2. Написать уравнение касательной к параболе , пересекающей

ось абсцисс в точке и не имеющей общих точек с третьей координатной четвертью. Сделать чертеж.

3.Исследовать функцию

и схематично построить ее график.

4. Вычислить определенный интеграл:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , . Сделать чертеж.

6.Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:


	–5,5	–5	–1

7. Решить дифференциальное уравнение:

8. Исследовать сходимость ряда:

ВАРИАНТ 5

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 5)

Контрольная работа № 1

1.Дана матрица

Найти ранг матрицы

2. По формулам Крамера решить систему:

3. Определить, имеет ли однородная система

ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4.Даны четыре вектора

=(3;4; – 3); =(2;1; – 4); =(– 5;5;0); =(8; – 16;17)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

6. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты прямоугольного равнобедренного треугольника, если вершина прямого угла находится в точке , а гипотенуза лежит на оси абсцисс. Сделать чертеж.

7.Найти расстояние от точки пересечения прямых и до плоскости .

Контрольная работа № 2

1.Найти предел:

2.При каких значениях параметра касательная к гиперболе пересекает ось абсцисс в точке . Сделать чертеж.

3.Исследовать функцию

и построить схематично ее график.

. 4. Вычислить определенный интеграл:

5Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , . Сделать чертеж.

6.Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:


	2,5	4,0	5,1	6,5	7,4

7.Решить дифференциальное уравнение:

8. Исследовать сходимость ряда:

ВАРИАНТ 6

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 6)

Контрольная работа № 1

1.Даны матрицы

и .

Установить, имеет ли матрица обратную.

2.Методом обратной матрицы решить систему:

3.Решить систему линейных уравнений:

Найти какое-нибудь базисное решение.

4. Даны четыре вектора

=(– 2;1;7); =(3; – 3;8); =(5;4;1); =(18;25;1)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

5. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x_1,x₂)=4x₁²+ x₂²–4x₁x₂

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б)По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x_1,x₂, x₃)= 2x₁²+x₂²+3x₃² +2x₁x₂–2x₁x₃–2x₂x₃._.

6. Вычислить радиус окружности, вписанной в треугольник, у которого две биссектрисы лежат на прямых и , а одна из его сторон на прямой . Сделать чертеж.