Критерий устойчивости Михайлова

Курсовая работа

1) В курсовой работе для приведенной САУ я определила коэф. усиления регулятора К, при котором максимальная статическая ошибка не превышает 2,5% для заданных значений задающего и возмущающего воздействий.

2) Далее рассчитала и построила внешние статические характеристики замкнутой сау.

3) Затем определила передаточную функцию САУ, рассчитала корни характеристического уравнения.

Комплексно-сопряжённые корни с положительной вещественной частью определяют наличие в системе нарастающих гармонических колебаний, что говорит о неустойчивости данной САУ.

4) После я рассчитала и построила частотные характеристики эквивалентной разомкнутой САУ: АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.

5) И провела проверку на устойчивость исходной САУ по критерию Гурвица и Найквиста.

6) Затем я смоделировала переходные характеристики исходной САУ

Экспериментально полученные частота, период колебаний и логарифмический декремент расхождения совпадают с рассчитанными в 3 пункте, значит, расчет и моделирование выполнены верно.

7) Для достижения оптимальных показателей качества САУ необходимо настроить её на симметричный оптимум.

8) Далее я смоделировала скорректированную САУ в Matlab для минимального и максимального значениях задающего воздействия( gmin) и при отсутствии возмущающего воздействия .

вопросы

1) статическая ошибка, равна разнице между установившимся значением регулирующего параметра и его заданным значением.

2) динамическая ошибка, равна наибольшему отклонению регулируемого параметра, от его установившего значения.

3) время регулирования – это время характеризует быстродействие системы и определяется как время от начала переходного процесса, до момента когда отклонение от входной величины становится близким к установившимся значению с заданной точностью

4) колебательность характеризуется обычно числом колебаний переходной характеристики за время переходного процесса. Иногда колебательность оценивается отклонением амплитуд соседних максимумов и выражается в %. Например: не затухающим колебаниям соответствует колебательность 100%. Обычно допускают наличие 1-2 колебаний.

Переходные процессы в САУ при скачкообразном воздействии подразделяют на:

1) монотонные, это процессы в которых не меняет знак.

2) апериодические в которых меняет знак более 1 раза.

3) колебательные, – меняют знак периодически.

Для характеристики переходного режима наибольшее распространение имеют следующие показатели качества: время переходного процесса, перерегулирование.

Уравнение статического режима представляют в виде:

(2)

Здесь и – эквивалентные коэффициенты передачи соответственно задающего и возмущающего воздействия. Они определяются по передаточным функциям эквивалентных звеньев, работающих в статическом режиме.

ЛАЧХ– модуль комплексной функции АФЧХ с учетом логарифмического масштаба, а ЛФЧХ – аргумент комплексной функции.

ЛАЧХ

20lgA(w)=G(w)

Коэф усиления представляется в дБ

20lg(раз)=дБ

Для того, что бы составить определитель Гурвица надо по диагонали от левого верхнего до правого нижнего элемента матрицы выписать все коэффициенты. Пустые строки заполняем так, что бы чередовались строки с нечетными и четными индексами и когда коэффициент отсутствует на его месте пишем 0

Формулировка критерия устойчивости по Найквисту: «Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости соответствующей замкнутой системы, необходимо, чтобы АФЧХ разомкнутой цепи не охватывало точку [-1;0] на комплексной плоскости».

Согласно критерию Найквиста, система не устойчива.

Время переходного процесса характеризует быстродействие системы. Определяется как интервал времени от начала переходного процесса до момента, когда отклонение выходной величины от ее нового установившегося значения становится меньше определенной достаточно малой величины. Обычно это пять процентов.

Перерегулированием d называется максимальное отклонение выходной величины на интервале переходного процесса от установившегося после окончания переходного процесса значения , выраженное в процентах:

Желаемая передаточная функция разомкнутой системы, настроенной на технический оптимум, имеет вид:

где Tm– наименьшая постоянная времени нескорректированной системы.

Желаемая передаточная функция разомкнутой системы, настроенной на симметричный оптимум, имеет вид:

где - также наименьшая постоянная времени нескорректированной системы.

Фазовым пространством называется такое пространство, в котором прямоугольными координатами точки являются величины, определяющие мгновенное состояние системы, называемые фазовыми координатами.

Изменение состояния системы во времени будет соответствовать движению изображающей точки в фазовом пространстве по определенной траектории, которая называется фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий, соответствующих всем возможным в данной системе начальным условиям, называется фазовым портретом системы

№	Вариант поведения САУ	Корни ХУ	Расположение корней (а), вид переходной характеристики (б), фазовый портрет (в)
	находится на границе устойчивости	мнимые
	устойчива	комплексные с отрицательной вещественной частью
	неустойчива	комплексные с положительной вещественной части
	устойчива	вещественные - отрицательные
	неустойчива	вещественные - положительные
	неустойчива (граница устойчивости при равенстве нулю свободного члена ХУ)	вещественные, но разные по знаку

Критерий устойчивости Михайлова

Чтобы все корни ХУ:

a₀sⁿ+a₁sⁿ⁻¹+…+a_n₋₁s+a_n=0,

имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы после подстановки частоты в соответствующий характеристический полином D(s)полное приращение его фазы при изменении ω от 0 до ∞ составляло nπ/2, где n – степень полинома D(s). При этом характеристический полином опишет в комплексной плоскости кривую – "годограф Михайлова".

Док-во: Представим D(s) в виде разложения на линейные множители и выполним подстановку s=jω:

D(jω)=a₀(jω−s₁)(jω−s₂)…(jω−s_n),

где: s₁,s₂,…,s_n – корни ХУ. Скобки идентичны, поэтому рассмотрим одну из них. Возможны четыре основных варианта:

Пусть s_i=α, – вещественный положительный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя (jω−α) при изменении ω от 0 до ∞ повернется на угол −π/2.

Пусть s_i=−α, – вещественный отрицательный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя (jω+α) при изменении ω от 0 до ∞ повернется на угол π/2.

Пусть s_i_;_i₊₁=α±jβ, – сопряженные корни с положительной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных множителей (jω−α−jβ)(jω−α+jβ) при изменении ω от 0 до ∞ повернутся на углы−π/2+γ, и −π/2−γ. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей, повернется на угол равный −π.

Пусть s_i_;_i₊₁=−α±jβ, – сопряженные корни с отрицательной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных множителей (jω+α−jβ)(jω+α+jβ) при изменении ω от 0 до ∞ повернутся на углы π/2−γ, и π/2+γ. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей, повернется на угол равный π.

Резюме: Если ХУ имеет l корней с положительной вещественной частью, то угол поворота годографа D(jω) при изменении ω от 0 до ∞ составит:

ψ=−lπ/2+(n−l)π/2=nπ/2−lπ,

где: n – порядок ХУ.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: