Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока.

Для практических расчетов электрических цепей разработаны методы, позволяющие уменьшить количество решаемых уравнений в сравнении с системой уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим эти методы.

а) Метод узловых потенциалов. Метод двух узлов.

Количество уравнений по методу узловых потенциалов определяется количеством уравнений по первому закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. В соответствии с данным методом, необходимо сначала определить потенциалы всех узлов электрической цепи, а затем с помощью закона Ома определить токи в ветвях. При этом один из узлов электрической схемы, который называют опорным, заземляется, его потенциал становится равен нулю. Узел для заземления выбирается произвольно. Удобно заземлять узел, номер которого имеет наибольшее значение в заданной электрической цепи.

Система уравнений по методу узловых потенциалов в виде матрицы будет иметь столько строк и столбцов, столько уравнений необходимо записать по первому закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. Если в электрической цепи имеется ветвь содержащая только идеальный источник ЭДС. Тогда удобно пронумеровать узлы электрической цепи так, чтобы номер узла с наибольшим значения в заданной электрической цепи, оказался в узле от которого отходит источник ЭДС. Этот узел принимают за опорный и заземляют. Тогда потенциал узла, в который входит источник ЭДС, будет известным и равным величине ЭДС источника.

Рассмотрим использование метода узловых потенциалов на примере.

Пример.

Метод узловых потенциалов целесообразно применять, когда количество уравнений по первому закону Кирхгофа для электрической цепи получается меньше чем по второму. На рисунке 2.1 представлена электрическая цепь, отвечающая указанным требованиям.

Рисунок 2.1 – Схема электрической цепи для расчета по методу узловых потенциалов

Представленная схема содержит 8 ветвей, 2 из которых содержат источники тока, следовательно, количество уравнений по второму закону Кирхгофа равно: 8 – 2 – 3 = 3 уравнения.

В заданной цепи четыре узла, следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать 4 – 1 = 3 уравнения, причем имеется ветвь, содержащая только идеальный источник ЭДС . В этом случае узел, от которого отходит источник ЭДС , пронумеруем цифрой 4 и примем его за опорный, потенциал которого равен нулю . Обозначим заземление у φ₄ на расчетной схеме. Потенциал узла, в который входит источник ЭДС , будет известным и равным величине ЭДС источника .

Таким образом, остается два неизвестных потенциала и , для их нахождения используем систему из двух уравнений:

, (2.1)

где – собственные проводимости узлов 1, 2, …, S, соответственно, которые определяются как сумма проводимостей ветвей, присоединенных к соответствующему узлу. Для рассматриваемой цепи ; . В системе уравнений (2.1) у собственных проводимостей узлов по главной диагонали матрицы будут всегда стоять знаки «плюс». Если будет задана такая электрическая цепь, для которой по первому закону Кирхгофа необходимо будет записать другое количество уравнений, то система уравнений (2.1) должна состоять из строк и столбцов, количество которых определяется количеством уравнений по первому закону Кирхгофа.

– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узел S с узлом N, всегда в системе уравнений (2.1) берется со знаком «минус». Для рассматриваемой цепи сумма проводимостей ветвей между узлами 1 и 2, а, следовательно, 2 и 1, является . Сумма проводимостей ветвей между узлами 1 и 3, равна нулю, следовательно . Сумма проводимостей ветвей между узлами 2 и 3 .

, где – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу S, на их проводимости; при этом со знаком «плюс» берутся те произведения, в ветвях которых ЭДС действуют в направлении узла S, и со знаком «минус», – в направлении от узла S;

– алгебраическая сумма источников тока, присоединенных к узлу S, знак перед определяется согласно правилу, указанному выше. В нашем случае , .

Таким образом, в новых обозначениях система уравнений 2.1 примет следующий вид

. (2.2)

Решив полученную систему (2.2) относительно и , считая известным , найдем токи в ветвях электрической цепи.

Токи в ветвях электрической цепи определяются по закону Ома через полученные при решении системы (2.2) потенциалы:

; ; ;

; ; .

Метод двух узлов (частный случай метода узловых потенциалов).

Встречаются электрические цепи у которых всего два узла рисунок 2.2. Для расчета токов в такой цепи наиболее рациональным методом расчета является метод двух узлов.

Рисунке 2.2 – Схема электрической цепи, содержащей два узла

Рассмотрим использование метода двух узлов на примере.

Пример.

Для электрической цепи (рисунок 2.2) по методу узловых потенциалов запишем следующее выражение:

.

Запишем получившееся выражение для напряжения :

. (2.3)

Выражение (2.3) принято называть методом двух узлов.

Токи в ветвях электрической цепи, определяются по закону Ома следующим образом:

; ; .

б) Метод контурных токов и эквивалентного генератора.

Метод контурных токов также позволяет уменьшить количество решаемых уравнений в сравнении с системой уравнений по законам Кирхгофа. Количество уравнений по методу контурных токов определяется числом уравнений по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих по этой ветви. В соответствии с данным методом необходимо выбрать контурные токи таким образом, чтобы каждый из них проходил через один источник тока, а оставшиеся контурные токи выбирать проходящими по ветвям, не содержащим источники тока.

Система уравнений по методу контурных токов в виде матрицы будет иметь столько строк и столбцов, столько уравнений необходимо записать по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи. Если в электрической цепи имеется источник тока, то добавится столбец в систему уравнений, если два, то два столбца и т.д.

Рассмотрим использование метода контурных токов на примере.

Пример.

Метод контурных токов целесообразно применять, когда в количество уравнений по второму закону Кирхгофа для электрической цепи получается меньше чем по первому. На рисунке 2.3 представлена электрическая цепь, отвечающая указанным требованиям.

Рисунок 2.3 – Схема электрической цепи для расчета по методу контурных токов

Решение.

В этой цепи четыре узла, следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать 4 – 1 = 3 уравнения. Рассматриваемая схема содержит семь ветвей, две из которых с источниками тока, следовательно, по второму закону Кирхгофа количество уравнений равно: 7 – 2 – 3 = 2. Для заданной схемы направления обхода контурных токов , , , взяты по часовой стрелке, причем , т.к. обход контура не совпадает с направлением тока источника тока; , т.к. обход контура совпадает с направлением тока источника тока. Таким образом, контурные токи и считаются известными. Следовательно, остается два неизвестных контурных тока ( и ), для их нахождения используем систему из двух уравнений:

(2.4)

где – собственное сопротивление контура m (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур m). Для рассматриваемой цепи ; . В системе уравнений (2.4) у собственных сопротивлений контуров по главной диагонали матрицы будут всегда стоять знаки «плюс». Если будет задана такая электрическая цепь, для которой по второму закону Кирхгофа необходимо будет записать другое количество уравнений, тогда и количество уравнений в системе (2.4) изменится. Количество строк в системе (2.4) определяется количеством уравнений по второму закону Кирхгофа, а количество столбцов равно сумме числа уравнений по второму закону Кирхгофа и числа источников тока.

– общее сопротивление контуров m и l, берется со знаком «плюс», если направления контурных токов в данной ветви совпадают, в обратном случае – берется знак «минус». В рассматриваемой схеме общим сопротивлением между контурами 1 и 2, а, следовательно, 2 и 1, является . Направление контурных токов в данной ветви не совпадают, следовательно, сопротивление войдет в уравнение со знаком «минус». Сопротивления между контурами 1 и 3, а также 1 и 4 равны нулю, следовательно, и . Сопротивление между контурами 2 и 3 . Направление контурных токов в данной ветви не совпадают, следовательно, сопротивление войдет в уравнение со знаком «минус». Сопротивление между контурами 2 и 4 . Направление контурных токов в данной ветви совпадают, следовательно, сопротивление войдет в уравнение со знаком «плюс».

– алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур m. Для данной схемы , .

Таким образом, в новых обозначениях система уравнений 2.4 примет следующий вид

. (2.5)

Решив полученную систему (2.5) относительно и , считая и известными, найдем токи в ветвях электрической цепи.

Токи в ветвях электрической цепи, через контурные токи определяются следующим образом:

; ; ;

; .

Метод эквивалентного генератора в отличие от представленных выше позволяет определить ток, только в одной выбранной ветви, путем упрощения оставшейся части электрической цепи в одноконтурную неразветвленную цепь. По отношению к выделенной ветви остальную часть цепи заменяют эквивалентным источником ЭДС – генератором. ЭДС этого генератора равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной части цепи, к которым будет подключаться ветвь с определяемым током. Внутреннее сопротивление генератора будет равна входному сопротивлению по отношению к зажимам выделенной ветви.

Последовательность расчета по методу эквивалентного генератора.

1. Выделить в расчетной цепи ветвь, ток которой необходимо определить. Остальную часть схемы представить в виде источника ЭДС и внутреннего сопротивления. Выбрать положительное направление тока в ветви.

2. Отсоединив выделенную ветвь, определить любым из ранее изученных методов напряжение на зажимах оставшейся части схемы, к которым будет подключаться ветвь с определяемым током.

3. Определить эквивалентное входное сопротивление по отношению к зажимам выделенной ветви. При этом источники энергии заменить их внутренними сопротивлениями и считать сопротивления источников ЭДС равными нулю, а сопротивления источников тока равными бесконечности.

4. Определить по закону Ома ток в полученной неразветвленной цепи:

,

где , – параметры ветви с искомым током.

Пример.

Рассмотрим использование метода эквивалентного генератора для электрической цепи, представленной на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Схема электрической цепи для расчета по методу эквивалентного генератора

При расчетах необходимо определить ток в третьей ветви. Все параметры элементов электрической цепи, и ее топология считаются известными.

Решение.

1. Выделим в расчетной цепи ветвь с током , который будем определять. Остальную часть схемы представим в виде источника ЭДС напряжением и внутренним сопротивлением (рисунок 2.5). Выберем положительное направление тока в третьей ветви.

Рисунок 2.5 – Эквивалентная схема замещения

3. Отсоединим третью ветвь и определим любым из ранее изученных методов напряжение на зажимах оставшейся части схемы (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Схема электрической цепи для расчета по методу эквивалентного генератора

После отключения третьей ветви три электрическая цепь распадается на две независимые. Одна с источником ЭДС , другая источником тока . В таком случае найти напряжение можно по закону Ома. Условно заземлим узел 3, тогда .

Найдем потенциал точки 1 через потенциал узла 3

.

Потенциал точки 2 через потенциал точки 3

.

Таким образом,

.

4. Определим эквивалентное входное сопротивление по отношению к зажимам выделенной ветви. При этом источники энергии заменим их внутренними сопротивлениями и считаем сопротивления источников ЭДС равными нулю, а сопротивления источников тока равными бесконечности

.

5. Определим по закону Ома ток в третьей ветви:

.

в) Метод наложения.

Метод наложения применим только для расчета линейных цепей, параметры элементов которых не зависят от значений протекающего тока или приложенного напряжения. Для расчетов цепей методом наложения составляют столько частных схем, сколько независимых источников энергии имеет исходная цепь. В частной схеме оставляется только один источник, все остальные заменяют их внутренними сопротивлениями. Результирующий ток ветви равен алгебраической сумме частных токов, вызванных действием каждого источника в отдельности. При исключении идеальных источников напряжения вместо источника ставится короткозамкнутая перемычка, что соответствует ЭДС, равной нулю при нулевом внутреннем сопротивлении. Ветвь с источником тока, наоборот, размыкается, что соответствует нулевому току при нулевой проводимости.

При расчете частных схем токи, протекающие в ветвях, обозначают двумя индексами. Нижний индекс показывает номер ветви, в которой определяют ток, а верхний – номер источника, действием которого вызывается ток. Например, − ток первой ветви, вызываемый действием второго источника. При расчете частных схем часто приходится рассчитывать токи в параллельных ветвях и (см. практическое занятие 1).

Рассмотрим использование метода наложения на примере.

Пример.

Методом наложения целесообразно пользоваться при расчетах электрической цепи, в которой содержащих один или два, в крайнем случае, три источника электрической энергии. На рисунке 2.7 представлена электрическая цепь с двумя источниками энергии, отвечающая указанным требованиям.

Рисунок 2.7 – Схема электрической цепи для расчета по методу наложения

Для нахождения токов в схеме рисунка 2.7 методом наложения определяют токи в частных схемах, приведенных на рисунках 2.8 и 2.9.

Рисунок 2.8 Рисунок 2.9

Для схемы рисунка 2.8:

; ; .

Для схемы рисунка 2.9:

; ;

; .

Следует отметить, что при действии в электрической схеме одного источника электрической энергии, как показано рисунках 2.8 и 2.9, в ветвях схемы текут частичные токи. Их направление обусловлено направлением действующего в электрической цепи источника электрической энергии. Так, на рисунке 2.8 направление тока обусловлено направлением источника ЭДС . Из рисунка 2.8 видно, что ток подтекает к узлу 1, в котором он разделяется на ток и ток , после чего эти токи подтекают к узлу 2, где они снова объединяются в ток . На рисунке 2.9 направление токов , , , обусловлено направлением источника тока .

Таким образом, токи в исходной электрической цепи, определятся на основе частичных токов следующим образом:

.

Знак «минус» стоит у первого и третьего тока, так как их частичные токи при действии двух источников энергии имеют разные направления. Частичные токи второго и четвертого тока имеют одинаковые направления, поэтому в уравнениях результирующего тока стоит знак «плюс».

Выводы по лекции

Для расчета токов ветвях электрицеской цепи кроме законов Кирхгофа можно применять метод узловых потенциалов, метод контурных токов, метод наложения, метод эквивалентного генератора. Число уравнений для метода узловых потенциалов такое же как по первому закону Кирхгофа, если схема содержит всего два узла можно применять метод двух узлов. Число уравнений для метода контурных токов такое же как по второму закону Кирхгофа. Метод наложения целесообразно использовать, когда в электрической цепи содержится не более трех источников электрической энергии. Если необходимо рассчитать ток в одной ветви можно использовать метод эквивалентного генератора.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулировать основные принципы метода узловых потенциалов.

2. Каковы особенности применения метода узловых потенциалов для схем, содержащих только идеальный источник ЭДС в любой из ветвей?

3. Как найти токи в ветвях по методу двух узлов?

4. Охарактеризуйте основные этапы метода контурных токов.

5. Каковы особенности применения метода контурных токов для схем, содержащих источник тока?

6. В чем преимущества и недостатки метода наложения?

7. Изложите суть метода эквивалентного генератора?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: