Сделай Сам Свою Работу на 5

Имитационное моделирование методом Монте-Карло





Метод Монте-Карло заключается в том, что при помощи датчика или генератора случайных чисел разыгрываются вероятности события. Что это может дать? Один розыгрыш не даст ничего. А если розыгрышей много, то в результате мы получим большое количество различных вариантов решения, и то, что чаще всего выпадает, – это вероятность, а среднее значение – матожидание. В данном случае случайность является не результатом наших расчетов, а инструментом. Причем такая постановка вопроса очень напоминает опытного специалиста (эксперта), который проработал в данной области несколько десятков лет. Весь его опыт случайных отклонений можно реализовать на компьютере за несколько минут.

Надо иметь в виду, что метод Монте-Карло все-таки рекомендуется использовать в тех случаях, когда неопределенность не позволяет применять традиционные или аналитические методы.

Также этот метод применяется при проверке более простых аналитических методов и выяснения условий их применимости. Также он применяется в целях поправок к аналитическим формулам, т.е. для привнесения в эти расчеты элементов случайности.



Основным элементом, из совокупности которых складывается статическая модель, является одна случайная реализация моделируемого явления (например, один случай работы машины до ее отказа или один день работы цеха). Реализация – это один экземпляр случайного явления со всеми присущими ему случайностями. Реализации отличаются друг от друга за счет этих случайностей. Отдельная реализация разыгрывается с помощью жребия. Под жребием понимается момент, когда дальнейшее развитие процесса, а значит, и результат, зависит от того, произошло или нет событие А (например, купили ли единицу товара, устранили ли неисправность и т.д.). Тогда нужно бросанием жребия решить вопрос: произошло событие или нет?

Условимся называть единичным жребием любой опыт со случайным исходом, который отвечает на один из следующих вопросов:

- произошло или нет событие А?

- какое из событий А1, А2... Аn произошло?

- какое в связи с этим приняла значение случайная величина х?

- какую совокупность значений приняли случайные величины х1 , х2 ... хn?



Любая реализация случайного явления методом Монте-Карло строится из цепочки единичных жребиев, перемежающихся с обычными расчетами, или учитывается влияние исхода жребия на дальнейший ход событий. В частности, на условия, в которых будет разыгран жребий. Жребий может быть разыгран разными способами, но есть один стандартный механизм, с помощью которого можно осуществить любую разновидность жребия. А именно: для каждой из реализаций достаточно уметь получить случайное число R, все значения которого от 0 до 1 равновероятны, т.е. обладают одинаковой плотностью вероятности. Условимся кратко называть величину R – случайное число от 0 до 1. Покажем, что с помощью такого числа можно разыграть любой из четырех видов единичного жребия.

- Произошло или нет событие А? Надо знать вероятность р события А. Разыграем случайное число R от 0 до 1. Если оно окажется меньше р, будем считать, что событие А произошло, если нет – не произошло.

- Какое из нескольких событий А1, А2... Аn появилось? Пусть события А1, А2... Аn не совместны и образуют полную группу. Тогда сумма вероятностей р1 + р2 + ... + рn = 1. Тогда разделим промежуток от 0 до 1 на n участков:

Тогда куда попадет вероятность, то событие и произошло.

- Какое значение приняла случайная величина х? Если случайная величина дискретна, т.е. имеет значение х1, х2... хn с вероятностями р1, р2... рn, то очевидно, что случай сводится ко второму случаю. Если случайная величина непрерывна и имеет заданную плотность вероятности f (x), тогда, чтобы разыграть ее значение, достаточно перейти от плотности вероятности f (x) к функции распределения:



 
 

 

 


Затем надо найти для функции F (x) обратную ей функцию Ψ. Затем разыграть случайное число R и взять от него обратную функцию х = Ψ (R). Существуют доказательства, что полученные значения х имеют нужное распределение f (x).

На практике часто приходится разыгрывать значение случайной величины, имеющей нормальное распределение. Для нормального распределения, как для любой непрерывной случайной величины, правило розыгрыша R остается справедливым, но, чтобы найти нужное нам значение х, можно поступить проще. Известно, что согласно центральной предельной теореме теории вероятностей при сложении достаточно большого числа независимых случайных величин с одинаковыми распределениями получается случайная величина, имеющая приближенно нормальное распределение. Считается, что, чтобы получить нормальное распределение, достаточно 6 раз кинуть жребий, т.е. получить 6R: (R1, R2, R3, R4, R5, R6). Для того чтобы получить х, нам достаточно знать стандартное отклонение процесса или задать его самим, а также необходимо знать среднюю ошибку выборки для средней величины (μ (х)). Тогда:

 

x = σx √z (z – 3) + μx

z = R1 + R2 + R3 +... + Rn

 

Какую совокупность значений приняли случайные величины х1, х2... хn? Если случайные величины независимы, то достаточно n раз повторить процедуру, как в предыдущем случае. Если же они зависимы, то разыгрывать надо каждую последующую на основе ее условного распределения. При условии, что все предыдущие значения приняли те значения, которые дал розыгрыш.

Таким образом, во всех четырех случаях все сводится к розыгрышу случайного числа R от 0 до 1. Первоначально для розыгрыша использовали барабан. Например, надо разыграть случайное число R от 0 до 1 с точностью до 0,001. Заложим в барабан 1000 пронумерованных шариков, вытащим 1 из них и разделим на 1000. Так получится R.

Таким образом, этот метод объединяет в себе анализ чувствительности и анализ распределения вероятностей входных переменных.

У метода имитационного моделирования существуют свои достоинства и недостатки.

Основные достоинства:

- моделирование позволяет оценить эксплуатационные показатели существующей системы при некоторых проектных условиях эксплуатации;

- моделирование позволяет изучить длительный интервал функционирования системы в сжатые сроки или, наоборот, изучить более подробно работу системы в развернутый интервал времени;

- путем моделирования можно сравнить предлагаемые альтернативные варианты проектов системы, чтобы определить, какой из них больше соответствует указанным требованиям.

Недостатки метода:

- разработка имитационной модели дорого стоит и требует много времени. Каждый прогон стохастической имитационной модели позволяет получить лишь оценки настоящих характеристик модели для определенного набора входных параметров. То есть для каждого изучаемого набора входных параметров понадобится несколько независимых прогонов модели. Поэтому если может быть легко разработана аналитическая модель, адекватная системе, то лучше воспользоваться ею;

- если модель не является адекватным представлением изучаемой системы, результаты моделирования будут содержать мало полезной информации о действительной системе. Поэтому необходимо привлекать квалифицированных специалистов в тех областях, исследование которых происходит;

- моделирование сложных систем часто требует много компьютерного времени.

Анализ дерева решений

Метод построения «дерева решений» используется чаще всего для анализа риска, при котором можно выделить обозримое количество просчитываемых вариантов. Этот метод заключается в определении вероятности реализации определенного количества возможных сценариев, в определении количественных и качественных параметров риска для каждого сценария. Для проведения исследования методом «дерева решений» необходимо иметь максимально возможный объем количественной и качественной информации не только в статике, но и в динамике.

Дерево решения является графической моделью процесса принятия решений. Вершины дерева представляют ключевые состояния, в которых возникает необходимость выбора, а дуги (ветви дерева) – различные события (решения, последствия, операции), которые могут иметь место в ситуации, определяемой вершиной. Каждой дуге (ветви) дерева могут быть приписаны числовые характеристики (нагрузки), например, величина платежа и вероятность его осуществления.

В общем случае использование данного метода предполагает выполнение следующих шагов:

- для каждого момента времени t определяют проблему и все возможные варианты дальнейших событий;

- откладывают на дереве соответствующую проблеме вершину и исходящие из нее дуги;

- каждой исходящей дуге приписывают ее денежную и вероятностную оценки;

- исходя из значений всех вершин и дуг рассчитывают вероятное значение критерия NPV (либо IRR, PI);

- проводят анализ вероятностных распределений полученных результатов.

Например, предположим, что компания рассматривает возможность производства промышленных роботов для отрасли, выпускающей телевизоры. Чистые инвестиции по проекту осуществляются в три этапа (рис. 7.5).

 

Время Кумулятивная вероятность NPV Вероятность xNPV  
t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 t = 6  
–500   –10000 10000 10000 10000 10000 0,144 0,192 0,144 0,320 0,200 1,000 15 250 –14 379 –1397 –500 Ожидаемый NPV –2071 –447 –100 –338  
–1000 4000 4000 4000 4000  
  –2000 –2000 –2000 –2000  
         
       
                 

 

Рис. 7.5. Анализ дерева решений

 

Этап 1. В момент t = 0 проводится изучение рыночного потенциала для применения роботов на линиях сборки телевизоров. Стоимость – 500 тыс. руб.

Этап 2. Если окажется, что значительный рынок для телевизионных сборочных роботов действительно существует, тогда в момент t = 1 расходуется 1 млн. руб. на разработку и изготовление нескольких опытных образцов роботов. Эти роботы затем оцениваются инженерами из телевизионной промышленности, и их мнение определит, будет ли фирма продолжать работу над проектом.

Этап 3. Если опытные образцы хорошо себя покажут, тогда в момент t = 2 в строительство производственного предприятия инвестируется 10 млн. руб. Менеджеры прогнозируют, что чистый денежный поток, генерируемый в течение следующих четырех лет, может варьировать в зависимости от спроса на продукцию.

В данном случае считается, что между решениями проходит один год. Каждый прошедший период определяет выбор того или иного решения. Сумма слева от момента принятия решения означает размер чистой инвестиции, необходимой в случае принятия этого решения, а денежные потоки, показанные под t3-6, – это денежные поступления, возникающие в случае принятия проекта.

Каждая диагональная линия представляет собой ветвь дерева решений, каждая ветвь имеет рассчитанную вероятность. Например, если фирма решит начать работу над проектом, то к моменту принятия решения 1-го этапа она должна будет потратить 500 тыс. руб. Они будут списаны в убыток.

Если результаты маркетинговых исследований положительны, то фирма на следующем этапе потратит 1 млн. руб. на изготовление опытного образца работа. При этом есть 60-процентная вероятность того, что телеинженеры сочтут робот полезным, и 40-процентная вероятность того, что он им не понравится. Если инженеры примут робот, тогда фирма потратит заключительные 10 млн. руб. на развертывание производства, в противном случае проект будет отвергнут. Если фирма все-таки развернет производство, денежные потоки за 4-летний срок действия проекта будут зависеть от того, насколько хорошо рынок примет конечный продукт. Есть 30-процентная вероятность того, что спрос будет вполне приемлемым, а чистый денежный поток составит 10 млн. руб. в год, 40-процентная вероятность – для 4 млн. руб. в год, и 30-процентная возможность ежегодного убытка в 2 млн. руб. Эти денежные потоки показаны под годами с 3-го по 6-й.

Кумулятивные (направленно накопленные) вероятности, представленные на рис. 7.5 и полученные перемножением всех вероятностей на конкретных ветвях дерева, показывают вероятность наступления каждого конкретного исхода. Например, вероятность того, что проект будет полностью осуществлен, а среднегодовой приток денежных средств будет на уровне 10 млн. руб., составляет:

 

0,8 х 0,6 х 0,3 = 0,144, или 14,4%.

 

На рис. 7.5 приведены также NPV каждого конечного исхода. Если цена капитала компании составляет 11,5%, то NPV наиболее благоприятного исхода составляет:

 

NPV = –500 – – + + + + =

 

= 15 250 тыс. руб.

 

Остальные NPV рассчитаны аналогичным образом. В последней колонке рис. 7.5 представлены данные для расчета ожидаемого значения NPV проекта, которое составило –338 тыс. руб. Среднеквадратическое отклонение ожидаемого NPV равно 7991 тыс. руб., значение коэффициента вариации составляет 23,6.

Полученные результаты показывают, что с точки зрения единичного риска проект является очень рисковым. При этом вероятность понести убытки равна 0,144 + 0,320 + 0,200 = 0,664. На основании всего этого проект выглядит неприемлемым. Тем не менее данный вывод может быть пересмотрен, если при его анализе учесть возможность приращения проекта уже в ходе его реализации.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.