Формула наращения, сложные проценты.

В средне и долгосрочных финансового – кредитных операциях, если % не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к основной сумме долга, применяют сложные %. База для начисления сложных % от простых не остается постоянной, она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма, начисляемого % возрастает и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением.

Наращение посложным % можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые % на один период вычисления. При соединении начисленных % к сумме, которая послужила базой для их начисления называют капитализацией %.

На практике применяют так называемые дискретные %, т.е. начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени.

Иногда возникает необходимость в определении непрерывных %, т.е. за бесконечно малые промежутки времени.

Пусть проценты начисляются и капитализируются один раз в году, для этого применяется сложная ставка наращения.

Рост по сложным процентам представляет собой процесс следующей геометрической прогрессии, первый элемент которой равен P, знаменатель (1+i), последний член прогрессии наращенной сумме в конце срока. Величину q, равной (1+i)ⁿназывают множителем наращения по сложным процентам. Время определяется как 365/365. Очевидно, что высокая ставка может применяться только для короткого срока, в противном случае результат наращения окажется бессмысленным.

Базовая формула наращения по сложным процентам предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока, однако в некоторых случаях сообразно применение плавающих ставок.

Чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие их множители наращения, при условии, что временная база одна и та же. Если срок n<(=,>)1, (1+n х i_S)>(=,<)(1+i)ⁿ.

Эквивалентность процентных ставок.

Замена одного вида ставки на другой при соблюдении эквивалентности не изменяет финансовых отношениях сторон в рамках одной операции, и такие ставки называются эквивалентными. Соотношение эквивалентности можно найти для любой пары ставок: простых и сложных, дискретных и непрерывных и т.д. Определим соотношение эквивалентности между простой и сложной ставками. Для этого приравняем друг к другу соответствующие множители наращения.

Приведенное равенство предполагает, что первоначальные и наращенные суммы при применении двух видов ставок идентичны.

Аналогичным образом определим соотношение между процентной и учетной ставкой при условии что временная база одинакова:

Номинальная и эффективные ставки.

В современных условиях проценты, как правило, капитализируются не один, а несколько раз в году. На практике обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка. Одновременно указывается период начисления процентов. Например, 10% годовых с поквартальным начислением процентов. Пусть j – годовая ставка, m – период начисления процентов, N – общее число периодов начисления, которое равно (mxn). В каждом периоде проценты начисляются по ставке (j/m). Соответственно, j – номинальная ставка:

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения. Наибольшую прибавку дает переход от годового к полугодовому начислению. Наименьший – от ежемесячного к ежедневному.Эта ставка измерят тот реальный относительный доход, который начисляется в целом за год. Т.е. эффективная ставка – годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат что и mразовое начисление процентов по ставке (j/m). Обозначим эффективную ставку через i. По определению, множественные наращения по двум видам ставок должны быть равны друг другу.

Замена в договоре номинальной ставки на эффективную не изменяет финансовых обязательств сторон. Обе ставка эквивалентны финансовым отношениям. Разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну величину.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: