Свойства выборочного коэффициента корреляции
1. Абсолютная величина выборочного коэффициента корреляции не превосходит 1 ( ).
2. Если выборочный коэффициент корреляции равен 0 и выборочные линии регрессии – прямые линии, то и не связаны линейной корреляционной зависимостью и , .
В этом случае прямые линии регрессии параллельны соответственно координатным осям.
Замечание. Если выборочный коэффициент корреляции , то признаки и могут быть связаны нелинейной корреляционной или даже функциональной зависимостью.
3. Если абсолютная величина , то наблюдаемые значения признаков связаны линейной функциональной зависимостью.
4. С возрастанием абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции линейная корреляционная зависимость становится более тесной и при переходит в функциональную.
Величина коэффициента корреляции характеризует силу линейной связи между признаками ( ):
если – связь слабая;
если – связь умеренная;
если – связь заметная;
если – связь высокая;
если – связь весьма высокая;
если – связь функциональная.
5. Знак выборочного коэффициента корреляции совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии: , и определяет направление связи. Если – связь прямая, – связь обратная.
Перемножим первое и второе равенства ; .
Знак при радикале должен совпадать со знаком коэффициента регрессии, т.е. , если ; , если .
Выборочный коэффициент корреляции равен среднему геометрическому выборочных коэффициентов регрессий.
Точечная и интервальная оценки коэффициентов корреляции нормально распределенной генеральной совокупности
Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность, то заключение о тесноте линейной зависимости между признаками, полученное по данным выборки, в известной степени может быть распространено на генеральную совокупность. В качестве точечной оценки коэффициента корреляции генеральной совокупности берут .
Для интервальной оценки коэффициента корреляции нормально распределенной генеральной совокупности ( ) имеем:
. (8)
Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
Пусть двумерная генеральная совокупность , распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема и по ней найден выборочный коэффициент корреляции , который оказался отличным от 0.
Так как выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от 0.
Нас интересует именно этот коэффициент . Поэтому возникает необходимость при заданном уровне значимости a проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе .
Если гипотеза будет опровергнута, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значительно отличается от 0, а и связаны линейной зависимостью.
Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции не значим, а и не связаны линейной зависимостью.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину , где – объем выборки.
Величина при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины, при конкурирующей гипотезе надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы найти критическую точку для двусторонней критической области.
Если – нет основания отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают и, следовательно, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от 0 , то есть и линейно корреляционны.
Корреляционное отношение
Ранее рассматривалась теснота линейной корреляционной связи. Вопрос: как оценить тесноту любой корреляционной связи?
Так как все значения признака разбиты на группы, можно представить общую дисперсию признака в виде суммы внутригрупповой и межгрупповой дисперсии.
. (9)
Определение. Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.
, (10)
где – частота значений при , – номер группы, , – групповая средняя группы , – объем группы .
Определение. Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую групповых дисперсий, взвешенную по объемам групп.
, (11)
– объем всей совокупности.
Определение. Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общeй средней.
, (12)
где – общая средняя.
Определение. Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей признака.
. (13)
Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи вводят корреляционные характеристики:
1) – выборочное корреляционное отношение к .
(14)
2) – выборочное корреляционное отношение к .
(15)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|