Векторы и смешанное произведение

Определение 35

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при отложенных векторах из одной точки из конца вектора поворот вектора к вектору по наименьшему углу виден против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

(правая тройка – , левая тройка – )

Замечание.

Если - правая тройка векторов, то и - тоже правые тройки, а , и - левые.

Определение 36

Две тройки векторов будем называть одинаково ориентированными, если они одновременно либо правые, либо левые.

Замечание.

Все некомпланарные тройки векторов распадаются на два класса – класс правых троек и класс левых троек.

Определение 37

Говорят, что в пространстве задана ориентация, если выбран из вышеупомянутых классов. Обычно работать будем в пространстве, где ориентация задается правой тройкой векторов.

Определение 38

Пусть в пространстве задана ориентация правыми тройками. Векторным произведением векторов и называется вектор , такой что

1) , если и коллинеарны
2) если и неколлинеарны, то , где угол между и и
3) тройка векторов имеет такую же ориентацию, как и пространство.

Геометрические свойства векторного произведения

равен площади параллелограмма, натянутого на векторы и .

Теорема 18 (критерий коллинеарности)

Вектора и коллинеарны .

Доказательство.

Если и коллинеарны, то по определению .

Если , то

1) В случае или произведение , вектора коллинеарны.

2) В случае и , т.е. . Значит или . Векторы и коллинеарны.

Определение 39

Смешанным произведением векторов , и называется выражение . Обозначение .

Геометрические свойства смешанного произведения.

Смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , отложенных из одной точки, взятый со знаком «+», если тройка - правая, со знаком «–», если левая.

Доказательство.

Если или или , то утверждение выполняется. Если и коллинеарны, то и объем параллелепипеда тоже равен . Пусть и неколлинеарны. Тогда тройка является правой. . - площадь основания параллелепипеда. - высота параллелепипеда, поэтому равен объему параллелепипеда. Если , то тройка векторов - правая и . Если , то тройка векторов - левая и . Значит , где .

Теорема 19 (критерий компланарности)

Векторы являются компланарными

Доказательство.

Если векторы компланарны, то вектор ортогонален векторам и , а значит ортогонален вектору .

Если , то

Если , то и коллинеарны. компланарны. В случае , компланарны. В случае, когда вектор лежит в плоскости векторов и .

Свойства смешанного произведения.

выполняются:

1)
2)
3)
4) .

Доказательство.

1) Тройки векторов , , - либо все компланарны, либо все одновременно правые, либо все одновременно левые. Если они компланарны, то . Если одни одновременно правые, то . Если они одновременно левые, то , где - объем параллелепипеда, построенного на векторах .

2) .

3) Тройки векторов и имеют разную ориентацию и . Поэтому .

Свойства векторного произведения.

Для любых векторов и любых чисел выполняются свойства:

1)
2)
3)

Доказательство.

Лемма.
Если для любого вектора , то .
Доказательство.
Если , то и при . Тогда , т.е. , значит .

1) Из свойств смешанного произведения для всех
. Поэтому .

2) Из свойств смешанного произведения для всех

Т.е. для всех . Поэтому .

3) Следует из определения.

Замечание.

Из свойств 1) и 2) легко доказывается (аналогично доказательству для скалярного произведения) линейность векторного произведения по второму аргументу.

Определители

Определение 40

Набор элементов , где называется матрицей размерностью . Обычно матрицу записывают в виде таблицы.