Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
Метод Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение (I), с начальными условиями y(
Пусть y=y(x) искомое точное решение. Интегральная кривая проходит через точку (
Найдем приближенные значения функции в точках . Построим систему равноотстоящих точек узлов
Проведем прямые
Рассмотрим отрезок [ ]
На этом отрезке есть одна точка, которая принадлежат искомой кривой - это точка А Заменим дугу искомой кривой y=y(x) на отрезке [ ] касательной к ней, проведенной в точке ( )
В качестве возьмем ординату точки пересечения прямой x= с касательной.
Очевидно . Но ,
т.е. .
Но из уравнения (I) следует, чтo
Итак, получаем .
Предположим теперь, что точка принадлежит искомой кривой. В этой точке опять проведем касательную к графику функции до пересечения с прямой х = .
Тогда аналогично:
.
Продолжая и так далее, получим систему значений которые и будут приближенными значениями функции y=y(x) в точках
Итак, расчетные формулы метода Зилера:
.
Для системы дифференциальных уравнений
i= I,…,k
расчетные формулы записываются аналогично
здесь i - номер уравнения в системе, n - номер шага.
Метод Эйлера является грубым методом, ошибка, которую мы допус каем ка каждом шаге пропорциональна , т.е. .
Чтобы повысить точность вычислений, использует некоторые усовершенствованные методы.
Метод Эйлера-Коши
Пусть опять решаем уравнение y’=f(x,y), y(
Решение ищем на отрезке [ ].
Пусть нам известны координаты некоторой точки, принадлежащей искомому решению ( ). Найдем средний тангенс угла наклона касательной для двух точек : ( ) и ( ).
Последняя точка, есть та самая, которую в методе Эйлера мы обозначаем ( ), но здесь точка будет вспомогательной.
Итак, сначала по методу Эйлера находится точка А, лежащая на прямой , тангенс угла наклона которой
В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной
Затем через точку ( ) проводим прямую L, тангенс угла наклона которой равен
Точка, в которой L пересечется с прямой ,будет искомой( ). Таким образом, есть искомое приближение значения функции на данном шаге интегрирования.
Расчетные формулы метода Эйлера-Коша следующие:
Аналогично, для системы дифференциальных уравнений:
Здесь i - номер уравнения системы, m - номер шага.
Пример.
Задано:
Уравнение у¢×у + 2х2 = 0 на интервале [1,2] при условии у(1) = 3. Представим уравнение в виде у¢ = -2х2/у. Разобьем интервал [1,2]на десять шагов с шагом h = 0,1.
Расчетные формулы метода Эйлера-Коши:
Первый шаг (i = 0):
х1 = х0 + h = 1 + 0,1 = 1,1;
1= y0 + h × f(y0, x0) = 3 + 0,1(-2×12)/3 = 2,93.
х2 = х1 + h = 1,1 + 0,1 = 1,2;
y2 = y1 + (h/2) × (f(y0, x0)+ f( 1, x1)) = 2,93 + (0,1/2)*((-2×1,12)/2,93+(- 2*1,1^2/2.93)) = 2,85633.
Аналогично можно найти значения искомой величины на всём интервале.
Полученные данные позволяют построить график искомой функции на заданном интервале изменения аргумента:
Метод Рунге-Кутта 2-го порядка
Пусть имеем дифференциальное уравнение
с начальными .
Ищем решение на отрезке [ ].
Пусть имеем точку ( ) принадлежащую искомому решению. Для того, чтобы найти следующую точку проведем касательную к кривой в точке ( )
До пересечения с прямой где
Тогда , получим координату (по формуле Эйлера)
Теперь найдем тангенс угла наклона касательной в т.В ( (прямая L ).
Через точку А про ведем прямую I ||L . Ординату точки пересечения прямых и
возьмем в качестве
Таким образом
для системы дифференциальных уравнений
расчетные формулы имеют вид:
Пример.
Задано:
Уравнение у¢×у + 2х2 = 0 на интервале [1,2] при условии у(1) = 3. Представим уравнение в виде у¢ = -2х2/у. Разобьем интервал [1,2]на десять шагов с шагом h = 0,1.
Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 2-го порядка:
Пример вычисления(первый шаг):
x0+1/2 = х0 + h/2 = 1 + 0,1/2 = 1,05;
y1+1/2 = y0 + h/2 × f(y0, x0) = 3 + (0,1/2)(-2×12)/3 = 2,9666.
x1 = х0 + h = 1 + 0,1 = 1,1;
y1 = y0 + h × f(y0+1/2, x0+1/2) = 2,96+(0,1)*(-2*1,05^2/2,96)=2,885506.
Аналогично можно найти значения искомой величины на всём интервале.
Полученные данные позволяют построить график искомой функции на заданном интервале изменения аргумента:
ПРОГРАММА МЕТОДА РУНГЕ-КУТТА 2-ГО ПОРЯДКА
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
Этот метод один из самых распространенных методов интегрирования дифференциальных уравнений.
Для одиночного дифференциального уравнения расчетные формулы имеют следующий вид:
где
Для системы дифференциальных уравнений
Для системы дифференциальных уравнений
расчетные формулы запишутся следующим образам:
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|