Сделай Сам Свою Работу на 5

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка





Метод Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение (I), с на­чальными условиями y(

Пусть y=y(x) искомое точное решение. Интегральная кривая проходит через точку (

 

Найдем приближенные значения функции в точках . Построим систему равноотстоящих точек узлов

Проведем прямые

Рассмотрим отрезок [ ]

На этом отрезке есть одна точка, которая принадлежат искомой кри­вой - это точка А Заме­ним дугу искомой кривой y=y(x) на отрезке [ ] касательной к ней, проведенной в точке ( )

В качестве возьмем ординату точки пересечения прямой x= с касательной.

Очевидно . Но ,

т.е. .

Но из уравнения (I) следует, чтo

Итак, получаем .

Предположим теперь, что точка принадлежит искомой кривой. В этой точке опять проведем касательную к графику функции до пересечения с прямой х = .

Тогда аналогично:

.

Продолжая и так далее, получим систему значений которые и будут приближенными значениями функции y=y(x) в точках

Итак, расчетные формулы метода Зилера:

.

Для системы дифференциальных уравнений

i= I,…,k

 

расчетные формулы записываются аналогично

здесь i - номер уравнения в системе, n - номер шага.



Метод Эйлера является грубым методом, ошибка, которую мы допус каем ка каждом шаге пропорциональна , т.е. .

Чтобы повысить точность вычислений, использует некоторые усовершенствованные методы.

 

Метод Эйлера-Коши

Пусть опять решаем уравнение y’=f(x,y), y(

Решение ищем на отрезке [ ].

Пусть нам известны координаты некоторой точки, принадлежащей ис­комому решению ( ). Найдем средний тангенс угла наклона ка­сательной для двух точек : ( ) и ( ).

Последняя точка, есть та самая, которую в методе Эйлера мы обоз­начаем ( ), но здесь точка будет вспомогательной.

Итак, сначала по методу Эйлера находится точка А, лежащая на прямой , тангенс угла накло­на которой

В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной

Затем через точку ( ) проводим прямую L, тангенс уг­ла наклона которой равен

Точка, в которой L пересе­чется с прямой ,будет искомой( ). Таким обра­зом, есть искомое приближение значения функции на данном шаге интегрирования.

Расчетные формулы метода Эйлера-Коша следующие:



 

Аналогично, для системы дифференциальных уравнений:

Здесь i - номер уравнения системы, m - номер шага.

 

Пример.

Задано:

Уравнение у¢×у + 2х2 = 0 на интервале [1,2] при условии у(1) = 3. Представим уравнение в виде у¢ = -2х2. Разобьем интервал [1,2]на десять шагов с шагом h = 0,1.

Расчетные формулы метода Эйлера-Коши:

 

Первый шаг (i = 0):

х1 = х0 + h = 1 + 0,1 = 1,1;

1= y0 + h × f(y0, x0) = 3 + 0,1(-2×12)/3 = 2,93.

х2 = х1 + h = 1,1 + 0,1 = 1,2;

y2 = y1 + (h/2) × (f(y0, x0)+ f( 1, x1)) = 2,93 + (0,1/2)*((-2×1,12)/2,93+(- 2*1,1^2/2.93)) = 2,85633.

Аналогично можно найти значения искомой величины на всём интервале.

Полученные данные позволяют построить график искомой функции на заданном интервале изменения аргумента:

 

Метод Рунге-Кутта 2-го порядка

Пусть имеем дифференциальное уравнение

с начальными .

Ищем решение на отрезке [ ].

Пусть имеем точку ( ) принадлежащую искомому решению. Для
того, чтобы найти следующую точку проведем касательную к кривой в точке ( )

До пересечения с прямой где

Тогда , получим координату (по фор­муле Эйлера)

Теперь найдем тангенс угла наклона касательной в т.В ( (прямая L ).

Через точку А про ведем прямую I ||L . Ординату точки пересечения прямых и

возьмем в качестве

Таким образом

для системы дифференциальных уравнений

 

расчетные формулы имеют вид:

 

Пример.

Задано:

Уравнение у¢×у + 2х2 = 0 на интервале [1,2] при условии у(1) = 3. Представим уравнение в виде у¢ = -2х2. Разобьем интервал [1,2]на десять шагов с шагом h = 0,1.

 

Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 2-го порядка:

 

Пример вычисления(первый шаг):



x0+1/2 = х0 + h/2 = 1 + 0,1/2 = 1,05;

y1+1/2 = y0 + h/2 × f(y0, x0) = 3 + (0,1/2)(-2×12)/3 = 2,9666.

 

x1 = х0 + h = 1 + 0,1 = 1,1;

y1 = y0 + h × f(y0+1/2, x0+1/2) = 2,96+(0,1)*(-2*1,05^2/2,96)=2,885506.

 

Аналогично можно найти значения искомой величины на всём интервале.

Полученные данные позволяют построить график искомой функции на заданном интервале изменения аргумента:

 

ПРОГРАММА МЕТОДА РУНГЕ-КУТТА 2-ГО ПОРЯДКА

 

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Этот метод один из самых распространенных методов интегрирова­ния дифференциальных уравнений.

Для одиночного дифференциального уравнения расчетные формулы имеют следующий вид:

где

 

Для системы дифференциальных уравнений

 

Для системы дифференциальных уравнений

расчетные формулы запишутся следующим образам:

 

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.