|
|
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙИзосова Л.А., Изосов А.В.
Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Учеб. пособие. - Магнитогорск: МГТУ, 2008. – 112 с.
Изложены основные понятия комбинаторики, необходимые в курсе теории вероятностей. Основной материал по случайным событиям и случайным величинам приведён с достаточными обоснованиями и снабжён большим количеством примеров в соответствии с программой курса математики.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.
Комбинаторный анализ занимается изучением объектов не – которого конечного множества Комбинаторный анализ является разделом дискретной ма -тематики, истоки которой уходят в глубокую древность. В на- стоящее время интерес к нему значительно усилился. Бла – годаря этому, комбинаторный анализ превратился в достаточ- но развитую ветвь математики, которая непрерывно разраста- ется. Это затрудняет задачу очертить круг объектов и их свойств, которые принадлежат этому разделу. Но нас инте- ресуют более прозаические вопросы, а именно те вопросы, которые имеют непосредственное отношение к теории веро -ятностей, т.е. связанные с вычислением количеств появлений тех или иных событий в сериях некоторых испытаний. При выборе В зависимости от того, имеет ли значение порядок эле -ментов в соединении или нет, а также от того, входят в со- единение все ВИДЫ СОЕДИНЕНИЙ: 1. Соединения, отличающиеся друг от друга составом эле -ментов или их порядком, каждое из которых содержит Например, напишем все размещения из элементов
2. Соединения, каждое из которых содержит элементов, взятых в определённом порядке, называются пере- становками из Например, напишем все перестановки из элементов
3. Соединения, отличающиеся друг от друга по крайней ме- ре одним элементом,каждое из которых содержит Например, напишем все сочетания из элементов
Задача о числе размещений. Сколькими способами можно выбрать и разместить по Ясно, что на одно место можно поместить любой из
Если одно место занято некоторым предметом, то на дру- гое место можно поместить любой из
Продолжая аналогичные рассуждения, окончательно получим:
Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Упростить выражение:
Пример 2. Пусть на плоскости заданы 8 точек. Сколько различных векторов можно построить по этим точкам. Вектор соединяет две точки, причём важно, какая точка начальная, а какая конечная. Поэтому задача сводится к вычислению числу размещений
Пример 3. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр: 0, 1, 4, 6, 7, 9. Число различных размещений из 6 элементов по 3 равно:
Однако цифра 0 на первом месте не является значимой, поэ- тому из общего числа размещений нужно удалить комбинации, в которых 0 стоит на первом месте, т.е.
Окончательно Пример 4. В соревновании по баскетболу университета при- нимают участие 7 команд, представляющих разные факульте - ты. Сколькими способами могут быть распределены призовые места (1 – е, 2 – е и 3 – е) между этими командами ? В этой задаче опять важен порядок, поэтому опять приме -няем формулу:
Задача о числе перестановок. Сколькими способами можно переставить Эта задача сводится к нахождению числа размещений
Пример 5. Сколькими способами можно расставить на пол- ке 6 книг различных авторов ?
Пример 6. Русть 7 занумерованных шариков произвольным образом бросают в решётку с 7 – ю ячейками. Сколькими спо -собами шарики могут распределиться по ячейкам, при условии, что каждый шарик попадает в какую – то одну ячейку. Задача сводится к вычислению числа перестановок:
Задача о числе сочетаний. Сколькими способами можно вы- брать Выбрать Легко доказать следующие свойства числа сочетаний: 1. Приведём несколько прмеров применения формулы числа сочетаний из Пример 7. 12 человек играют в городки. Сколькими спо -собами они могут выбрать команду из 4 человек на сорев –нование ?
Пример 8. В выпуклом семиугольнике проведены всевоз -можные диагонали, причём никакие три из них не пересека- ются в одной точке (т.е. не выходят из одной вершины). Сколько точек пересечения имеют данные диагонали ? Каждой точке пересечения диагоналей в этом случае соот – ветствует 4 вершины семиугольника, а каждой четвёрке вер -шин соответствует одна точка пересечения диагоналей. Поэто- му число точек пересечения диагоналей семиугольника равно числу способов выбрать четыре вершины из семи, т.е.
Пример 9. В розыгрыше первенства по футболу участвует 16 команд, причём любые две команды играют между собой только один раз. Сколько всего произведено игр ? Поставленная задача - задача о числе выборок из 16 по 2. Поэтому:
Пример 10. Из 2 математиков и 10 экономистов необходимо составить комиссию в составе 8 человек. Сколькими способа -ми может быть составлена комиссия, если в неё должен вхо -дить хотя бы один математик ? Самый простой способ найти количество способов составле- ния таких комиссий - это от общего числа вариантов комис -сий, составленных из 12 человек по 8, отнять количество ко -миссий, в которых нет ни одного математика, т.е.
Пример 11. Из большого букета, содержащего 12 роз, 9 хризантем, 15 гвоздик и 7 герберов случайным образом наби- рают букет из 15 цветов. Сколькими способоми можно набрать такой букет, чтобы в нём было 3 розы, 5 хризантем, 5 гвоз -дик и 2 гербера. Общее количество цветов в набираемом букете - Общее количество всех цветов -
Тогда число вариантов находится следующим образом:
До сих пор мы рассматривали соединения, в каждое из ко- торых любой из
Задача о числе размещений с повторениями. Сколькими способами можно разместить на
Пример 12. Пусть каждый телефонный номер состоит из 6 цифр. Сколько существует телефонных номенов, содержащих только цифры: 2, 4, 6, 8 . В этом примере
Пример 13. В секретном замке на общей оси находятся че- тыре диска, каждый из которых разделён на 5 секторов, на ко- торых записаны цифры от 0 до 4. Сколько возможно различ -ных кодовых вариантов ? Здесь Пример 14. Сколькими способами можно разместить 7 пасса- жиров в 3 вагона ? В данном случае,
Задача о числе перестановок с повторениями. Сколькими способами можно переставить Если учесть, что при перестановке элементов оного типа ничего не изменяется, т.е. получаем выражения того же вида, то перестановок с повторениями будет меньше, чем обычных перестановок, а именно, для определения количества таких пе- рестановок необходимо общее число перестановок разделить на число перестановок среди одинаковых элементов, т.е.
Пример 15. Сколько различных перестановок можно выпол -нить в слове «фантастика» ? Здесь
Пример 16. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по две, три и четыре книги в каждой бандероли?
Пример 17. Сколькими способами можно распределить де -сять молодых специалистов по трём цехам комбината в кото- рых требуется 5, 3 и 2 специалиста, соответственно ?
Сочетаниями из Задача о числе сочетаний с повторениями. Если имеется по Число таких сочетаний с повторениями обозначается
Рассмотрим несколько прмеров: Пример 18. В кондитерской имеется 10 сортов пирожных. Сколькими способами можно купить 4 пирожных?
Пример 19. В почтовом отделении имеется в наличии 5 видов открыток «С праздником 8 Марта». Сколькими спосо- бами можно купить 10 поздравительных открыток ? В этом примере
Пример 20. Сколькими способами можно выбрать 5 монет из 5 - ти двух рублёвых монет и 5 - ти одно рублёвых монет? Это задача о сочетаниях из двух по пяти с повторениями.
Замечание. Как и для случая размещений с повторениями, при вычислении числа сочетаний с повторениями, не имеет значения, что больше Итак, мы рассмотрели основные комбинаторные задачи, которые необходимы нам при вычислении вероятностей событий.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
§ 1 ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Одним из основных понятий, которыми оперирует теория вероятностей, является событие. Событием в теории вероятностей называется любой резуль- тат, который может произойти в итоге некоторого опыта (испы- тания). Все наблюдаемые нами события могут быть подразделены на три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверными называют события, которые обязательно про- изойдут при выполнении определённой совокупности условий. Например, достоверным является событие: «при бросании игрального кубика выпала цифра не больше 6». Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдёт при выполнении определённых условий. Например, невозможным является событие: «при бросании игрального кубика выпала цифра 8». Случайным (или возможным) называется событие, которое может произойти или не произойти в данных условиях. Например, в том же опыте, случайным является событие: «при бросании игральньго кубика выпала цифра 3». Каждое случайное событие зависит от действия многих слу- чайных причин, причём невозможно учесть влияние этих причин на результат (их много и законы их действия непредсказуе -мы). Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой за- дачу предсказать наперёд, произойдёт ли данное конкретное событие или нет. Но, если рассматриваются случайные собы- тия, которые могут многократно наблюдаться в одних и тех же условиях (например, многократное подбрасывание монеты), т.е., если речь идёт о массовых однородных событиях, то оказы -вается такие однородные события, независимо от их конкрет- ной природы, подчинены определённым закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Итак, предметом теории вероятностей является изу -чениевероятностных закономерностей массовых одно -родных случайных событий. Знание закономерностей, которым подчинены массовые од- нородные случайные события позволяет предвидеть, как эти события будут проистекать. Можно, например, предсказать с небольшой погрешностью число появлений «герба», если моне- та будет подброшена большое число раз. Методы теории вероятностей широко применяются в раз -личных отраслях науки и техники (теоретическая физика, тео- рия надёжности, теория стрельбы, теория ошибок наблюдений, общая теория связи, геодезия, астрономия и т.д.) Теория вероятностей служит также базой математической и прикладной статистики, которые, в свою очередь, используются при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при контроле качества производст -ва и т.п. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и др. в 16 -17 веке). Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Бернулли (1654 – 1705) Доказанная им теоре- ма «Закон больших чисел» была первым теоретическим обос- нованием накопленных ранее фактов. Дальнейшим успехам те- ория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. Наиболее плодотворный период развития теории вероят- ностей связан с известными именами русских математиков, та- ких как Чебышев, Ляпунов, Марков (19 – 20 век). В этот пери -од теория вероятностей становится строгой математической на- укой.
§ 2 ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ, АЛГЕБРА СОБЫТИЙ.
Будем различать элементарные (неразложимые) события и составные события (или просто события). Пример 1: подбрасывание игральной кости 1 раз. Элемен -тарные события, обозначим их Пример 2: Трёхкратное подбрасывание монеты. Пусть 1 - выпал «герб», 0 – выпала «цифра». Тогда множество всех элементарных событий:
Событие А - «при первом подбрасывании выпал герб» можно представить следующим образом»:
Пример 3. Стрельба по плоскости. Если мы введём на плоскости прямоугольную систему коор -динат
Событие А - «попадание в круг единичного радиуса» можем записать в виде Итак, элементарные события - это все мыслимые исходы опыта или наблюдения. События могут быть описаны как под- множества множества всех элементарных событий. Совокуп -ность всех элементарных событий данного опыта будем назы- вать пространством элементарных событий и обозначать Суммой (или объединением) двух событий Например: Следует помнить свойство: Произведением (или пересечением ) Например: Свойство: Разностью Например, при бросании игрального кубика: Событие Событие Например, при бросании игрального кубика «выпала цифра от 1 до 6» - достоверное событие, «выпала цифра 10» - не -возможное собтие. Противоположное событие Например: Свойства:
События Например, при бросании монеты:
Например: Если
Понятия произведения и суммы событий можно перенести на случай произвольной конечной или бесконечной последо -вательности событий: Событие Событие Говорят, события Пусть
§ 3 ЧАСТОТА СОБЫТИЯ И ЕЁ СВОЙСТВА,
Пусть произведена серия Частотой события
СВОЙСТВА ЧАСТОТЫ СОБЫТИЯ. 1) Частота случайного события
Это свойство очевидно, так как всегда 2) Частота достоверного события равна единице 3) Частота невозможного события равна нулю 4) Частота суммы двух несовместных событий равна сум- ме частот этих событий, т.е.
В самом деле, если событие Тогда
Чтобы сформулировать следующее свойство, введём ещё одно понятие. Частота одного события, вычисленная при ус- ловии, что произошло другое событие, называется условной частотой и обозначается 5) Частота произведения двух событий равна произведе – нию частоты одного из них на условную частоту другого
В самом деле, пусть в серии из
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число ис -пытаний достаточно большое, то частота события проявляет свойство устойчивости: в различных опытах частота меня- ется мало (тем меньше, чем больше число испытаний в опыте) и колеблется относительно некоторого постоянного числа.
§ 4 ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ.
Учитывая свойство устойчивости частоты события, можно ввести понятие вероятности события. Определение. Вероятностью случайного события назы –вается постоянное число, около которого группируются часто- ты этого события по мере увеличения числа испытаний. Это определение вероятности называется статистическим. Положительное свойство этого определения заключается в том, что оно опирается на реальный эксперимент. Но в этом же кроется и его отрицательная сторона. Для надёжного опреде -ления вероятности, в смысле этого определения, необходимо произвести большое число опытов, что зачастую связано с большими материальными затратами, например, при проверке изделий на надёжность, которая приводит к разрушению изде- лия. Однако то, что каждое массовое случайное событие имеет свою вероятность, является фактом, подтверждаемым опытом, что и доказывает существование статистических закономернос- тей в природе. Однако статистическое определение вероятности, как осно- ванное на экспериментальных данных, не даёт возможности заранее, до эксперимента, определить вероятность события, т.е. не является «рабочим определением». Рассмотрим другое определение вероятности, которое на -зывается классическим. Это определение основано на понятии равновозможных несовместных событий (исходов данного опы -та, которые образуют полную группу, т.е. учтены все возмож -ные исходы данного опыта), т.е. шансов. Рассмотрение таких групп равновозможных событий можно свести к так называе -мой «схеме урн» (урна содержит одинаковые, неразличимые на ощупь шарики: разноцветные или занумерованные, которые из- влекаются произвольным образом). Например, испытание с подбрасыванием монеты можно сравнить с извлечением из ур- ны, содержащей два шара (белого и чёрного), шара опреде -лённого цвета. Опыт «подбрасывание игрального кубика» рав- носилен опыту «извлечение из урны, содержащей 6 занумеро- ванных шаров, шара с определённым номером» и т.п. По отношению к каждому событию равновозможные исходы (шансы) делятся на благоприятные, при которых событие про- исходит, и, соответственно - неблагоприятные, при которых со- бытие не происходит. Например, при бросании игрального ку –бика, для события Определение. Вероятностью появления некоторого собы- тия называется отношение числа шансов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных в данном опыте шансов. Такое определение вероятности называется классическим. Другими словами Важным достоинством этого определения является то, что с его помощью вероятность события можно определить зара- нее, до опыта, и сделать соответствующие выводы. Недостаток его заключается в том, что это определения можно применять только в случае равновозможных исходов опыта.
Рассмотрим несколько примеров. 1. Двоекратное подбрасывание монеты. Возможные исходы 
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
и их свойств. Этими объектами могут быть подмножества множес -тва 
, подмножества из множества 
и т.п.
элементов из 
различных элементов принято говорить, что они образуют соединение из 
элементов, взятых из 
по два:
.
:
(число размещений из 
( 
).
оставшихся, по- этому:
.
.
.
. Применяем соответст -вующую формулу:
.
. Учитывая, что, по определению, 0!=1, получаем:
(число сочетаний из 
. Поэтому имеется 
возможностей выбрать и разместить по 
тогда 
2. 
3. 
, причём, 
причём,
и равно:
Тогда
Тогда 
и, следовательно,
раз- ных типов, количества каждого из которых равны, соответст -венно 
( причём 
) ?
ф - 1 ( 
), а - 3 ( 
), н, с, и, к - 1 ( 
), т - 2 ( 
). Тогда
предметов?
и вычисляется по формуле:
.
Тогда
тогда:
, число выпавших очков на верхней грани ( 
), Множество всех элементарных событий в данном опыте 
. Составные события, или просто события, могут быть описаны как подмно- жества множества всех элементарных событий. Например, cо- бытие А - «выпало чётное число очков» можно выразить сле- дующим образом 
.
.
.
, то множнство элементарных событий (попадание в некоторую точку плоскости) записывается в виде:
.
.
Оно может быть конечным, как в приерах 1 и 2, счётным ( 
) или бесконечным несчёт- ным, как в примере 3. Любое подмножество иножества 
называется событием.
называется событие, состоящее из элементарных событий, вхо- дящих по крайней мере в одно из событий А или В.
- «попадание в цель при 2 – м выстреле», тогда 
- «хотя бы одно попадание в цель».
.
двух событий называется событие, состоящее из элементарных со- бытий, входящих и в событие 
- попа- дание в цель при обоих выстрелах.
.
( или 
) называется событие, состо- ящее из элементарных событий, входящих в множество 
, 
. Тогда 
.
, не содержащее ни одного из элементарных исходов данного опыта, называется невозможным событием.
(событие 
.
- «хотя бы один день дождя не было»; 
).
( 
, то говорят, что события 
означает, что элементарное событие 
входит в событие 
состоит из элемен -тарных событий, входящих хотя бы в одно из событий 
, 
.
состоит из элементарных событий, входящих одновременно в каждое из событий 
образуют полную группу, если в результате опыта происходит хотя бы одно из них.
- некоторый класс подмножеств пространства 
и для любых событий 
выполняется: 
, 
.
.
.
.
(так как 
. (так как в этом случае 
).
.
раз, а со- бытие 
раз в 
появится 
раз.
.
. Если события 
совместны, то можем сформулировать свойство ум- ножения частот.
(1)
раз, а вместе эти собы- тия появились 
Если мы подставим все эти частоты в формулу (1), то получим тождество :
.
, где